Aufgaben: Eigenschaften und Bogenmaß

Rechnen Sie die folgenden Winkel vom Gradmaß ins Bogenmaß um:

1. a) $90^\circ$

1. b) $135^\circ$

1. c) $360^\circ$

Geben Sie für die Funktion $f(x) = \sin(x)$ jeweils den exakten Wert an:

1. a) $f(0)$

1. b) $f\left(\frac{\pi}{2}\right)$

1. c) $f(\pi)$

1. d) $f\left(\frac{3\pi}{2}\right)$

Geben Sie für die Funktion $f(x) = \sin(x)$ die Periode, den Wertebereich und die Anzahl der Nullstellen im Intervall $[0; 2\pi]$ an.

Bestimmen Sie alle Lösungen der Gleichung $\sin(x) = \frac{1}{2}$ im Intervall $[0; 2\pi]$. Geben Sie die Lösungen im Bogenmaß an.

Der Graph von $f(x) = \sin(x)$ wird betrachtet.

1. a) Geben Sie alle Hoch- und Tiefpunkte im Intervall $[0; 4\pi]$ an.

1. b) Geben Sie alle Wendestellen im Intervall $[0; 2\pi]$ an.

Die Ableitung von $f(x) = \sin(x)$ ist $f'(x) = \cos(x)$ (x im Bogenmaß).

1. a) Bestimmen Sie die Steigung der Tangente an den Graphen von $f$ an der Stelle $x = \frac{\pi}{3}$.

1. b) Bestimmen Sie die Stellen im Intervall $[0; 2\pi]$, an denen die Tangente waagerecht verläuft.

Begründen Sie ohne Taschenrechner, dass die Gleichung $\sin(x) = x$ im Intervall $[0; \infty)$ nur die Lösung $x = 0$ besitzt. Verwenden Sie dazu, dass $\sin(x) \le 1$ gilt und $\sin'(x) = \cos(x)$ ist.

Für ein Intervall $[a; b]$ wird die mittlere Änderungsrate von $f(x) = \sin(x)$ betrachtet.

1. a) Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate im Intervall $\left[0; \frac{\pi}{2}\right]$.

1. b) Bestimmen Sie eine Stelle $x_0$ in $\left(0; \frac{\pi}{2}\right)$, an der die momentane Änderungsrate gleich der mittleren Änderungsrate aus a) ist. Geben Sie die Gleichung für $x_0$ an und begründen Sie, dass es genau eine solche Stelle gibt.

Zeigen Sie, dass für alle $x$ gilt: $\sin(x + 2\pi) = \sin(x)$ und $\sin(\pi - x) = \sin(x)$. Erläutern Sie anhand des Graphen, welche Symmetrie bzw. Eigenschaft von $f(x) = \sin(x)$ sich jeweils dahinter verbirgt.