Aufgaben: Aufgaben ohne Hilfsmittel (Teil A)

Leiten Sie ohne Hilfsmittel ab:

1. a) $f(x) = 4x^3 - 2x + 7$

1. b) $g(x) = \frac{1}{x} + x^2$

1. c) $h(x) = (2x - 1)^2$

Bestimmen Sie ohne Hilfsmittel die Nullstellen von $f(x) = x^3 - 4x$.

Gegeben sind $\vec{a} = \begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}$ und $\vec{b} = \begin{pmatrix}2\\-2\\1\end{pmatrix}$. Berechnen Sie ohne Hilfsmittel $|\vec{a}|$ und das Skalarprodukt $\vec{a}\cdot\vec{b}$. Was folgt für die Lage der Vektoren zueinander?

Gegeben ist $f(x) = x^3 - 3x^2$.

1. a) Bestimmen Sie die Extrempunkte des Graphen von $f$ und ihre Art.

1. b) Bestimmen Sie den Wendepunkt.

Der Graph von $f(x) = x^2$ wird um 2 nach rechts verschoben, mit dem Faktor 3 in y-Richtung gestreckt und anschließend um 1 nach unten verschoben.

1. a) Geben Sie den Funktionsterm der neuen Funktion $g$ an.

1. b) Bestimmen Sie den Scheitelpunkt und die Nullstellen von $g$.

Gegeben sind die Punkte $A(1|0|2)$, $B(3|4|2)$ und $C(1|4|5)$.

1. a) Untersuchen Sie rechnerisch, ob das Dreieck $ABC$ bei $B$ einen rechten Winkel hat.

1. b) Berechnen Sie den Mittelpunkt der Strecke $AB$.

Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades $f$ hat im Ursprung einen Wendepunkt mit der Wendetangente $y = 3x$ und den Hochpunkt bei $x = 1$. Bestimmen Sie ohne Hilfsmittel den Funktionsterm von $f$ und prüfen Sie, dass bei $x = 1$ tatsächlich ein Hochpunkt vorliegt.

Gegeben ist $f(x) = x^3 - 3x$.

1. a) Bestimmen Sie die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $P(2|f(2))$.

1. b) Bestimmen Sie alle Stellen, an denen die Tangente parallel zur Geraden $y = 9x + 1$ verläuft.

Gegeben sind $\vec{a} = \begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}$ und $\vec{b} = \begin{pmatrix}1\\t\\3\end{pmatrix}$ mit $t \in \mathbb{R}$.

1. a) Bestimmen Sie $t$ so, dass $\vec{a}$ und $\vec{b}$ senkrecht zueinander sind.

1. b) Begründen Sie, dass $\vec{a}$ und $\vec{b}$ für kein $t$ linear abhängig sind.