Aufgaben: Funktionen und Analysis ohne Hilfsmittel

Bearbeiten Sie die folgenden Teilaufgaben ohne Hilfsmittel.

1. a) Berechnen Sie $\dfrac{3}{4}+\dfrac{5}{6}$.

1. b) Eine Jacke kostet 80 €. Der Preis wird um $25\,\%$ gesenkt. Berechnen Sie den neuen Preis.

1. c) Lösen Sie die Gleichung $x^2-5x=0$.

1. d) Leiten Sie die Funktion $f$ mit $f(x)=3x^4-2x^2+5x$ ab.

1. e) Geben Sie für die Funktion $g$ mit $g(x)=-2x+7$ die Steigung und den y-Achsenabschnitt an.

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=x^2-4x+3$, $x\in\mathbb{R}$.

1. a) Berechnen Sie die Nullstellen von $f$.

1. b) Geben Sie die Koordinaten des Scheitelpunkts des Graphen von $f$ an.

1. c) Berechnen Sie $f(-1)$.

1. d) Geben Sie $\lim_{x\to\infty}f(x)$ an.

1. e) Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion $f'$ und berechnen Sie die Steigung des Graphen von $f$ an der Stelle $x=3$.

Bearbeiten Sie die folgenden Teilaufgaben.

1. a) Der Graph der Funktion $f$ mit $f(x)=x^2$ wird um 3 Einheiten nach rechts und um 2 Einheiten nach unten verschoben. Geben Sie einen Funktionsterm der neuen Funktion an.

1. b) Der Graph der Funktion $h$ mit $h(x)=x^3$ wird an der x-Achse gespiegelt. Geben Sie einen Funktionsterm des gespiegelten Graphen an.

1. c) Begründen Sie, dass der Graph der Funktion $k$ mit $k(x)=x^4-3x^2$ achsensymmetrisch zur y-Achse ist.

1. d) Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate der Funktion $f$ mit $f(x)=x^2$ im Intervall $[1;3]$.

1. e) Geben Sie den Definitionsbereich der Funktion $p$ mit $p(x)=\dfrac{1}{x^2}$ an.

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=x^3-3x^2$, $x\in\mathbb{R}$.

1. a) Berechnen Sie die Nullstellen von $f$.

1. b) Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion $f'$ und berechnen Sie die stationären Stellen von $f$.

Es gilt: $f''(x)=6x-6$.

1. c) Bestimmen Sie Art und Koordinaten der lokalen Extrempunkte des Graphen von $f$.

1. d) Bestimmen Sie die Koordinaten des Wendepunkts des Graphen von $f$.

1. e) Bestimmen Sie eine Gleichung der Tangente an den Graphen von $f$ im Wendepunkt.

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=-x^2+4x+5$, $x\in\mathbb{R}$.

1. a) Bestimmen Sie die Scheitelpunktform von $f$ und geben Sie die Koordinaten des Scheitelpunkts an.

1. b) Berechnen Sie die Nullstellen von $f$.

1. c) Geben Sie den Wertebereich von $f$ an.

1. d) Beschreiben Sie mithilfe der Ableitung, für welche $x$ die Funktion $f$ streng monoton wachsend ist.

1. e) Bestimmen Sie die Stelle, an der die Tangente an den Graphen von $f$ einen Steigungswinkel von $45^\circ$ besitzt.

Ein Fahrzeug bewegt sich geradlinig. Für $0\le t\le 10$ wird der zurückgelegte Weg durch die Funktion $s$ mit $s(t)=0{,}5t^2+2t$ beschrieben ($t$ in Sekunden, $s(t)$ in Metern).

1. a) Berechnen Sie die mittlere Geschwindigkeit des Fahrzeugs im Zeitintervall $[2;6]$.

1. b) Bestimmen Sie $s'(t)$ und berechnen Sie die Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt $t=4$.

1. c) Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem die Momentangeschwindigkeit so groß ist wie die mittlere Geschwindigkeit aus Teilaufgabe a).

1. d) Berechnen Sie $\lim_{h\to 0}\dfrac{s(3+h)-s(3)}{h}$ und deuten Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang.

1. e) Begründen Sie mithilfe von $s''$, dass die Geschwindigkeit des Fahrzeugs im betrachteten Zeitraum zunimmt.

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=x^4-4x^3$, $x\in\mathbb{R}$.

Es gilt: $f'(x)=4x^3-12x^2$, $f''(x)=12x^2-24x$ und $f'''(x)=24x-24$.

1. a) Berechnen Sie die Nullstellen von $f$.

1. b) Berechnen Sie die stationären Stellen von $f$ und weisen Sie nach, dass der Graph von $f$ genau einen lokalen Extrempunkt besitzt. Geben Sie dessen Koordinaten an.

1. c) Bestimmen Sie die Koordinaten der Wendepunkte des Graphen von $f$.

1. d) Beschreiben Sie das Krümmungsverhalten des Graphen von $f$ im Intervall $]0;2[$.

1. e) Begründen Sie, dass der Extrempunkt aus Teilaufgabe b) ein globaler Tiefpunkt ist.

Der Graph einer quadratischen Funktion $g$ mit $g(x)=a(x-d)^2+e$ ist nach unten geöffnet, besitzt den Scheitelpunkt $S(-1\mid 4)$ und hat die Nullstelle $x=1$.

1. a) Bestimmen Sie den Funktionsterm von $g$.

1. b) Geben Sie die zweite Nullstelle von $g$ an.

1. c) Beschreiben Sie, wie der Graph von $g$ aus dem Graphen der Funktion $f$ mit $f(x)=x^2$ durch Spiegelung und Verschiebung hervorgeht.

1. d) Bestimmen Sie eine Gleichung der Tangente an den Graphen von $g$ an der Stelle $x=1$.

1. e) Geben Sie die Steigung der Normalen an den Graphen von $g$ an der Stelle $x=1$ an.

Gegeben ist die Ableitungsfunktion $f'$ einer Funktion $f$ mit $f'(x)=x^2-4$, $x\in\mathbb{R}$. Außerdem gilt $f(0)=1$.

1. a) Bestimmen Sie die Intervalle, in denen $f$ streng monoton wachsend bzw. streng monoton fallend ist.

1. b) Bestimmen Sie die Art der lokalen Extremstellen von $f$.

1. c) Bestimmen Sie die Stelle, an der der Graph von $f$ einen Wendepunkt besitzt.

1. d) Bestimmen Sie den Funktionsterm von $f$.

1. e) Berechnen Sie die y-Koordinate des lokalen Hochpunkts des Graphen von $f$.