Aufgaben: Transformationen

Gegeben ist die Funktion $f(x) = x^2 - 3x$. Geben Sie den Funktionsterm der Funktion $g(x)$ an, die man erhält, wenn man den Graphen von $f(x)$ um vier Einheiten nach links und um zwei Einheiten nach oben verschiebt.

Der Graph einer Funktion $f(x)$ verläuft durch den Punkt $P(-3|5)$. Bestimmen Sie die Koordinaten des entsprechenden Bildpunkts auf den Graphen der folgenden transformierten Funktionen:

• $g(x) = -f(x)$

• $h(x) = f(-x)$

• $i(x) = 2f(x)$

• $j(x) = f(x) - 4$

Beschreiben Sie anhand des in der Abbildung gezeigten Graphen der Funktion $f(x)$ die geometrischen Schritte, die nötig sind, um den Graphen der Funktion $g(x) = |f(x)|$ zu erhalten, und berechnen Sie die Koordinaten der neuen Scheitelpunkte bzw. Wendepunkte.

Ein Heißluftballon sinkt mit konstanter Geschwindigkeit. Seine Höhe in Metern wird durch $A(t) = 800 - 50t$ beschrieben, wobei $t$ die Zeit in Minuten ist. Ein zweiter Ballon beginnt seinen Sinkflug $10$ Minuten später mit genau demselben Flugprofil. Geben Sie den Term der Höhe des zweiten Ballons $B(t)$ in Abhängigkeit von $A(t)$ an und bestimmen Sie seinen ausmultiplizierten Term.

Gegeben ist die Grundfunktion $f(x) = \frac{1}{x}$. Geben Sie an, welche geometrischen Transformationen (Verschiebungen, Streckungen, Spiegelungen) in welcher Reihenfolge nacheinander angewendet werden müssen, um die Funktion $g(x) = -\frac{3}{x} + 2$ zu erhalten.

Die Funktion $C(x)$ gibt die Kosten in Euro für die Produktion von $x$ elektronischen Bauteilen an. Aufgrund einer technischen Verbesserung am Fließband können nun dreimal so viele Bauteile zu genau denselben Gesamtkosten produziert werden. Drücken Sie die neue Kostenfunktion $N(x)$ mithilfe der ursprünglichen Funktion $C(x)$ aus.

Betrachten Sie den Graphen der im Intervall $[-4; 4]$ definierten Funktion $f(x)$. Bestimmen Sie die Definitionsmenge und die Wertemenge der transformierten Funktion $g(x) = f(x-3) + 1$.

Stellen Sie die Funktion $g(x) = |-x^2 + 4|$ als abschnittsweise definierte Funktion dar, indem Sie den Betrag auflösen und die Intervalle, in denen der ursprüngliche Term das Vorzeichen wechselt, klar angeben.

Markus untersucht, wie man den Graphen der Funktion $f(x) = x^2 - 4x$ transformiert. Sein Ziel ist es, den Funktionsterm einer neuen Funktion $g(x)$ zu erhalten, deren Graph entsteht, indem der Graph von $f(x)$ um genau $3$ Einheiten nach rechts verschoben und anschließend an der x-Achse gespiegelt wird. Markus präsentiert in seinem Heft die folgende Lösung:

„Um $3$ Einheiten nach rechts zu verschieben, addiere ich $3$ im Argument: $x \to x + 3$. Um an der x-Achse zu spiegeln, ändere ich das Vorzeichen der unabhängigen Variablen: $x \to -x$. Wenn ich das in die Funktionsgleichung einsetze, erhalte ich also: $g(x) = (-x + 3)^2 - 4(-x + 3)$.“

1. a) Finden Sie die beiden begrifflichen Fehler, die Markus bei den Transformationen gemacht hat, und erklären Sie sie ausführlich.
2. b) Zeigen Sie das korrekte Vorgehen Schritt für Schritt und geben Sie den Funktionsterm von $g(x)$ in ausmultiplizierter und vereinfachter Form an.

Aus der quadratischen Grundfunktion $f(x) = x^2$ wird eine transformierte Funktion $g(x) = a \cdot f(x - h) + k$ definiert, wobei $a$, $h$ und $k$ reelle Zahlen mit $a \ne 0$ sind. Es ist bekannt, dass der Graph von $g(x)$ seinen Scheitelpunkt im Punkt $V(-2|5)$ hat und die y-Achse ($Y$) im Punkt $(0|-3)$ schneidet.

1. a) Leiten Sie aus den geometrischen Eigenschaften von Verschiebungen begründet die Werte der Parameter $h$ und $k$ her.
2. b) Stellen Sie mithilfe des Schnittpunkts mit der Achse $Y$ eine Gleichung auf, um den exakten Wert des Parameters $a$ zu bestimmen.
3. c) Erklären Sie, welche drei geometrischen Transformationen auf $f(x)$ angewendet wurden, um $g(x)$ zu erhalten (mit Angabe von Reihenfolge, Größen und Richtungen), und geben Sie den endgültigen Funktionsterm von $g(x)$ in der allgemeinen Polynomform ($Ax^2 + Bx + C$) an.

Der monatliche Gewinn eines kleinen Technologieunternehmens wird in Tausend Euro durch die Funktion $B(x) = -2x^2 + 12x - 10$ modelliert, wobei $x$ den Monat des Jahres darstellt ($x=1$ für Januar usw.). Das Unternehmen beschließt, den Start seiner Marketingkampagne um einen Monat zu verschieben, was einer horizontalen Verschiebung der Gewinnkurve entspricht, und nimmt zusätzlich eine Erhöhung der Fixkosten um $3$ Tausend Euro pro Monat in Kauf. Bestimmen Sie den neuen Funktionsterm der Gewinnfunktion $N(x)$ und ermitteln Sie, in welchem Monat nun der maximale Gewinn erreicht wird.

In einer akustischen Untersuchung wird eine Schallwelle durch die Funktion $S(t) = \sin(t)$ modelliert. Für ein Experiment wird die ursprüngliche Welle verstärkt, indem ihre Amplitude mit $4$ multipliziert wird, und durch Verdopplung der Frequenz höher gemacht. Außerdem wird die Aussendung um $\frac{\pi}{4}$ Sekunden verzögert. Geben Sie den Funktionsterm der neuen Schallwelle $W(t)$ an und berechnen Sie ihre neue Periode.

Der Graph der Funktion $f(x)$ besteht aus zwei Strecken, die die Punkte $(-4|-2)$, $(0|4)$ und $(4|-2)$ verbinden. Eine neue Funktion wird durch die Transformation $g(x) = -f\left(\frac{x}{2}\right) + 3$ definiert.

• Beschreiben Sie die geordnete Abfolge der geometrischen Transformationen, die auf $f(x)$ angewendet werden.

• Berechnen Sie die exakten Koordinaten der neuen Eckpunkte des Graphen von $g(x)$.

Die Effizienz eines Solarpanels im Tagesverlauf wird durch eine Funktion $E(t)$ beschrieben. Es wird ein neues Panel-Modell installiert, das $2$ Stunden früher beginnt, Energie zu erzeugen, und aufgrund einer speziellen Graphenbeschichtung zu jedem entsprechenden Zeitpunkt $15\%$ mehr Energie erzeugt. Geben Sie die neue Effizienzfunktion $N(t)$ in Abhängigkeit von $E(t)$ an. Wenn das ursprüngliche Panel um 14:00 Uhr seine maximale Effizienz erreichte, um wie viel Uhr erreicht das neue Panel sie?

Gegeben ist die Grundfunktion $f(x) = \sqrt{x}$; wir wollen die Funktion $g(x) = \sqrt{4x - 12} + 5$ erhalten.

Erklären Sie ausführlich zwei verschiedene Abfolgen geometrischer Transformationen (mit vertauschter Reihenfolge von Verschiebungen und horizontalen Streckungen), mit denen man $g(x)$ aus $f(x)$ erhält. Zeigen Sie rechnerisch, dass beide Abfolgen zum selben Term führen.

Stellen Sie die gebrochenrationale Funktion $f(x) = \frac{2x + 7}{x + 1}$ durch Polynomdivision in der Form $f(x) = k + \frac{m}{x+1}$ dar. Beschreiben Sie anhand dieses Ergebnisses Schritt für Schritt die geometrischen Transformationen, die auf die gleichseitige Hyperbel $y = \frac{1}{x}$ angewendet werden müssen, um den Graphen von $f(x)$ zu erhalten.

Eine Bakterienkultur wächst gemäß der Funktion $N(t) = 200 \cdot 3^{t/2}$, wobei $t$ die Zeit in Stunden ist. Eine zweite Kultur $M(t)$ beginnt mit einem Viertel der Anfangspopulation der ersten, hat aber dieselbe Wachstumsrate und wurde $4$ Stunden früher zu messen begonnen. Stellen Sie $M(t)$ in Abhängigkeit von $N(t)$ dar und vereinfachen Sie den resultierenden Term, um zu prüfen, ob beide Populationen irgendwann gleich groß sein werden.

Ordnen Sie jeden der Funktionsterme dem passenden Teilbild der Abbildung zu, wenn Sie wissen, dass alle aus Transformationen mit Betrag hervorgehen, die auf die Grundfunktion $y = x - 3$ angewendet wurden.

1. $y = |x| - 3$

2. $y = ||x-3| - 2|$

3. $y = ||x| - 3|$

4. $y = |x-3| - 2$

Betrachten Sie die Polynomfunktion $f(x) = x^2 - 2x - 8$ und die transformierte Funktion $g(x) = |f(x)| - 5$.

1. a) Schätzen Sie: Berechnen Sie, ohne bereits eine quadratische Gleichung zu lösen, die Koordinaten des Scheitelpunkts von $f(x)$ und ihre Schnittpunkte mit der Achse $X$. Beschreiben Sie anhand dieser geometrischen Information, welche Wirkung der Betrag auf die negativen Bereiche hat und wie sich die anschließende Verschiebung um $-5$ Einheiten nach oben auswirkt. Schätzen Sie darauf aufbauend begründet, wie viele Schnittpunkte mit der Achse $X$ die Funktion $g(x)$ haben wird und zwischen welchen Werten der reellen Achse sie ungefähr liegen müssten.
2. b) Überprüfen Sie: Stellen Sie die Gleichung $g(x) = 0$ auf und lösen Sie sie rechnerisch, indem Sie sie gemäß der Definition des Betrags in zwei unabhängige quadratische Gleichungen umformen. Bestimmen Sie alle exakten Schnittpunkte und prüfen Sie, ob Anzahl und Lage der Lösungen mit Ihrer Schätzung aus dem vorherigen Teil übereinstimmen.

Nach den Aufzeichnungen einer Wetterstation der AEMET auf der kastilischen Hochebene an einem klaren Frühlingstag folgt die Temperatur $T(t)$ in Grad Celsius ($^{\circ}\text{C}$) zwischen $6:00$ und $22:00$ Uhr ($t \in [6; 22]$) dem quadratischen Modell:

$T(t) = -0,125(t - 14)^2 + 18$

wobei $t$ die Sonnenzeit des Tages angibt.

Am nächsten Tag zieht eine Kaltfront auf, die den Temperaturverlauf durch drei gleichzeitige Effekte auf den Graphen verändert:

1. Der Zeitpunkt der maximalen Sonneneinstrahlung und der Höchsttemperatur verschiebt sich um $2$ Stunden nach vorn.

2. Die tägliche Temperaturschwankung (Differenz zwischen Höchst- und Tiefsttemperatur) halbiert sich, was einer vertikalen Stauchung des Graphen mit dem Streckfaktor $a = 0,5$ entspricht.

3. Durch die kalte Luftmasse sinkt die Temperatur über den ganzen Tag zusätzlich gleichmäßig um $3\,^{\circ}\text{C}$.

1. a) Geben Sie den funktionalen Zusammenhang zwischen dem neuen Modell $N(t)$ und dem ursprünglichen Modell $T(t)$ in der Form $N(t) = a \cdot T(t - h) + k$ an und begründen Sie ausführlich Wert und Vorzeichen jedes der Parameter $a$, $h$ und $k$.
2. b) Multiplizieren Sie aus und vereinfachen Sie den endgültigen Funktionsterm von $N(t)$ in Abhängigkeit von der Uhrzeit $t$.
3. c) Bestimmen Sie begründet, zu welcher Uhrzeit an diesem neuen kalten Tag die Höchsttemperatur erreicht wird und welchen exakten Wert sie hat.

Ein Ingenieur entwirft das Profil einer Hängebrücke und verwendet als Modell die Kurve $f(x) = e^{-x^2}$. Aufgrund geologischer Anforderungen des Geländes muss er ein neues Profil $g(x) = a \cdot f(b \cdot x - c) + d$ vorschlagen, das gleichzeitig die folgenden Bedingungen erfüllt:

• Es muss doppelt so breit sein wie der ursprüngliche Entwurf.

• Das Symmetriezentrum der Brücke muss um $4$ Einheiten nach rechts verschoben sein.

• Das Profil muss gespiegelt sein (nach oben statt nach unten geöffnet), ohne dass sich sein vertikaler Maßstab ändert.

• Die minimale Höhe des neuen Profils muss genau $10$ Meter über dem Boden liegen.

Bestimmen Sie rechnerisch die genauen Werte der Parameter $a$, $b$, $c$ und $d$.

Sei $f(x)$ eine ungerade reelle Funktion mit der Periode $T=6$. Daraus wird die transformierte Funktion $g(x) = f(x-2) + f(x+2)$ definiert.

Weisen Sie rechnerisch nach, ob die Funktion $g(x)$ gerade, ungerade oder keines von beidem ist. Bestimmen Sie außerdem, ob $g(x)$ periodisch ist, und berechnen Sie gegebenenfalls ihre kleinste Periode.

Gegeben ist eine beliebige Funktion $f(x)$ mit der Definitionsmenge $[-6;8]$ und der Wertemenge $[-4;12]$. Eine neue Funktion wird durch den Term $h(x) = -2f\left(3 - \frac{x}{2}\right) + 5$ definiert.

Berechnen Sie begründet und unter Angabe der Wirkung jeder angewendeten Transformation die Definitionsmenge und die Wertemenge der Funktion $h(x)$.

Die Abbildung zeigt die Lichtkurve eines veränderlichen Sterns, modelliert durch die Funktion $L(t) = 4 \sin\left(\frac{\pi}{6}t\right) + 10$, wobei $t$ in Tagen und $L$ in Leuchtkrafteinheiten gemessen wird. Eine dichte kosmische Staubwolke verdunkelt den Stern so, dass die von der Erde aus beobachtete Leuchtkraft $O(t)$ genau der Betrag der Differenz zwischen $L(t)$ und seiner mittleren Leuchtkraft ist.

Bestimmen Sie den Funktionsterm von $O(t)$, berechnen Sie ihre neue Periode und ermitteln Sie, zu welchen Zeitpunkten $t \in [0, 12]$ die beobachtete Leuchtkraft maximal ist.

Bestimmen Sie die Werte der Parameter $a$ und $b$, sodass der Graph der gebrochenrationalen Funktion $f(x) = \frac{ax + 3}{x + b}$ punktsymmetrisch zum Punkt $C(4|2)$ ist.

Eine Parabel hat ihren Scheitelpunkt im Koordinatenursprung und verläuft durch den Punkt $(2|4)$. Auf sie werden nacheinander die folgenden Transformationen angewendet:

1. Eine horizontale Stauchung, die die x-Koordinaten ihrer Punkte mit $\frac{1}{3}$ multipliziert.

2. Eine Verschiebung um $5$ Einheiten nach links.

3. Eine Spiegelung an der x-Achse.

4. Eine Verschiebung um $7$ Einheiten nach oben.

Bestimmen Sie den Funktionsterm der resultierenden Funktion $g(x)$ und ermitteln Sie die exakten Koordinaten ihres neuen Scheitelpunkts sowie ihrer Schnittpunkte mit den Achsen.

Gegeben sei die Funktion $f(x) = \ln(x)$. Im kartesischen Koordinatensystem der Ebene wird ein Koordinatenwechsel durchgeführt: Der neue Ursprung liegt im Punkt $(-3|2)$ des alten Systems, die positive Richtung der x-Achse wird umgekehrt und die Einheit der y-Achse wird halbiert. Geben Sie die Gleichung der Kurve im neuen Koordinatensystem an.

Eine programmierte Bahn eines Roboterarms ist durch die Funktion $y = \sqrt{R^2 - x^2}$ gegeben, die einen Halbkreis mit dem Radius $R$ um den Ursprung beschreibt. Das Konstruktionsteam möchte eine neue elliptische Bahn $E(x)$ programmieren, deren Mittelpunkt im Punkt $(h|k)$ liegt und die eine horizontale Halbachse der Länge $a$ und eine vertikale Halbachse der Länge $b$ hat (dargestellt wird nur die obere Hälfte der Ellipse).

Geben Sie die endgültige Funktion $E(x)$ an und benennen Sie dabei klar die Verkettung der geometrischen Transformationen, die auf die Grundfunktion $y = \sqrt{1 - x^2}$ (Halbkreis mit dem Radius $1$) angewendet werden.

Man möchte die transformierte Funktion $g(x) = f(2x - 8)$ ausgehend von einer Grundfunktion $f(x)$ untersuchen, deren Graph bekannt ist. Zwei Schüler diskutieren, welches Vorgehen für die Konstruktion des Graphen von $g(x)$ durch elementare Transformationen der Variablen $x$ korrekt ist:

• Albas Methode (horizontalen Streckfaktor ausklammern): Sie schreibt $g(x) = f(2(x - 4))$ und behauptet, man müsse zuerst eine horizontale Stauchung mit dem Faktor $\frac{1}{2}$ bezüglich der $y$-Achse und danach eine horizontale Verschiebung um $4$ Einheiten nach rechts anwenden.

• Brunos Methode (vorherige Verschiebung ohne Faktor): Er behauptet, man müsse zuerst eine horizontale Verschiebung um $8$ Einheiten nach rechts durchführen, um $f(x - 8)$ zu erhalten, und auf diesen Graphen eine horizontale Stauchung anwenden, indem man $x$ durch $2x$ ersetzt, wodurch der gesamte Graph bezüglich der $y$-Achse auf die Hälfte gestaucht wird.

1. a) Prüfen Sie rechnerisch, ob beide Methoden zum selben Ergebnis führen. Nehmen Sie dazu einen beliebigen Punkt $(x_0, y_0)$, der auf dem Graphen von $f$ liegt (d. h. $y_0 = f(x_0)$), und bestimmen Sie, welche Koordinate $x$ ihm in $g(x)$ nach jeder Methode entspricht, damit $g(x) = y_0$ gilt.
2. b) Analysieren Sie die beiden Methoden kritisch: Warum wird Albas Methode in der Mathematik üblicherweise empfohlen, und welchen typischen Fehler machen Schüler, die Brunos Methode anwenden, ohne ausreichend auf das Zentrum der Stauchung zu achten?
3. c) Die Grundfunktion $f(x)$ hat im Punkt $(6, -3)$ ein relatives Minimum und schneidet die $x$-Achse in $x = 2$ und in $x = 10$. Wählen Sie die Methode, die Sie für am zuverlässigsten halten, um die Koordinaten des neuen relativen Minimums von $g(x)$ und seiner neuen Schnittpunkte mit der $x$-Achse zu berechnen, und begründen Sie jeden Schritt.

Gegeben ist die gebrochenrationale Funktion $f(x) = \frac{2x - 5}{x - 1}$:

1. a) Führen Sie die Polynomdivision durch, um $f(x)$ in der Form $f(x) = c + \frac{k}{x - h}$ darzustellen. Beschreiben Sie anhand dieses Terms genau die Abfolge elementarer geometrischer Transformationen (Verschiebungen, Streckungen und Spiegelungen), mit denen sich die Grundhyperbel $y = \frac{1}{x}$ in den Graphen von $f(x)$ überführen lässt.
2. b) Es wird die Schar transformierter Funktionen $g_m(x) = |f(x) + m|$ definiert, wobei $m \in \mathbb{R}$ eine Konstante ist. Da $f(x)$ eine waagerechte Asymptote besitzt, bestimmen Sie begründet, für welche Werte des Parameters $m$ die waagerechte Asymptote des Graphen von $g_m(x)$ echt oberhalb der waagerechten Geraden $y = 3$ liegt.
3. c) Bestimmen Sie für den speziellen Wert $m = -1$ den vereinfachten Term im Betrag von $g_{-1}(x) = |f(x) - 1|$, berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts ihres Graphen mit der x-Achse und ermitteln Sie das exakte Intervall der reellen Zahlengeraden, in dem der Graph von $f(x) - 1$ aufgrund des Betrags an der Achse $X$ gespiegelt wurde.