Aufgaben: Vektoren und Vektorräume

Karl soll die Koordinaten des Mittelpunkts $M$ der Strecke mit den Endpunkten $A(1\,|\,-2\,|\,4)$ und $B(5\,|\,2\,|\,-2)$ berechnen. Zur Lösung schreibt er in seiner Klassenarbeit:

Daher schließt er, dass der Mittelpunkt $M(2\,|\,2\,|\,-3)$ ist.

1. a) Erklären Sie ausführlich, worin Karls begrifflicher Fehler besteht. Was stellt der Vektor $\frac{1}{2}\vec{AB}$ geometrisch dar und warum stimmen seine Komponenten nicht mit den Koordinaten des Mittelpunkts bezüglich des Koordinatenursprungs überein?
2. b) Zeigen Sie, wie Karl mit seinem Vektor $\frac{1}{2}\vec{AB}$ zum richtigen Mittelpunkt hätte gelangen können, indem er ihn zum passenden Ortsvektor addiert.
3. c) Korrigieren Sie die Rechnung mit der direkten Mittelpunktformel $M = \frac{A+B}{2}$ und überprüfen Sie, dass beide Wege zum selben Ergebnis führen.

Gegeben ist der Vektor des Raumes $\vec{v} = (2,\; -6,\; 9)$.

1. a) Begründen Sie, ohne Quadratwurzeln zu berechnen, warum der Betrag eines beliebigen Vektors $\vec{u} = (u_1,\; u_2,\; u_3)$ ungleich dem Nullvektor stets größer oder gleich dem Betrag jeder seiner Komponenten ist ($|\vec{u}| \ge |u_i|$, mit strenger Ungleichung, wenn er mindestens zwei von null verschiedene Komponenten hat) und kleiner oder gleich der Summe der Beträge aller Komponenten ($|\vec{u}| \le |u_1| + |u_2| + |u_3|$).
2. b) Nutzen Sie die obige Überlegung, um den Wert von $|\vec{v}|$ zwischen zwei ganzen Zahlen einzugrenzen, indem Sie ein Intervall abschätzen, in dem seine Länge notwendigerweise liegen muss.
3. c) Berechnen Sie den exakten Betrag von $\vec{v}$ mit der dreidimensionalen Formel und überprüfen Sie, ob Ihre anfängliche Abschätzung richtig war.

Eine Kurierdrohne bewegt sich im dreidimensionalen Raum entlang von Bahnen, die durch Vektoren festgelegt sind. Ihre Grundtriebwerke erlauben ihr drei Grundbewegungen, die durch die Vektoren $\vec{u} = (1, -1, 0)$, $\vec{v} = (0, 2, 1)$ und $\vec{w} = (2, 0, 3)$ definiert sind. Muss die Drohne einen dringenden Transport von der Kontrollzentrale zu einem Kunden entlang des resultierenden Verschiebungsvektors $\vec{d} = (5, 1, 10)$ durchführen, berechnen Sie die Koeffizienten $a, b$ und $c$ so, dass sich die Bewegung als Linearkombination der Triebwerke darstellen lässt: $\vec{d} = a\vec{u} + b\vec{v} + c\vec{w}$.

Beim Design eines Videospiels hängt die Beleuchtung eines Raumes von drei Scheinwerfern ab, deren Strahlrichtungen durch die Vektoren $\vec{v_1} = (1, 2, k)$, $\vec{v_2} = (k, 0, 1)$ und $\vec{v_3} = (3, 2, 2)$ gegeben sind. Bestimmen Sie begründet die Werte des reellen Parameters $k$, für die die drei Lichtstrahlen linear abhängig sind (in einer gemeinsamen Ebene liegen). Was geschieht mit der Basis des Raumes, wenn $k$ einen dieser Werte annimmt?

Betrachten Sie die Vektoren des Raumes $\vec{u} = (1, 1, 0)$, $\vec{v} = (0, 1, 1)$ und $\vec{w} = (1, 0, 1)$.

1. a) Zeigen Sie, dass die Menge $B = \{ \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} \}$ eine Basis von $\mathbb{R}^3$ bildet.
2. b) Bestimmen Sie die Koordinaten des kanonischen Vektors $\vec{e_1} = (1, 0, 0)$ bezüglich der Basis $B$.

Ein Laser-Sicherheitssystem verwendet drei Sensoren in den Punkten $A(1|2|3)$, $B(3|0|1)$ und $C(k|-2|-1)$. Damit das System korrekt funktioniert, müssen die drei Sensoren genau auf einer Geraden liegen.

1. a) Berechnen Sie den Wert von $k$ so, dass die Sensoren $A, B$ und $C$ auf einer Geraden liegen.
2. b) Bestimmen Sie mit dem gefundenen Wert von $k$ die Koordinaten des Mittelpunkts der Strecke $AC$.

Auf einem Metallgestell werden Solarmodule installiert. Die Befestigungspunkte eines Moduls sind $P(1|0|1)$, $Q(2|1|3)$, $R(0|2|2)$ und $S(1|3|a)$. Damit das Modul keinen mechanischen Spannungen ausgesetzt ist, müssen die vier Punkte komplanar sein (in derselben Ebene liegen).

1. a) Bestimmen Sie den Wert von $a$ so, dass die Punkte $P, Q, R$ und $S$ komplanar sind.
2. b) Sind die Vektoren $\vec{PQ}$ und $\vec{PR}$ für den erhaltenen Wert von $a$ linear unabhängig? Begründen Sie Ihre Antwort.

Gegeben sind die Punkte $A(2|-1|4)$ und $B(8|5|-2)$. Bestimmen Sie die Koordinaten der Punkte $C$ und $D$, die die Strecke $AB$ in drei gleich lange Teile teilen. Erklären Sie die vektorielle Beziehung, die Sie zur Lösung verwendet haben.

Untersuchen Sie den Rang der folgenden Vektorfamilie in Abhängigkeit von den Werten des Parameters $m$:

$\vec{u} = (1, m, 1)$, $\vec{v} = (m, 1, 1)$ und $\vec{w} = (1, 1, m)$.

Bestimmen Sie, für welche Werte von $m$ das Vektorsystem linear abhängig ist, und geben Sie gegebenenfalls an, ob die Vektoren proportional oder komplanar sind.

In einer Physiksimulationssoftware wird ein lokales Koordinatensystem durch die Vektoren $\vec{a} = (2, 1, -1)$, $\vec{b} = (1, 0, 1)$ und einen dritten Vektor $\vec{c}$ so festgelegt, dass die Menge linear unabhängig ist.

Hat der Vektor $\vec{c}$ die Form $(0, 1, \lambda)$, bestimmen Sie das Intervall der Werte von $\lambda$, für die sich $\vec{c}$ nicht als Linearkombination von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ darstellen lässt. Begründen Sie, ob dies bedeutet, dass die Menge $\{ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \}$ eine Basis von $\mathbb{R}^3$ bildet.

Eine Überwachungsdrohne startet von einer Plattform im Punkt $A(1|-2|5)$ und fliegt geradlinig bis zu einem Ziel im Punkt $B(4|3|-1)$. Berechnen Sie die Komponenten des Verschiebungsvektors $\vec{AB}$ und bestimmen Sie seinen Betrag, um die von der Drohne zurückgelegte Entfernung zu erhalten.

Gegeben sind die Vektoren $\vec{u} = (2, -1, 3)$ und $\vec{v} = (0, 4, 1)$. Führen Sie die folgenden analytischen Operationen durch:

1. a) $\vec{w} = \vec{u} + \vec{v}$

1. b) $\vec{t} = 3\vec{u} - 2\vec{v}$

1. c) Berechnen Sie den Wert des Skalars $k$, wenn bekannt ist, dass $k \cdot \vec{u} = (10, -5, 15)$ gilt.

Beim Entwurf eines Metalltragwerks werden zwei Träger an ihren Enden verbunden, die durch die Punkte $P(2|5|-3)$ und $Q(8|-1|7)$ dargestellt sind. Zur Verstärkung des Tragwerks soll genau im Mittelpunkt der Strecke $PQ$ eine Stütze angebracht werden. Bestimmen Sie die Koordinaten dieses Mittelpunkts $M$.

Bestimmen Sie, ob die Vektoren $\vec{a} = (1, -2, 4)$ und $\vec{b} = (-3, 6, -12)$ linear abhängig sind. Begründen Sie Ihre Antwort, indem Sie prüfen, ob ihre Koordinaten proportional sind, und erklären Sie, welche geometrische Beziehung zwischen ihnen besteht (sind sie parallel?).

Stellen Sie den Vektor $\vec{w} = (7, 11, 2)$ als Linearkombination der Vektoren der kanonischen Basis von $\mathbb{R}^3$ dar, d. h. in Abhängigkeit von $\vec{i} = (1, 0, 0)$, $\vec{j} = (0, 1, 0)$ und $\vec{k} = (0, 0, 1)$.

Drei Radiostationen befinden sich in den Punkten $A(1|1|1)$, $B(3|2|0)$ und $C(5|3|-1)$. Prüfen Sie, ob die drei Stationen auf einer Geraden liegen, indem Sie die Proportionalität der Vektoren $\vec{AB}$ und $\vec{BC}$ untersuchen.

Berechnen Sie den Wert des Parameters $m$ so, dass der Vektor $\vec{u} = (m, 2, 4)$ eine Linearkombination der Vektoren $\vec{v} = (1, 0, 2)$ und $\vec{w} = (0, 1, -1)$ mit dem Ansatz $\vec{u} = 3\vec{v} + 2\vec{w}$ ist.

Betrachten Sie ein Parallelogramm, bei dem drei aufeinanderfolgende Eckpunkte $A(1|1|0)$, $B(4|2|1)$ und $C(5|5|3)$ sind. Berechnen Sie mithilfe der Gleichheit von Vektoren (zum Beispiel $\vec{AB} = \vec{DC}$) die Koordinaten des vierten Eckpunkts $D$.

Gegeben sind die Punkte des Raumes $A(1\,|\,-1\,|\,2)$ und $B(3\,|\,1\,|\,0)$. Gesucht ist die Lage eines dritten Punktes $P(x\,|\,y\,|\,z)$, der gleichzeitig drei Bedingungen erfüllt:

1. Die Punkte $A$, $B$ und $P$ liegen auf einer gemeinsamen Geraden.

2. Der Abstand zwischen $A$ und $P$ ist genau das Dreifache des Abstands zwischen $A$ und $B$ (also $|\vec{AP}| = 3\cdot |\vec{AB}|$).

3. Die dritte Koordinate von $P$ ist streng negativ ($z < 0$).

1. a) Bestimmen Sie die Komponenten des Vektors $\vec{AB}$ und berechnen Sie seinen exakten Betrag.
2. b) Stellen Sie die vektorielle Beziehung zwischen $\vec{AP}$ und $\vec{AB}$ auf und leiten Sie die beiden möglichen Verschiebungsvektoren $\vec{AP}$ her, die die Abstandsbedingung erfüllen.
3. c) Bestimmen Sie begründet die Koordinaten des Punktes $P$, indem Sie die Lösung verwerfen, die die Einschränkung für die Koordinate $z$ nicht erfüllt.

Der Deutsche Wetterdienst (DWD) verfolgt einen Wetterballon, der in der Nähe von Berlin gestartet wurde. Es wird ein kartesisches Koordinatensystem mit dem Ursprung $O(0|0|0)$ an der Startstation festgelegt, wobei die $X$-Achse nach Osten, die $Y$-Achse nach Norden zeigt (beide mit Entfernungen in Kilometern) und die $Z$-Achse die Höhe misst (in Hundert Metern, sodass $z = 10$ einer Höhe von $1000\text{ m}$ entspricht).

In einer ersten Aufstiegsphase erreicht der Ballon die Position $A(0|0|12)$. Anschließend trägt ihn ein anhaltender Wind gemäß dem Verschiebungsvektor $\vec{u} = (4,\; 3,\; 8)$ zu einer Position $B$.

1. a) Bestimmen Sie die Koordinaten der Position $B$ und geben Sie an, in welcher Höhe in Metern sich der Ballon an diesem Punkt befindet.
2. b) Ein Beobachtungsteam möchte einen Beobachtungspunkt $M$ genau in der Mitte der Strecke zwischen dem Startpunkt $O$ und der Position $B$ einrichten. Bestimmen Sie die Koordinaten von $M$ und berechnen Sie die direkte Entfernung (Luftlinie) vom Ursprung $O$ bis $M$ in Kilometern (beachten Sie die Umrechnung der Einheiten: $1\text{ Einheit von } z = 0,1\text{ km}$).
3. c) Von der Position $B$ aus drückt eine Böe den Ballon gemäß dem Vektor $\vec{w} = (-2;\; -1,5;\; -4)$ zu einem neuen Punkt $C$. Zeigen Sie vektoriell, dass die Punkte $A$, $B$ und $C$ auf einer Geraden liegen.

Gegeben sind die Vektoren des Raumes $\mathbb{V}^3$, definiert durch $\vec{u} = (k, 1, 1)$, $\vec{v} = (1, k, 1)$ und $\vec{w} = (1, 1, k)$. Bearbeiten Sie:

• a) Bestimmen Sie begründet, für welche Werte des reellen Parameters $k$ die Vektoren $\{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}$ keine Basis von $\mathbb{R}^3$ bilden.

• b) Untersuchen Sie für die in Teilaufgabe a) gefundenen Werte von $k$ die lineare Abhängigkeit bzw. Unabhängigkeit der jeweils paarweise genommenen Vektoren.

• c) Stellen Sie für den Fall $k = 0$ den Vektor $\vec{a} = (2, 3, 5)$ als Linearkombination von $\vec{u}$, $\vec{v}$ und $\vec{w}$ dar.

Betrachten Sie eine Basis $B = \{\vec{e_1}, \vec{e_2}, \vec{e_3}\}$ eines euklidischen Vektorraums. Aus den Basisvektoren werden drei neue Vektoren definiert:

$\vec{u} = \vec{e_1} + a\vec{e_2}$

$\vec{v} = \vec{e_2} + b\vec{e_3}$

$\vec{w} = \vec{e_3} + c\vec{e_1}$

Zeigen Sie, dass die Vektoren $\{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}$ genau dann linear abhängig sind, wenn das Produkt der Koeffizienten $abc = -1$ gilt. Bestimmen Sie für den Fall $a=1, b=1, c=-1$ die lineare Abhängigkeitsbeziehung zwischen ihnen.

Ein Team von Ingenieuren kalibriert das Navigationssystem eines Satelliten. Im Arbeitsraum wurden zwei verschiedene Basen festgelegt: die Kontrollbasis $B = \{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}$ und die Manöverbasis $B' = \{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$. Es ist bekannt:

$\vec{a} = 2\vec{u} - \vec{v}$

$\vec{b} = \vec{u} + \vec{w}$

$\vec{c} = \vec{v} - \vec{w}$

Ein erfasstes Objekt hat bezüglich der Manöverbasis $B'$ die Koordinaten $(1, -2, 3)$. Berechnen Sie seine Koordinaten bezüglich der Kontrollbasis $B$. Ist es möglich, dass ein Vektor in beiden Basen dieselben Koordinaten hat? Begründen Sie Ihre Antwort.

Gegeben ist ein Tetraeder mit den Eckpunkten $O(0|0|0)$, $A(2|2|0)$, $B(0|2|1)$ und $C(k|0|3)$. Bestimmen Sie den Wert von $k$ so, dass der Vektor vom Ursprung $O$ zum Schwerpunkt $G$ der gegenüberliegenden Seitenfläche $ABC$ senkrecht zu der Ebene steht, die diese Fläche enthält. Hinweis: Der Schwerpunkt eines Dreiecks ist das arithmetische Mittel seiner Eckpunkte.

Gegeben sind die Vektoren $\vec{u} = (1, -1, 0)$ und $\vec{v} = (0, 1, -1)$. Bestimmen Sie alle Vektoren $\vec{w}$, die gleichzeitig die folgenden drei Bedingungen erfüllen:

1. $\vec{w}$ ist eine Linearkombination von $\vec{u}$ und $\vec{v}$.

2. Der Betrag von $\vec{w}$ ist gleich $\sqrt{6}$.

3. $\vec{w}$ schließt mit dem Vektor $\vec{u}$ einen Winkel von $60^\circ$ ein.

Untersuchen Sie die lineare Abhängigkeit der Punkte $A(1|1|1)$, $B(0|2|2)$, $C(2|0|0)$ und $D(m|m|m)$.

• a) Bestimmen Sie, für welche Werte von $m$ die vier Punkte in einer Ebene liegen.

• b) Gibt es einen Wert von $m$, für den der Vektor $\vec{AB}$ orthogonal zum Vektor $\vec{CD}$ ist?

• c) Erklären Sie geometrisch, was mit den Punkten geschieht, wenn $m=1$ gilt.

Gegeben ist die Menge von Vektoren $S = \{ \vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3} \}$, die eine Orthonormalbasis bilden. Ein neues Vektorsystem $S' = \{ \vec{w_1}, \vec{w_2}, \vec{w_3} \}$ wird durch die folgenden Beziehungen konstruiert:

$\vec{w_1} = \vec{v_1} + \vec{v_2}$

$\vec{w_2} = \vec{v_1} - \vec{v_2}$

$\vec{w_3} = \vec{v_3}$

• a) Zeigen Sie, dass $S'$ eine Orthogonalbasis, aber keine Orthonormalbasis ist.

• b) Bestimmen Sie das Volumen des Spats, der von den Vektoren aus $S'$ aufgespannt wird.

• c) Wenn ein Vektor $\vec{x}$ in der Basis $S$ die Koordinaten $(3, 1, 4)$ hat, berechnen Sie seine Koordinaten in der Basis $S'$.

Zwei Teilchen bewegen sich auf geradlinigen Bahnen durch den Raum. Zum Zeitpunkt $t=0$ befindet sich das erste Teilchen im Punkt $P(1|0|0)$ und bewegt sich mit der konstanten Geschwindigkeit, die durch den Vektor $\vec{v_1} = (1, 1, 1)$ gegeben ist. Das zweite Teilchen startet in $Q(0|2|1)$ mit der Geschwindigkeit $\vec{v_2} = (2, m, 0)$.

Bestimmen Sie den Wert von $m$ so, dass die Ortsvektoren beider Teilchen zu jedem Zeitpunkt $t > 0$ und der Verbindungsvektor ihrer Anfangspositionen $\vec{PQ}$ stets komplanar sind. Stoßen die Teilchen für diesen Wert von $m$ irgendwann zusammen?

Um zu entscheiden, ob drei Punkte des Raumes $A(1\,|\,2\,|\,-1)$, $B(3\,|\,-2\,|\,3)$ und $C(6\,|\,-8\,|\,9)$ auf einer gemeinsamen Geraden liegen, werden zwei verschiedene Lösungsstrategien vorgeschlagen:

• Methode 1 (metrisch): Berechnen Sie die euklidischen Abstände $d(A, B)$, $d(B, C)$ und $d(A, C)$ über den Betrag der jeweiligen Vektoren und prüfen Sie, ob die Summe der beiden kleineren Abstände genau dem größten entspricht.

• Methode 2 (vektoriell): Bilden Sie die Vektoren $\vec{AB}$ und $\vec{AC}$ und untersuchen Sie, ob sie linear abhängig sind, indem Sie die Proportionalität ihrer Komponenten prüfen: $\frac{b_1-a_1}{c_1-a_1} = \frac{b_2-a_2}{c_2-a_2} = \frac{b_3-a_3}{c_3-a_3}$.

1. a) Wenden Sie Methode 2 an, um begründet zu entscheiden, ob die Punkte $A$, $B$ und $C$ auf einer Geraden liegen oder nicht.
2. b) Wenden Sie Methode 1 an, indem Sie die Beträge $|\vec{AB}|$ und $|\vec{AC}|$ berechnen und die erhaltenen Wurzeln vereinfachen, und überprüfen Sie, dass Sie zum selben Ergebnis gelangen.
3. c) Vergleichen Sie beide Methoden kritisch und verfassen Sie eine begründete Stellungnahme, welche zweckmäßiger ist. Berücksichtigen Sie dabei zwei Aspekte: den rechnerischen Aufwand (Quadratwurzeln im Vergleich zu direkten Verhältnissen) und die Anwendbarkeit für den Fall, dass die dritte Koordinate von $C$ einen unbekannten Parameter $k$ enthielte.

Gegeben sind die Vektoren des Raumes $\vec{u} = (1,\; -1,\; 2)$ und $\vec{v} = (0,\; 2,\; 1)$ sowie der von einem reellen Parameter $k$ abhängige Vektor $\vec{w}_k = (2,\; k,\; 7)$.

1. a) Stellen Sie das Gleichungssystem aus drei Gleichungen mit zwei Unbekannten ($a, b$) auf, das die Bedingung ausdrückt, dass $\vec{w}_k$ eine Linearkombination von $\vec{u}$ und $\vec{v}$ ist, d. h. $\vec{w}_k = a\vec{u} + b\vec{v}$.
2. b) Lösen Sie die von $k$ unabhängigen Gleichungen, um die einzig möglichen Koeffizienten $a$ und $b$ zu bestimmen. Folgern Sie daraus, ob es einen Wert des Parameters $k$ gibt, für den $\vec{w}_k$ eine Linearkombination von $\vec{u}$ und $\vec{v}$ ist.
3. c) Nehmen Sie nun an, dass der Vektor $\vec{t} = (3,\; -3,\; 6)$ definiert wird. Begründen Sie, ohne ein Gleichungssystem zu lösen, ob $\vec{t}$ linear abhängig von $\vec{u}$ ist, und beschreiben Sie die gegenseitige Lage der Geraden, die beide Vektoren enthalten, im Raum.
4. d) Begründen Sie formal und nachvollziehbar, warum kein Paar reeller Skalare $\alpha, \beta \neq 0$ ungleich null die Gleichung $\alpha\vec{u} + \beta\vec{v} = (0,\; 0,\; 0)$ erfüllen kann, und stellen Sie dabei einen Bezug zur linearen Unabhängigkeit von $\vec{u}$ und $\vec{v}$ her.