Aufgaben: Potenzfunktionen

Gib an, welche der folgenden Terme zu einer Potenzfunktion gehören:

• $f(x) = 3x^2$

• $g(x) = 2^x$

• $h(x) = \frac{5}{x^3}$

• $i(x) = x^{1/2}$

Berechne für die Potenzfunktion $f(x) = 2x^4$ die Funktionswerte für $x = -2$, $x = 0$ und $x = 3$.

Gib die Definitionsmenge an und bestimme die Symmetrie (gerade, ungerade oder keine) der Potenzfunktion $f(x) = x^6$.

Bestimme den Koeffizienten $k$ der Potenzfunktion $f(x) = k \cdot x^3$, wenn ihr Graph durch den Punkt mit den Koordinaten $(2|40)$ verläuft.

Gib den Flächeninhalt $A$ eines Kreises in Abhängigkeit von seinem Radius $r$ als Potenzfunktion an. Welchen Grad hat diese Potenzfunktion?

Gib die Definitionsmenge und die Gleichungen der senkrechten und waagerechten Asymptoten der Potenzfunktion $f(x) = x^{-2}$ an.

Schreibe den Funktionsterm der Funktion auf, die jeder positiven reellen Zahl ihre Kubikwurzel zuordnet, und gib ihn als Potenz mit gebrochenem Exponenten an.

Der Graph einer Potenzfunktion der Form $f(x) = x^n$ verläuft durch den Punkt $(3|81)$. Bestimme den Wert des Exponenten $n$.

Lea untersucht die Eigenschaften zweier Potenzfunktionen, $f(x) = 3 \cdot x^{-2}$ und $g(x) = 2 \cdot x^{1/4}$, und schreibt in ihr Heft:\n1. „Da $f(0) = 3 \cdot 0^{-2} = 0$, schneidet der Graph von $f$ die $Y$-Achse im Ursprung $(0|0)$.“\n2. „Für die Funktion $g$ gilt: Da die vierte Wurzel von $16$ gleich $2$ ist, erhält man beim Einsetzen eines negativen Werts $g(-16) = 2 \cdot (-16)^{1/4} = 2 \cdot (-2) = -4$, also umfasst die Definitionsmenge alle reellen Zahlen.“\nBestimme begründet den inhaltlichen Fehler in jeder der beiden Aussagen, erkläre, warum ihre Rechnung falsch ist, und gib die jeweils richtige Definitionsmenge dieser Funktionen an.

Schreibe den Funktionsterm einer Potenzfunktion der Form $f(x) = a \cdot x^n$ auf, die gleichzeitig die folgenden Bedingungen erfüllt:\na) Ihr Exponent $n$ ist eine negative ganze Zahl und ihr Graph ist symmetrisch zur $Y$-Achse (gerade Funktion, wobei $f(-x) = f(x)$).\nb) Sie hat eine senkrechte Asymptote bei $x = 0$ und eine waagerechte Asymptote bei $y = 0$.\nc) Ihr Graph verläuft durch den Punkt $P(2|0{,}75)$.\nBegründe die Wahl des einfachsten möglichen Werts von $n$, der die Bedingungen erfüllt, und berechne den Koeffizienten $a$ ausführlich; gib ihn als vollständig gekürzten Bruch oder als Dezimalzahl an.

Die Lichtstärke $I$, die ein Gegenstand erhält, ist umgekehrt proportional zum Quadrat der Entfernung $d$ von der Lichtquelle, was durch die Potenzfunktion $I(d) = k \cdot d^{-2}$ modelliert wird. Wenn die Lichtstärke in $2$ Metern Entfernung $100$ Lux beträgt, bestimme den vollständigen Funktionsterm und berechne die Lichtstärke, die der Gegenstand in $5$ Metern Entfernung erhält.

Bestimme rechnerisch die Schnittpunkte der Graphen der Potenzfunktionen $f(x) = x^2$ und $g(x) = x^4$.

Die kinetische Energie eines bewegten Körpers ist durch die Formel $E_c(v) = \frac{1}{2} m v^2$ gegeben. Die Masse eines Fahrzeugs beträgt $1200$ kg. Gib seine kinetische Energie als Potenzfunktion in Abhängigkeit von seiner Geschwindigkeit $v$ (in m/s) an und berechne die Energie bei einer Geschwindigkeit von $20$ m/s.

Betrachte den folgenden Graphen, der zwei Potenzfunktionen im ersten Quadranten zeigt.

Die Funktionsterme sind $y = x^2$ und $y = x^3$. Ordne zu, welche Funktion $f(x)$ und welche $g(x)$ ist. Bestimme anhand des Graphen und der Terme, in welchem streng positiven Intervall die kubische Funktion kleinere Werte annimmt als die quadratische.

Der Radius $r$ (in cm) eines kreisförmigen Ölflecks, der sich auf dem Wasser ausbreitet, wächst mit der Zeit $t$ (in Minuten) gemäß der Potenzfunktion $r(t) = 2 \cdot t^{1/2}$. Berechne den Radius des Flecks nach $0,25$ Minuten und bestimme, wie viel Zeit vergehen muss, bis der Radius des Flecks genau $4$ cm beträgt.

Eine Potenzfunktion ist durch den Term $f(x) = a \cdot x^n$ gegeben. Bestimme die exakten Werte des Koeffizienten $a$ und des Exponenten $n$, wenn der Graph durch die Punkte $(1|5)$ und $(2|40)$ verläuft.

Bestimme für die Funktion $f(x) = -3x^{-3}$ die Definitionsmenge und die Wertemenge und untersuche rechnerisch, ob sie eine Symmetrie (gerade oder ungerade) aufweist.

Das Volumen einer Kugel in Abhängigkeit von ihrem Radius berechnet man mit der Formel $V(r) = \frac{4}{3}\pi r^3$. Löse nach dem Radius $r$ auf, um ihn als Potenzfunktion in Abhängigkeit vom Volumen $V$ darzustellen. Berechne mit dieser neuen Funktion den ungefähren Radius einer Kugel mit einem Volumen von $1000$ cm$^3$ (verwende $\pi \approx 3,14$).

In einem Windpark in Aragón wird die elektrische Leistung $P$ (in Kilowatt, kW) einer Windkraftanlage durch die Potenzfunktion $P(v) = k \cdot v^3$ modelliert, wobei $v$ die Windgeschwindigkeit (in m/s) darstellt. Die Messdaten zeigen, dass bei einer Windgeschwindigkeit von $5\text{ m/s}$ die erzeugte Leistung $50\text{ kW}$ beträgt.\na) Stelle vor jeder algebraischen Rechnung eine begründete Schätzung an: Wenn sich die Windgeschwindigkeit auf $10\text{ m/s}$ verdoppelt, verdoppelt sich die Leistung dann ($100\text{ kW}$), vervierfacht sie sich ($200\text{ kW}$) oder steigt sie noch stärker? Begründe deine Vermutung mit den Eigenschaften des kubischen Exponenten.\nb) Bestimme den exakten Wert der Konstanten $k$ aus dem gegebenen Wert.\nc) Berechne die Leistung $P(10)$ rechnerisch und prüfe, ob deine Schätzung richtig war, indem du den exakten Quotienten von $P(10)$ und $P(5)$ berechnest.

Eine Potenzfunktion der Form $f(x) = a \cdot x^n$ verläuft durch die Punkte $A(2|6)$ und $B(6|54)$. Um die exakten Werte der Parameter $a$ und $n$ zu bestimmen, wählen zwei Mitschüler unterschiedliche Wege:\n- Jans Methode (direkter Quotient): Er stellt das Gleichungssystem $\begin{cases} 6 = a \cdot 2^n \\ 54 = a \cdot 6^n \end{cases}$ auf, dividiert die zweite Gleichung durch die erste, um den Koeffizienten $a$ zu kürzen, und fasst die Potenzen mit gleicher Basis zusammen: $\frac{54}{6} = \left(\frac{6}{2}\right)^n \implies 9 = 3^n$.\n- Emilias Methode (Linearisierung durch Logarithmen): Sie logarithmiert jede Gleichung beidseitig mit dem dekadischen Logarithmus, um das System in ein lineares System aus zwei Gleichungen mit den zwei Unbekannten $\log(a)$ und $n$ zu überführen, und löst es anschließend mit dem Additionsverfahren.\na) Vervollständige die Schritte von Jans Methode und berechne die Werte von $n$ und $a$.\nb) Vergleiche beide Verfahren und begründe, welches in diesem speziellen Fall effizienter ist.\nc) Erkläre, welche Eigenschaft die Koordinaten der Punkte haben müssten, damit Jans Methode nicht auf einen Blick sofort lösbar wäre und der Rückgriff auf Emilias Methode gerechtfertigt wäre.

Der Grundumsatz $T$ (in kcal/Tag) von Säugetieren wird in Abhängigkeit von ihrer Körpermasse $M$ (in kg) durch die Potenzfunktion von Kleiber modelliert: $T(M) = 70 \cdot M^{3/4}$. Berechne den Grundumsatz eines Hundes mit $16$ kg. Bestimme anschließend die ungefähre Masse eines Tieres, dessen Grundumsatz $7000$ kcal/Tag beträgt.

Die folgende Abbildung zeigt drei Potenzfunktionen mit den Termen $y = x^{-1}$, $y = x^{-2}$ und $y = x^{1/2}$.

Ordne jede Kurve (A, B und C) dem passenden Funktionsterm zu und begründe deine Antwort anhand der Definitionsmenge, der Symmetrie und des asymptotischen Verhaltens jeder Funktion.

Bestimme rechnerisch die Schnittpunkte der kubischen Funktion $f(x) = 8x^3$ und der antiproportionalen Funktion $g(x) = x^{-1}$.

Das dritte Keplersche Gesetz besagt, dass das Quadrat der Umlaufzeit $T$ eines Planeten proportional zur dritten Potenz seiner mittleren Entfernung von der Sonne $R$ ist, also $T^2 = k \cdot R^3$. Für die Erde gilt $T = 1$ Jahr und $R = 1$ AE (Astronomische Einheit). Gib die Umlaufzeit $T$ als Potenzfunktion in Abhängigkeit von $R$ an. Berechne mit dieser Funktion die Umlaufzeit des Jupiters, dessen mittlere Entfernung von der Sonne $5,2$ AE beträgt.

Die Luftwiderstandskraft, die ein Radfahrer erfährt, ist proportional zum Quadrat seiner Geschwindigkeit, was man als $F(v) = k \cdot v^2$ schreibt. Bei einer Geschwindigkeit von $10$ m/s beträgt die gemessene Kraft $30$ N. Zeige rechnerisch, mit welchem genauen Faktor sich die Widerstandskraft multipliziert, wenn der Radfahrer seine Geschwindigkeit verdoppelt (von einer beliebigen Geschwindigkeit $v_0$ auf $2v_0$), und berechne die neue Kraft bei einer Geschwindigkeit von $20$ m/s.

Bestimme den Funktionsterm der Potenzfunktion $f(x) = a \cdot x^n$, wenn ihr Graph durch die Punkte $(2|2)$ und $(8|16)$ verläuft. Gib den Exponenten $n$ als vollständig gekürzten Bruch an.

Gegeben ist die Potenzfunktion mit gebrochenem Exponenten $f(x) = x^{2/3}$:

• Bestimme ihre Definitionsmenge.

• Berechne die exakten Werte von $f(8)$ und $f(-8)$.

• Begründe rechnerisch, ob die Funktion gerade, ungerade oder keines von beiden ist.

Die Produktionskosten eines elektronischen Bauteils sinken mit steigender Stückzahl gemäß der Potenzfunktion $C(x) = 5000 \cdot x^{-1/2}$, wobei $x$ die Anzahl der Bauteile und $C(x)$ die Stückkosten in Euro sind. Berechne die Stückkosten bei der Produktion von $100$ Bauteilen und bestimme, wie viele Bauteile insgesamt hergestellt werden müssen, damit die Stückkosten auf $25$ Euro sinken.

Nach technischen Untersuchungen des Kraftfahrt-Bundesamts wird der Bremsweg $d$ (in Metern) eines Pkw auf trockenem Asphalt bis zum völligen Stillstand durch eine Potenzfunktion $d(v) = a \cdot v^n$ modelliert, wobei $v$ die Fahrgeschwindigkeit (in km/h) ist. Bei den Zulassungstests beobachtet man, dass der Bremsweg bei $40\text{ km/h}$ $8\text{ Meter}$ beträgt, bei $80\text{ km/h}$ dagegen $32\text{ Meter}$.\na) Bestimme rechnerisch den Funktionsterm, indem du den ganzzahligen Exponenten $n$ und die Konstante $a$ herleitest.\nb) In Deutschland wurde die Höchstgeschwindigkeit in Ortsdurchfahrten mit einer Fahrspur je Richtung von $50\text{ km/h}$ auf $30\text{ km/h}$ gesenkt. Berechne den zu jeder Geschwindigkeit gehörenden Bremsweg und bestimme die genaue prozentuale Verringerung, die diese Maßnahme bedeutet.\nc) Ein Fahrer behauptet: „Wenn ich auf einer Autobahn mit $140\text{ km/h}$ statt mit der Richtgeschwindigkeit von $120\text{ km/h}$ fahre, bin ich nur $16,7\,\%$ schneller, also wird sich mein Bremsweg kaum um denselben Prozentsatz verlängern.“ Widerlege sein Argument mathematisch anhand des Verhaltens der Potenzfunktion und berechne die tatsächliche prozentuale Zunahme seines Bremswegs.

Es soll der Funktionsterm einer Potenzfunktion $f(x) = a \cdot x^n$ entworfen werden, die die Restkonzentration eines Stoffes modelliert und gleichzeitig vier mathematische Bedingungen erfüllt:

1. Ihre Definitionsmenge enthält weder negative Werte noch null und ist von Natur aus auf $(0; +\infty)$ beschränkt.

2. Sie hat die Koordinatenachsen als Asymptoten: eine senkrechte Asymptote bei $x = 0$ und eine waagerechte Asymptote bei $y = 0$.

3. Wenn wir den Wert der unabhängigen Variablen mit $9$ multiplizieren, verringert sich der Funktionswert genau auf ein Drittel; d. h. $f(9x) = \frac{1}{3} \cdot f(x)$ für alle $x > 0$.

4. Der Graph verläuft durch den Punkt $P(4|2,5)$.

1. a) Leite aus den Bedingungen 1 und 2 begründet her, ob der Exponent $n$ positiv oder negativ sein muss und warum er ein Bruch mit geradem Nenner sein muss.

1. b) Wende Bedingung 3 an, um den exakten Wert des Exponenten $n$ zu bestimmen.

1. c) Bestimme den Wert der Konstanten $a$ mithilfe der Koordinaten des Punktes $P$ und schreibe die endgültige Funktion sowohl als Potenz als auch in Wurzelschreibweise auf.