Aufgaben: Grafische Deutung der Ableitung

Berechnen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion $f(x) = x^2 - 4x + 5$ an der Stelle $x = 3$.

Bestimmen Sie die Gleichung der Normalen an die Kurve $f(x) = x^3 - 2x$ an der Stelle $x = -1$.

Bestimmen Sie die Koordinaten der Punkte der Kurve $f(x) = \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 3x$, in denen die Tangente waagerecht ist.

Betrachten Sie den Graphen der Funktion $f(x)$ und die im Punkt mit der Stelle $x = 1$ eingezeichnete Tangente. Bestimmen Sie anhand der Koordinaten der auf der Geraden markierten Punkte $A$ und $B$ den Wert der Ableitung $f'(1)$.

Betrachten Sie den Graphen der Polynomfunktion $f(x)$. Bestimmen Sie, ohne ihren Funktionsterm zu berechnen, das Vorzeichen der Ableitung $f'(x)$ an den Stellen $x = -2$, $x = 0$ und $x = 2$ und geben Sie an, ob die Funktion dort steigend oder fallend ist.

Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen der gebrochenrationalen Funktion $f(x) = \frac{2x+1}{x-3}$ genau in dem Punkt, in dem der Graph die y-Achse schneidet.

Die Abbildung zeigt den Graphen einer quadratischen Funktion $f(x)$. Leiten Sie aus den sichtbaren geometrischen Merkmalen (Scheitelpunkt und Schnittpunkte) den Funktionsterm ihrer Ableitungsfunktion $f'(x)$ her.

Bestimmen Sie, in welchem genauen Punkt des Graphen der Wurzelfunktion $f(x) = \sqrt{x+4}$ die Tangente die Steigung $m = \frac{1}{4}$ hat.

Markus soll die Gleichung der Normalen an den Graphen der Funktion $f(x) = x^2 - 4x + 6$ an der Stelle $x = 3$ bestimmen. In seiner Klausur schreibt er das folgende Vorgehen:

„1. Ich berechne die y-Koordinate des Punktes: $f(3) = 3^2 - 4\cdot 3 + 6 = 3$. Der Berührpunkt ist $(3|3)$.

1. Ich bestimme die Ableitungsfunktion: $f'(x) = 2x - 4$, also ist die Steigung der Tangente $f'(3) = 2\cdot 3 - 4 = 2$.

2. Da die Normale senkrecht zur Tangente steht, ist ihre Steigung die Gegenzahl, also $m_{\text{normal}} = -2$.

3. Ich wende die Punkt-Steigungs-Form an: $y - 3 = -2\cdot(x - 3) \implies y = -2x + 9$.“

1. a) Benennen Sie den begrifflichen Fehler, den Markus in Schritt 3 gemacht hat, und erklären Sie den richtigen geometrischen Zusammenhang zwischen den Steigungen zweier zueinander senkrechter Geraden, von denen keine waagerecht oder senkrecht ist.
2. b) Korrigieren Sie das Vorgehen und berechnen Sie die richtige Gleichung der Normalen.

Gegeben ist die quadratische Funktion $f(x) = -x^2 + 4x - 1$:

1. a) Bestimmen Sie ohne Ableitungen die Koordinaten des Scheitelpunkts der Parabel und ihre Öffnungsrichtung (nach oben oder nach unten). Schätzen Sie anhand der Lage der Stelle $x = 3$ relativ zum Scheitelpunkt begründet ab, ob die Steigung der Tangente an der Stelle $x = 3$ positiv, negativ oder null sein muss und welches Vorzeichen Sie für die Steigung der Normalen erwarten.
2. b) Berechnen Sie mithilfe der Ableitung die Gleichungen der Tangente und der Normalen an den Graphen von $f$ an der Stelle $x = 3$.
3. c) Prüfen Sie, ob die analytischen Ergebnisse Ihre Schätzungen aus Teilaufgabe a) bestätigen, und folgern Sie anhand des y-Achsenabschnitts der erhaltenen Tangente, ob diese die $Y$-Achse oberhalb oder unterhalb des Scheitelpunkts der Parabel schneidet.

Die Flugbahn einer Inspektionsdrohne in einer senkrechten Ebene folgt der Kurve $y = x^3 - 6x^2 + 9x + 2$, wobei $x$ und $y$ in Metern gemessen werden. Bestimmen Sie, an welchen Punkten ihrer Bahn die Bewegungsrichtung parallel zur Geraden mit der Gleichung $y = -3x + 5$ ist.

Ein Architekt entwirft den Hauptbogen einer Brücke, der die Form einer Parabel mit der Gleichung $f(x) = ax^2 + bx + c$ hat. Der Bogen verläuft durch den Punkt $(0|5)$, und im Punkt $(2|9)$ hat die Tangente die Gleichung $y = 4x + 1$. Berechnen Sie die exakten Werte der Parameter $a$, $b$ und $c$.

Ein Lichtstrahl trifft auf einen Parabolspiegel, dessen Querschnitt durch die Funktion $f(x) = \frac{1}{4}x^2$ beschrieben wird. Trifft der Strahl an der Stelle $x = 2$ auf, bestimmen Sie die Gleichung der Normalen der Oberfläche in diesem Punkt (die in der Strahlenoptik grundlegend ist, um den Reflexionswinkel zu berechnen).

Die Abbildung zeigt den Graphen der Ableitungsfunktion $f'(x)$ einer Polynomfunktion $f(x)$. Bestimmen Sie daraus analytisch die Intervalle, in denen die ursprüngliche Funktion $f(x)$ steigt bzw. fällt, und geben Sie die Stellen an, an denen $f(x)$ ihre lokalen Extrema hat.

Die Zahl der Abonnenten eines Wissenschaftskanals auf einer Videoplattform wächst nach der Exponentialfunktion $S(t) = 500 e^{0,2t}$, wobei $t$ in Wochen gemessen wird. Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an die Kurve zum Zeitpunkt $t = 5$ und schätzen Sie damit linear die Zahl der Abonnenten bei $t = 6$ ab.

Bestimmen Sie die Koordinaten der Punkte der durch $f(x) = \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} - x + 1$ definierten Kurve, in denen die Tangente mit der positiven x-Achse genau den Winkel $45^\circ$ einschließt.

Gegeben sind die Polynomfunktionen $f(x) = x^2 - 3x + 2$ und $g(x) = -x^2 + 7x - 6$. Bestimmen Sie zuerst die Schnittpunkte ihrer Graphen. Berechnen Sie anschließend die Gleichung der Tangente an die Funktion $f(x)$ in dem Schnittpunkt mit der größeren x-Koordinate.

Beim Entwurf einer Bergstraße soll ein gerades Teilstück mit der Gleichung $y = 2x$ (für $x \le 1$) über eine parabelförmige Übergangskurve $f(x) = ax^2 + bx + c$, die ausschließlich im Intervall $[1;3]$ definiert ist, knickfrei an ein weiteres gerades Teilstück mit der Gleichung $y = -x + 6$ (für $x \ge 3$) anschließen. Berechnen Sie die Werte von $a$, $b$ und $c$ so, dass die Straße an beiden Anschlusspunkten ($x=1$ und $x=3$) stetig und differenzierbar ist.

An einem Hitzetag in Dortmund zeichnet der Deutsche Wetterdienst (DWD) den Verlauf der Lufttemperatur $T$ (in Grad Celsius, $^{\circ}\text{C}$) zwischen 10:00 und 18:00 Uhr Sonnenzeit ($t \in [10;18]$) auf, der durch die Funktion

modelliert wird.

1. a) Bestimmen Sie den Term der Ableitungsfunktion $T'(t)$ und deuten Sie ihre physikalische Bedeutung als momentane Änderungsrate der Temperatur.
2. b) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von $T$ an der Stelle $t = 12$ und an der Stelle $t = 16$.
3. c) Begründen Sie anhand des Vorzeichens der Steigung dieser beiden Tangenten, ob die Temperatur zu diesen Zeitpunkten stieg oder fiel, und berechnen Sie, zu welcher genauen Sonnenzeit die Tageshöchsttemperatur auftrat. Begründen Sie, warum die Tangente an dieser Stelle zwangsläufig waagerecht ist.

Gegeben ist die kubische Funktion $f(x) = x^3 + a\cdot x + b$, wobei $a$ und $b$ unbekannte reelle Zahlen sind.

1. a) Bestimmen Sie die Werte von $a$ und $b$, wenn bekannt ist, dass die Tangente an den Graphen von $f$ an der Stelle $x = 1$ die Gerade $y = 5x - 7$ ist. Begründen Sie ausführlich die beiden unabhängigen Bedingungen (eine Berührbedingung bzw. Zugehörigkeit zum Graphen und eine Differenzierbarkeitsbedingung), die Sie aufstellen müssen.
2. b) Prüfen Sie mit der so festgelegten Funktion, ob es auf dem Graphen von $f$ einen weiteren Punkt gibt, dessen Tangente parallel zur gegebenen Geraden $y = 5x - 7$ ist. Falls ja, berechnen Sie seine Koordinaten und die Gleichung dieser Tangente.

Bestimmen Sie die Gleichungen aller Tangenten an die Kurve $f(x) = x^2 - 2x + 3$, die durch den Koordinatenursprung $(0|0)$ verlaufen. Hinweis: Beachten Sie, dass der Ursprung nicht auf der Kurve liegt.

Bestimmen Sie die exakten Werte der Parameter $a$, $b$, $c$ und $d$ so, dass die kubische Funktion $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ im Punkt $(0|2)$ ein lokales Extremum besitzt und ihre Tangente im Punkt $(1|0)$ echt parallel zur Geraden $y = -3x$ verläuft.

Zeigen Sie algebraisch, dass der Graph der gebrochenrationalen Funktion $f(x) = \frac{x^2 + x + 1}{x-1}$ in seiner gesamten Definitionsmenge keine Tangente besitzt, die parallel zur Geraden mit der Gleichung $y = 2x$ verläuft.

Berechnen Sie den exakten Flächeninhalt des Dreiecks, das von der x-Achse, der Tangente und der Normalen an die Logarithmuskurve $f(x) = \ln(x)$ an der Stelle $x = e$ gebildet wird.

Bestimmen Sie, für welche Werte des Parameters $k$ die gebrochenrationale Funktion $f(x) = \frac{x^2 + kx + 1}{x-2}$ in keinem Punkt ihrer Definitionsmenge eine waagerechte Tangente besitzt.

Die Graphen der quadratischen Funktionen $f(x) = x^2 + ax + b$ und $g(x) = -x^2 + 2x - 1$ berühren sich an der Stelle $x = 1$ (das heißt, sie haben dort denselben Punkt und dieselbe Tangente). Berechnen Sie die Werte von $a$ und $b$ und geben Sie die Gleichung dieser gemeinsamen Tangente an.

Die Abbildung zeigt den Graphen der Ableitungsfunktion $f'(x)$ (bestehend aus zwei Strecken) einer stetigen Funktion $f(x)$. Bestimmen Sie allein anhand dieses Graphen die Stellen der lokalen Extrema von $f(x)$ und klassifizieren Sie sie als Hoch- oder Tiefpunkte. Geben Sie außerdem die Stelle des Wendepunkts der ursprünglichen Funktion an.

Sie können es auf Papier lösen und ein Foto Ihrer Antwort senden.

Gegeben ist die Funktion $f(x) = x^3 - 3x^2 + kx$. Bestimmen Sie den Wert des Parameters $k$, wenn bekannt ist, dass die Tangente an den Graphen von $f(x)$ in seinem Wendepunkt parallel zur Winkelhalbierenden des zweiten und vierten Quadranten verläuft.

Gesucht sind die Gleichungen der Tangenten an die Kurve $f(x) = x^2 + 1$, die durch den außerhalb liegenden Punkt $P(1|-2)$ verlaufen. Zwei Schüler schlagen unterschiedliche Strategien vor:

• Lauras Methode (Differenzialansatz): Sie wählt einen allgemeinen Berührpunkt $T(a|f(a))$ auf der Kurve, stellt die Tangentengleichung in Abhängigkeit von $a$ mithilfe der Ableitung auf und fordert, dass der Punkt $P(1|-2)$ diese Gleichung erfüllt, um die möglichen Werte von $a$ zu bestimmen.

• Sergios Methode (algebraischer Ansatz): Er stellt das Geradenbüschel durch $P(1|-2)$ auf, gegeben durch $y - (-2) = m\cdot(x - 1)$, setzt es mit der Parabel gleich, um das Schnittsystem ($x^2 + 1 = m(x - 1) - 2$) aufzustellen, und fordert, dass die Diskriminante der entstehenden quadratischen Gleichung null ist ($\Delta = 0$), damit es nur einen doppelten Berührpunkt gibt.

1. a) Löse die Aufgabe mit beiden Methoden und überprüfe, dass sie genau zu denselben Tangenten führen.
2. b) Vergleiche beide Methoden kritisch und beantworte begründet: Wenn die gegebene Funktion statt einer quadratischen Funktion $g(x) = x^3 - 2x$ wäre, welche der beiden Methoden wäre nicht mehr direkt anwendbar, und aus welchem begrifflichen Grund?

Bestimmen Sie die reellen Koeffizienten $a$, $b$, $c$ und $d$ der Polynomfunktion $f(x) = a\cdot x^3 + b\cdot x^2 + c\cdot x + d$, wenn sie gleichzeitig die folgenden drei Bedingungen erfüllt:

1. Die Tangente an den Graphen von $f$ an der Stelle $x = 0$ hat die Gleichung $y = 2x - 1$.

2. Die Normale an den Graphen von $f$ an der Stelle $x = 1$ ist parallel zur Geraden mit der Gleichung $x + 8y = 0$.

3. Der Graph von $f$ verläuft durch den Punkt $P(2|3)$.

Nachdem Sie den endgültigen Funktionsterm von $f(x)$ bestimmt haben:

1. a) Begründen Sie, welche geometrische Information der y-Achsenabschnitt und die Steigung der in Bedingung 1 gegebenen Tangente direkt über die Koeffizienten $c$ und $d$ liefern.
2. b) Leiten Sie rechnerisch her, ob es einen weiteren Punkt auf dem Graphen von $f$ gibt, in dem die Tangente genau dieselbe Steigung hat wie in $x = 0$, und berechnen Sie gegebenenfalls die Stelle dieses Punktes.