Aufgaben: Ganzrationale Funktion

Bestimmen Sie die Koordinaten des Scheitelpunkts und die Gleichung der Symmetrieachse der quadratischen Funktion $f(x) = 2x^2 - 8x + 5$.

Bestimmen Sie den Funktionsterm der linearen Funktion, deren Graph durch die Punkte $A(2|-3)$ und $B(5|6)$ verläuft.

Berechnen Sie analytisch die Schnittpunkte der ganzrationalen Funktion $p(x) = x^3 - 4x$ mit den Koordinatenachsen.

Die Höhe einer Beobachtungsdrohne in Metern in Abhängigkeit von der Zeit in Sekunden ist durch den Term $h(t) = -5t^2 + 20t + 2$ gegeben. Berechnen Sie die Höhe, in der sich die Drohne zu den Zeitpunkten $t = 1$ und $t = 3$ befindet.

Geben Sie an, ob die Parabel der Funktion $g(x) = -3x^2 + 6x - 1$ nach unten geöffnet (konkav) oder nach oben geöffnet (konvex) ist, und berechnen Sie die exakten Koordinaten ihres Scheitelpunkts.

Untersuchen Sie das Verhalten der ganzrationalen Funktion $f(x) = -2x^4 + 5x^3 - x + 7$ im Unendlichen und bestimmen Sie dazu den Wert ihrer Grenzwerte für $x \to +\infty$ und für $x \to -\infty$.

Bestimmen Sie die Nullstellen der ganzrationalen Funktion zweiten Grades $f(x) = x^2 - 5x + 6$.

Berechnen Sie den Wert des Parameters $c$ so, dass die quadratische Funktion $f(x) = 4x^2 - 3x + c$ durch den Punkt $P(-1|10)$ verläuft.

Marcos möchte die Wertemenge der quadratischen Funktion $f(x) = -2x^2 + 4x + 1$ bestimmen. Dazu berechnet er die x-Koordinate des Scheitelpunkts mit der Formel $x_v = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{4}{2 \cdot (-2)} = 1$, bestimmt die y-Koordinate durch Berechnung von $f(1) = -2(1)^2 + 4(1) + 1 = 3$ und folgert in seiner Klassenarbeit: „Da der Scheitelpunkt bei $(1|3)$ liegt, beginnt die Funktion bei $y = 3$ und steigt unbegrenzt an, also ist ihre Wertemenge $[3; +\infty)$.“\n\na) Benennen Sie den begrifflichen Fehler, den Marcos macht, und erklären Sie, welche Eigenschaft der Parabel er übersehen hat.\nb) Korrigieren Sie seine Überlegung, indem Sie die Krümmung (konkav oder konvex) anhand des Vorzeichens des Leitkoeffizienten begründen.\nc) Geben Sie die richtige Wertemenge der Funktion an.

An einer Wetterstation des Deutschen Wetterdienstes im Kreis Siegen-Wittgenstein wird die Temperatur $T$ (in Grad Celsius) in einer frostigen Nacht durch die quadratische Funktion $T(t) = 0,5t^2 - 4t + 3$ modelliert, wobei $t$ die seit Mitternacht vergangene Zeit in Stunden darstellt ($0 \le t \le 8$).\n\na) Schätzen Sie vor jeder algebraischen Rechnung anhand der Vorzeichen und Größen der Koeffizienten begründet ab, ob die Tiefsttemperatur zu Beginn der Nacht (vor 2:00 Uhr) oder etwa in der Mitte des Zeitraums erreicht wird und ob diese Temperatur negativ wird.\nb) Berechnen Sie die Koordinaten des Scheitelpunkts der Parabel exakt, um die Uhrzeit des Minimums und die genaue erreichte Temperatur zu bestimmen.\nc) Vergleichen Sie das analytische Ergebnis mit Ihrer anfänglichen Abschätzung und beurteilen Sie, ob das Modell für diesen Zeitraum ein glaubwürdiges Wetterverhalten wiedergibt.

Bestimmen Sie die Gleichung der Parabel, deren Scheitelpunkt der Punkt $V(3|-2)$ ist und die durch den Punkt $P(5|6)$ verläuft. Geben Sie das Ergebnis in der Form $y = ax^2 + bx + c$ an.

Ein Landwirt hat $100$ Meter Zaun, um einen rechteckigen Gemüsegarten einzuzäunen, wobei er das gerade Ufer eines Flusses nutzt und an dieser Seite keinen Zaun benötigt. Stellen Sie den Flächeninhalt des Gartens in Abhängigkeit von der zum Fluss senkrechten Breite $x$ dar und bestimmen Sie die Abmessungen, für die dieser Flächeninhalt maximal wird.

Ein Geschoss wird so nach oben geworfen, dass seine Höhe in Metern in Abhängigkeit von der Zeit in Sekunden der Funktion $h(t) = -4,9t^2 + 19,6t + 1,5$ folgt. Berechnen Sie die maximale Höhe, die das Geschoss erreicht, und den Zeitpunkt, zu dem dies geschieht.

Bestimmen Sie die Koeffizienten $a$, $b$ und $c$ der ganzrationalen Funktion zweiten Grades $f(x) = ax^2 + bx + c$, wenn bekannt ist, dass ihr Graph durch die Punkte $(0|3)$, $(1|4)$ und $(-1|6)$ verläuft.

Der Verkaufspreis eines Artikels in Euro in Abhängigkeit von der am Markt nachgefragten Stückzahl $x$ ist durch die Funktion $p(x) = 120 - 2x$ gegeben. Stellen Sie die Funktion der Gesamteinnahmen $R(x)$ auf und berechnen Sie, wie viele Stück verkauft werden müssen, damit die Einnahmen maximal werden.

Berechnen Sie analytisch die Schnittpunkte der Parabel $y = x^2 - 4x + 3$ und der Geraden $y = 2x - 5$.

Bestimmen Sie für die quadratische Funktion $f(x) = \frac{1}{2}x^2 - 4x + 1$ begründet die Intervalle, in denen sie monoton steigt bzw. fällt.

Bestimmen Sie die Nullstellen der ganzrationalen Funktion $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$ und untersuchen Sie ihr Vorzeichen auf der gesamten reellen Zahlengeraden, indem Sie die Intervalle angeben, in denen die Funktion positiv und negativ ist.

Bestimmen Sie den Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion $P(x)$ vierten Grades, die gleichzeitig die folgenden Bedingungen erfüllt:\n\n1. Sie ist eine gerade Funktion.\n2. Sie hat genau drei verschiedene reelle Nullstellen, von denen eine $x = 2$ ist.\n3. Ihr Graph schneidet die waagerechte Gerade $y = 12$ an der Stelle $x = 1$.\n\na) Leiten Sie her, welche die beiden anderen reellen Nullstellen von $P(x)$ zwingend sein müssen, und begründen Sie Ihre Herleitung mit der Symmetrie gerader Funktionen und der Definition der Nullstelle.\nb) Geben Sie die faktorisierte Form von $P(x)$ an und berechnen Sie den Wert des Leitkoeffizienten mithilfe der Bedingung des gegebenen Punkts.\nc) Multiplizieren Sie das Polynom aus und beschreiben Sie sein Verhalten an den Rändern (für $x \to +\infty$ und für $x \to -\infty$), indem Sie es mit dem Grad und dem Vorzeichen des Leitkoeffizienten begründen.

Ein Überlandbusunternehmen, das die Strecke zwischen Köln und Düsseldorf bedient, verlangt derzeit $10\text{ Euro}$ pro Fahrkarte und verzeichnet durchschnittlich $1200$ Fahrgäste pro Tag. Laut einer Marktstudie gewinnt das Unternehmen bei jeder Preissenkung der Fahrkarte um $0,50\text{ Euro}$ täglich $100$ neue Fahrgäste hinzu.\n\na) Modellieren Sie die Funktion der Tageseinnahmen $I(x)$ in Abhängigkeit von der Anzahl $x$ der vorgenommenen Preissenkungen um $0,50\text{ Euro}$. Bestimmen Sie die Definitionsmenge von $x$, die in diesem realen Zusammenhang physikalisch und wirtschaftlich sinnvoll ist.\nb) Begründen Sie analytisch mithilfe der Eigenschaften des Scheitelpunkts der erhaltenen ganzrationalen Funktion, wie hoch der endgültige Fahrkartenpreis sein muss, damit die Tageseinnahmen maximal werden, und wie hoch diese Einnahmen dann sind.\nc) Wenn das Unternehmen einen aggressiven Aktionspreis von nur $2\text{ Euro}$ pro Fahrkarte festlegen würde, welche Einnahmen sagt das Modell dann voraus? Erklären Sie, warum dieses quadratische Modell bei so extremen Preissenkungen nicht mehr realistisch ist.

Bestimmen Sie den Funktionsterm eines Polynoms dritten Grades $P(x)$, dessen einzige Nullstellen $x = -2$, $x = 1$ und $x = 4$ sind und dessen Graph außerdem die y-Achse im Punkt $(0|16)$ schneidet.

Ein Technologieunternehmen verkauft $x$ Stück eines bestimmten elektronischen Bauteils. Der modellierte Verkaufspreis pro Stück in Euro ist $p(x) = 200 - 0,5x$. Die Gesamtproduktionskosten folgen der Funktion $C(x) = 5000 + 20x$. Stellen Sie die Gewinnfunktion $B(x)$ auf, bestimmen Sie die Stückzahl, die den Gewinn maximiert, und berechnen Sie, wie hoch dieser maximale Gewinn ist.

Bestimmen Sie die Werte des Parameters $m$, für die die Gerade mit der Gleichung $y = mx - 4$ Tangente an die Parabel $y = x^2 - 3x + 5$ ist.

Das Haupttragseil einer Hängebrücke hat die Form einer Parabel. Der horizontale Abstand zwischen den Pylonen beträgt $120$ Meter und der tiefste Punkt des Seils liegt $20$ Meter unterhalb der Befestigungspunkte an den Pylonen. Wählen Sie den tiefsten Punkt des Seils als Koordinatenursprung, bestimmen Sie die Gleichung der Parabel und berechnen Sie die Höhe des Seils in $30$ Meter Entfernung von der Mitte.

Eine ganzrationale Funktion dritten Grades $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Sie verläuft durch die Punkte $(1|-4)$ und $(2|4)$. Bestimmen Sie ihren Funktionsterm und berechnen Sie alle ihre Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.

Gegeben ist ein rechteckiges Stück Pappe von $40$ cm Länge und $30$ cm Breite. Daraus soll eine oben offene Schachtel entstehen, indem man an jeder Ecke ein Quadrat der Seitenlänge $x$ ausschneidet und die entstehenden Seitenflächen hochfaltet. Stellen Sie das Volumen $V(x)$ der Schachtel als ganzrationale Funktion dar, geben Sie ihre im Zusammenhang dieser geometrischen Aufgabe sinnvolle Definitionsmenge an und berechnen Sie das Volumen, wenn ein Quadrat der Seitenlänge $5$ cm ausgeschnitten wird.

Bestimmen Sie die Menge der Werte des Parameters $k$, für die die ganzrationale Funktion $P(x) = x^4 - 2x^2 + k$ genau zwei verschiedene reelle Nullstellen hat.

Betrachten Sie die Schar quadratischer Funktionen der Form $f(x) = x^2 + bx + c$. Der Graph verläuft durch den Koordinatenursprung und sein Scheitelpunkt liegt auf der Geraden $y = -x - 2$. Bestimmen Sie den Funktionsterm bzw. die Funktionsterme, die diese Bedingungen erfüllen.

Um das Steigen, das Fallen und die Wertemenge der quadratischen Funktion $f(x) = 3(x - 5)^2 - 12$ zu untersuchen, schlagen drei Schülerinnen und Schüler unterschiedliche Methoden vor:\n\n- Lea schlägt vor, den Term in die allgemeine Form $f(x) = ax^2 + bx + c$ auszumultiplizieren, die x-Koordinate des Scheitelpunkts mit der Formel $x_v = -\dfrac{b}{2a}$ zu berechnen und dann $f(x_v)$ zu bestimmen.\n- David meint, man müsse nichts ausmultiplizieren: Er beobachtet, dass $(x - 5)^2 \ge 0$ für jede reelle Zahl gilt, und schlägt vor, die Koordinaten des Scheitelpunkts direkt aus dem gegebenen Term in Scheitelpunktform abzulesen.\n- Elias schlägt vor, die Gleichung $f(x) = 0$ zu lösen, um die beiden Schnittpunkte mit der $X$-Achse zu finden, und das arithmetische Mittel beider zu berechnen, um die Symmetrieachse der Parabel zu bestimmen.\n\na) Wenden Sie alle drei Verfahren an, um den Scheitelpunkt und die Wertemenge von $f(x)$ zu bestimmen.\nb) Vergleichen Sie die drei Methoden hinsichtlich Rechenaufwand und Zuverlässigkeit. Begründen Sie, welche in diesem konkreten Fall die effizienteste ist.\nc) Betrachten Sie nun die Funktion $g(x) = 3(x - 5)^2 + 12$. Untersuchen Sie, welche der drei Methoden unbrauchbar würde, wenn wir ausschließlich mit reellen Zahlen arbeiten, und erklären Sie, warum Davids Überlegung zur Begründung des absoluten Minimums der Parabel begrifflich überlegen ist.

In einer Wiederholungsstunde zu kubischen ganzrationalen Funktionen der Form $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ mit $a \neq 0$ stellt Daniel zwei kategorische Behauptungen auf:\n\n- Behauptung 1: „Da jedes kubische Polynom mit $a > 0$ links gegen $-\infty$ und rechts gegen $+\infty$ strebt, muss sein Graph die x-Achse immer dreimal schneiden.“\n- Behauptung 2: „Wenn wir das konstante Glied streichen ($d = 0$), verläuft die entstehende Funktion $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx$ durch den Ursprung und ist deshalb immer eine ungerade Funktion mit Punktsymmetrie zum Ursprung.“\n\na) Widerlegen Sie Behauptung 1, indem Sie ein explizites Gegenbeispiel eines kubischen Polynoms mit $a > 0$ angeben, das die $X$-Achse nur in einem einzigen Punkt schneidet, und begründen Sie anhand seines monotonen Steigens, warum es keine weiteren reellen Nullstellen haben kann.\nb) Zeigen Sie analytisch, dass Behauptung 2 falsch ist, indem Sie prüfen, ob die Identität $f(-x) = -f(x)$ für $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx$ erfüllt ist. Welche notwendige und hinreichende Bedingung muss der Koeffizient $b$ erfüllen, damit die Funktion tatsächlich ungerade ist?\nc) Konstruieren Sie den Funktionsterm eines kubischen Polynoms mit Leitkoeffizient $a = 1$, das symmetrisch zum Punkt $(2|5)$ ist und dessen einzige reelle Nullstelle $x = 0$ ist. Begründen Sie Schritt für Schritt, wie Sie die geometrischen Bedingungen auf die Koeffizienten des Polynoms übertragen.