Aufgaben: Aufgaben mit Argumentation und Kontext (Teil B)

Eine Funktion $f$ hat die Ableitung $f'(x) = 3x^2 - 12$. Bestimmen Sie die Stellen mit waagerechter Tangente und geben Sie an, in welchen Intervallen $f$ streng monoton steigt.

Die Temperatur in einem Gewächshaus in Münster wird für $0 \le t \le 12$ durch $T(t) = -0{,}5t^2 + 6t + 10$ beschrieben ($t$ in Stunden nach 6 Uhr, $T$ in °C). Berechnen Sie die Temperatur um 10 Uhr und um 18 Uhr.

Begründen Sie mit einem Gegenbeispiel, dass die Aussage falsch ist: „Wenn $f'(x_0) = 0$ gilt, hat $f$ an der Stelle $x_0$ einen Extrempunkt.“

Die Temperatur in einem Gewächshaus in Münster wird für $0 \le t \le 12$ durch $T(t) = -0{,}5t^2 + 6t + 10$ beschrieben ($t$ in Stunden nach 6 Uhr, $T$ in °C).

1. a) Bestimmen Sie den Zeitpunkt der höchsten Temperatur und diese Temperatur.

1. b) Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate der Temperatur zwischen 6 Uhr und 12 Uhr.

1. c) Bestimmen Sie die momentane Änderungsrate um 14 Uhr und deuten Sie das Vorzeichen im Sachzusammenhang.

Ein Unternehmen in Wolfsburg stellt Kisten her. Die Kosten für $x$ Kisten pro Tag (in €) werden durch $K(x) = 0{,}02x^3 - 0{,}9x^2 + 15x + 100$ modelliert.

1. a) Berechnen Sie die Kosten für 20 Kisten und die durchschnittlichen Kosten pro Kiste.

1. b) Bestimmen Sie die Produktionsmenge, bei der die Kostenzunahme (Ableitung) minimal ist, und erläutern Sie die Bedeutung dieser Stelle für den Graphen von $K$.

Gegeben ist die Funktionenschar $f_a(x) = x^2 - ax$ mit $a > 0$.

1. a) Bestimmen Sie die Nullstellen und den Tiefpunkt von $f_a$ in Abhängigkeit von $a$.

1. b) Bestimmen Sie $a$ so, dass der Tiefpunkt bei $y = -9$ liegt.

Gegeben ist die Funktionenschar $f_a(x) = x^3 - 3ax$ mit $a \in \mathbb{R}$.

1. a) Untersuchen Sie in Abhängigkeit von $a$ die Anzahl der Extremstellen von $f_a$.

1. b) Zeigen Sie, dass alle Graphen von $f_a$ punktsymmetrisch zum Ursprung sind.

1. c) Bestimmen Sie für $a > 0$ die Ortskurve der Tiefpunkte von $f_a$ in der Form $y = g(x)$ und geben Sie den zugehörigen Definitionsbereich an. Zeigen Sie anschließend, dass auch alle Hochpunkte von $f_a$ auf dem Graphen von $g$ liegen.

Ein Rechteck liegt mit zwei Ecken auf der x-Achse und mit den beiden anderen Ecken auf der Parabel $f(x) = 9 - x^2$ (symmetrisch zur y-Achse, mit $0 < u < 3$ als halber Breite).

1. a) Stellen Sie den Flächeninhalt $A(u)$ des Rechtecks als Funktion von $u$ auf.

1. b) Bestimmen Sie $u$ so, dass der Flächeninhalt maximal wird, und weisen Sie nach, dass es sich um ein Maximum handelt.

1. c) Begründen Sie, dass der Flächeninhalt an den Rändern des Definitionsbereichs kleiner ist als das Maximum.

Ein Rettungshubschrauber startet im Punkt $A(0|0|0)$ und fliegt geradlinig in Richtung $\begin{pmatrix}2\\1\\0{,}2\end{pmatrix}$ (Koordinaten in km). Ein Funkmast steht im Punkt $M(6|3|0)$ und ist 0,1 km hoch (Spitze $S(6|3|0{,}1)$).

1. a) Stellen Sie die Geradengleichung der Flugbahn auf.

1. b) Untersuchen Sie, ob der Hubschrauber über die Mastspitze hinwegfliegt oder sie trifft, indem Sie prüfen, ob $S$ auf der Flugbahn liegt.

1. c) Berechnen Sie die Höhe des Hubschraubers über dem Punkt $(6|3|\cdot)$ der Flugbahn, also bei $y = 3$, und deuten Sie das Ergebnis.