Aufgaben: Transformation $a\cdot\sin(b(x-c))+d$

Geben Sie für die folgenden Funktionen jeweils Amplitude und Periode an:

1. a) $f(x) = 3\sin(x)$

1. b) $g(x) = \sin(2x)$

1. c) $h(x) = -2\sin(\tfrac{1}{2}x)$

Beschreiben Sie, wie der Graph von $f(x) = \sin(x)$ verändert wird, um den Graphen von $g$ zu erhalten:

1. a) $g(x) = \sin(x) + 4$

1. b) $g(x) = \sin(x - 1)$

1. c) $g(x) = 0{,}5\sin(x)$

Gegeben ist $f(x) = 2\sin(x) + 1$. Bestimmen Sie den größten und den kleinsten Funktionswert sowie die Mittellinie des Graphen.

Gegeben ist $f(x) = 3\sin\left(2\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\right) - 1$.

1. a) Geben Sie Amplitude, Periode, Phasenverschiebung und Mittellinie an.

1. b) Bestimmen Sie den Wertebereich von $f$.

1. c) Berechnen Sie $f\left(\frac{\pi}{4}\right)$.

Der Wasserstand im Hafen von Cuxhaven schwankt näherungsweise periodisch. Er wird modelliert durch $h(t) = 1{,}5\sin\left(\frac{2\pi}{12{,}4}t\right) + 3$ ($t$ in Stunden, $h$ in m).

1. a) Geben Sie den höchsten und den niedrigsten Wasserstand an.

1. b) Geben Sie die Dauer einer vollen Periode an.

1. c) Berechnen Sie $h(3{,}1)$.

Bestimmen Sie jeweils eine Funktionsgleichung der Form $f(x) = a\sin(bx) + d$ mit den Eigenschaften:

1. a) Amplitude 2, Periode $\pi$, Mittellinie $y = 0$.

1. b) Maximum 5, Minimum $-1$, Periode $4\pi$.

Eine Riesenrad-Gondel in einem Freizeitpark bei Köln befindet sich zur Zeit $t = 0$ s am tiefsten Punkt in 2 m Höhe. Der höchste Punkt liegt in 52 m Höhe. Das Rad benötigt für eine Umdrehung 240 s.

1. a) Stellen Sie eine Funktionsgleichung $h(t) = a\sin(b(t - c)) + d$ für die Höhe der Gondel auf.

1. b) Berechnen Sie, zu welchen Zeitpunkten in der ersten Umdrehung die Gondel in 27 m Höhe ist.

1. c) Bestimmen Sie die maximale Geschwindigkeit, mit der sich die Höhe ändert, mithilfe der Ableitung.

Gegeben ist $f_k(x) = \sin(kx)$ mit $k > 0$.

1. a) Zeigen Sie, dass die Periode von $f_k$ gleich $\frac{2\pi}{k}$ ist.

1. b) Bestimmen Sie die Anzahl der Nullstellen von $f_k$ im Intervall $[0; 2\pi]$ in Abhängigkeit von $k$ für $k \in \mathbb{N}$.

1. c) Bestimmen Sie die Steigung des Graphen von $f_k$ im Ursprung und begründen Sie, dass sie mit $k$ wächst.

Gegeben ist $f(x) = a\sin(b(x - c)) + d$ mit $a, b > 0$. Der Graph hat einen Hochpunkt $H\left(\frac{\pi}{3}\middle|5\right)$ und den nächstgelegenen Tiefpunkt $T\left(\frac{2\pi}{3}\middle|1\right)$.

1. a) Bestimmen Sie $a$, $b$, $d$ und einen passenden Wert für $c$.

1. b) Begründen Sie, dass es mehrere mögliche Werte für $c$ gibt, und geben Sie die Menge aller möglichen Werte an.