Aufgaben: Lage und Schnittpunkte

Prüfen Sie, ob die Geraden parallel sind:

$g: \vec{x} = \begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix} + r\begin{pmatrix}2\\-4\\6\end{pmatrix}$ und $h: \vec{x} = \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} + s\begin{pmatrix}-1\\2\\-3\end{pmatrix}$

Prüfen Sie, ob der Punkt $P(3|1|2)$ auf der Geraden $g: \vec{x} = \begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix} + r\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}$ liegt.

Geben Sie die vier möglichen Lagebeziehungen zweier Geraden im Raum an und nennen Sie jeweils, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind und ob die Geraden gemeinsame Punkte haben.

Gegeben sind $g: \vec{x} = \begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix} + r\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}$ und $h: \vec{x} = \begin{pmatrix}3\\2\\2\end{pmatrix} + s\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$.

Untersuchen Sie die gegenseitige Lage von $g$ und $h$ und berechnen Sie gegebenenfalls den Schnittpunkt.

Gegeben sind $g: \vec{x} = \begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix} + r\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}$ und $h: \vec{x} = \begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix} + s\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}$.

Zeigen Sie, dass $g$ und $h$ windschief sind.

Gegeben sind $g: \vec{x} = \begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix} + r\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}$ und $h: \vec{x} = \begin{pmatrix}4\\-1\\4\end{pmatrix} + s\begin{pmatrix}-2\\2\\-4\end{pmatrix}$.

Bestimmen Sie die Lagebeziehung und geben Sie die Lösungsmenge des zugehörigen linearen Gleichungssystems an.

Gegeben sind $g_a: \vec{x} = \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} + r\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$ und $h: \vec{x} = \begin{pmatrix}0\\1\\a\end{pmatrix} + s\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}$ mit $a \in \mathbb{R}$.

Bestimmen Sie, für welche Werte von $a$ sich $g_a$ und $h$ schneiden, und begründen Sie, dass sie für alle anderen $a$ windschief sind.

Zwei Drohnen fliegen geradlinig. Die Flugbahn der ersten wird beschrieben durch $\vec{x} = \begin{pmatrix}0\\0\\10\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}4\\3\\1\end{pmatrix}$, die der zweiten durch $\vec{x} = \begin{pmatrix}20\\0\\14\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}-1\\3\\0\end{pmatrix}$ (Koordinaten in m, $t$ in s, beide Drohnen starten bei $t = 0$).

1. a) Zeigen Sie, dass sich die Flugbahnen schneiden.

1. b) Entscheiden Sie, ob die Drohnen kollidieren, und begründen Sie Ihre Antwort.

Gegeben ist die Gerade $g: \vec{x} = \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix} + r\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}$.

1. a) Bestimmen Sie eine Gleichung einer Geraden $h$, die zu $g$ windschief ist, und weisen Sie dies nach.

1. b) Bestimmen Sie eine Gleichung einer Geraden $k$, die $g$ im Punkt $S(3|2|1)$ schneidet und zu $g$ senkrecht ist.

1. c) Begründen Sie, dass es zu $g$ und $S$ unendlich viele Geraden $k$ aus b) gibt.