Aufgaben: Ableitungsfunktion

Wende die Definition der Ableitung durch Berechnung des Grenzwerts $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$ an, um die Ableitungsfunktion von $f(x) = 3x^2 - 5x + 2$ zu bestimmen.

Berechne die Ableitungsfunktion der folgenden Funktion aus Polynom- und Exponentialanteilen mithilfe der grundlegenden Ableitungsregeln:

$f(x) = \frac{3}{4}x^4 - 2x^3 + \frac{5}{x^2} - 3e^x$

Bestimme die Ableitungsfunktion von $f(x)$ mithilfe der Produktregel. Vereinfache das Ergebnis so weit wie möglich.

$f(x) = (2x^3 - x + 4) \cdot \ln(x)$

Bestimme die Ableitungsfunktion mithilfe der Quotientenregel. Gib das Endergebnis mit vereinfachtem Zähler an.

$f(x) = \frac{4x - 3}{x^2 + 5}$

Verwende die Kettenregel, um die Ableitungsfunktion der folgenden verketteten trigonometrischen Funktion zu bestimmen:

$f(x) = \cos(5x^3 - 2x^2 + 1)$

Berechne den exakten Wert der Ableitung der Funktion $f(x) = \sqrt{3x^2 + 4}$ an der Stelle $x = 2$.

Bestimme die zweite Ableitung $f''(x)$ der Funktion $f(x) = x^4 \cdot \ln(x)$.

Betrachte den Graphen der Funktion $f(x)$, der die Flugbahn eines Projektils in Abhängigkeit von der Zeit darstellt.

Bestimme anhand der Darstellung das Vorzeichen der Ableitungsfunktion $f'(x)$ an den Stellen $x = 1$, $x = 2$ und $x = 3$. Begründe deine Antwort mit der geometrischen Bedeutung der Ableitung.

Lina untersucht die lokalen Extrema der Funktion $f(x) = (x-2)^3 + 1$. Dazu berechnet sie die Ableitungsfunktion und erhält $f'(x) = 3(x-2)^2$. Anschließend stellt sie die Gleichung $f'(x) = 0$ auf, erhält als einzige Lösung $x = 2$ und folgert in ihrer Klassenarbeit: „Da die Ableitung an der Stelle $x = 2$ null ist, hat die Funktion $f$ im Punkt $(2, 1)$ zwingend einen Tiefpunkt."

1. a) Erkläre den begrifflichen Fehler von Lina: Garantiert die Bedingung $f'(a) = 0$ allein, dass bei $x = a$ ein lokales Extremum vorliegt?
2. b) Untersuche das Vorzeichen der Ableitungsfunktion $f'(x)$ in den Intervallen $(-\infty, 2)$ und $(2, +\infty)$. Beschreibe anhand dieser Analyse, wie sich die Kurve links und rechts von $x = 2$ tatsächlich verhält, und folgere, welche Art von Punkt die Funktion bei $(2, 1)$ hat.

Betrachte die Polynomfunktion $f(x) = 4 - x^2$.

1. a) Nimm vor der Berechnung einer Ableitung eine begründete qualitative Abschätzung vor: Welches Vorzeichen erwartest du für die Steigung der Tangente an die Kurve bei $x = 1$ und bei $x = -2$? In welchem der beiden Punkte erwartest du dem Betrag nach die steilere Neigung? Begründe deine Antworten mit dem Monotonieverhalten und der Symmetrie der Parabel.
2. b) Bestimme die allgemeine Ableitungsfunktion $f'(x)$ streng mithilfe der Definition der Ableitung über den Grenzwert des Differenzenquotienten: $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$.
3. c) Berechne $f'(1)$ und $f'(-2)$, indem du in die gefundene Ableitungsfunktion einsetzt, und prüfe, ob die Zahlenwerte deine Abschätzungen aus Teilaufgabe a) bestätigen.

Die Bewegungsgleichung eines autonomen Testfahrzeugs ist durch die Funktion $s(t) = 2t^3 - 15t^2 + 24t + 10$ gegeben, wobei $s$ die Position in Metern und $t$ die Zeit in Sekunden ist ($t \ge 0$).

Bestimme die Geschwindigkeitsfunktion $v(t)$ und die Beschleunigungsfunktion $a(t)$. Bestimme, zu welchen Zeitpunkten das Fahrzeug momentan stillsteht.

Die Gesamtkosten der Produktion von $x$ Stück eines hochpräzisen elektronischen Bauteils werden in Euro durch die Funktion $C(x) = 0,02x^3 - 0,6x^2 + 40x + 500$ modelliert.

Berechne die Grenzkostenfunktion $C'(x)$ und bestimme ihren Wert, wenn genau $x = 15$ Stück produziert werden. Interpretiere das Ergebnis im Sachzusammenhang.

Bei einem Experiment zur chemischen Kinetik wird die Konzentration eines Reaktanten in Abhängigkeit von der Zeit $t$ (in Minuten) durch den Term $C(t) = \frac{8t}{t^2 + 4}$ in mol pro Liter beschrieben.

Bestimme die Ableitungsfunktion $C'(t)$, die die Reaktionsgeschwindigkeit darstellt. Zu welchem Zeitpunkt $t > 0$ ist die Reaktionsgeschwindigkeit null?

Bestimme die Werte der reellen Parameter $a$ und $b$ so, dass die folgende abschnittsweise definierte Funktion an der Stelle $x = 2$ differenzierbar ist:

$f(x) = \begin{cases} ax^2 + 3x & \text{für } x \le 2 \\ bx^3 - 4 & \text{für } x > 2 \end{cases}$

Wende die Logarithmengesetze an, um den Term von $f(x)$ vor dem Ableiten zu vereinfachen, und berechne anschließend die vereinfachte Ableitungsfunktion:

$f(x) = \ln\left( \sqrt{\frac{1 + \sin(x)}{1 - \sin(x)}} \right)$

Bestimme die Stellen der Punkte der Kurve $f(x) = e^{3x}(x^2 - 4x + 2)$, in denen die Tangente waagerecht ist.

Die Anzahl der insgesamt erfolgten Aufrufe eines viralen Videos $t$ Stunden nach der Veröffentlichung folgt einem exponentiellen Wachstumsgesetz, gegeben durch $R(t) = 1500 \cdot 3^{0,4t}$.

Bestimme die Funktion, die die momentane Wachstumsrate der Aufrufe beschreibt, $R'(t)$, und berechne diese Rate nach $5$ Stunden.

Der folgende Graph zeigt die Ableitungsfunktion $f'(x)$ einer auf ganz $\mathbb{R}$ stetigen Funktion $f(x)$.

Bestimme allein anhand des Verlaufs von $f'(x)$ die Intervalle, in denen die ursprüngliche Funktion $f(x)$ monoton steigend bzw. monoton fallend ist. An welchen Stellen hat $f(x)$ lokale Extrema?

Bestimme die Koeffizienten $a$, $b$ und $c$ einer quadratischen Funktion $f(x) = ax^2 + bx + c$, die gleichzeitig die folgenden drei Bedingungen erfüllt:

1. Ihre zweite Ableitung ist in der gesamten Definitionsmenge konstant und gleich $-4$: $f''(x) = -4$.

2. Ihre Ableitung verschwindet an der Stelle $x = 1,5$, ist für $x < 1,5$ streng positiv und für $x > 1,5$ streng negativ.

3. Der Graph von $f$ verläuft durch den Punkt $(1,5|6)$.

Nachdem du die Terme von $f(x)$, $f'(x)$ und $f''(x)$ berechnet hast:

1. a) Begründe anhand des Vorzeichenwechsels von $f'(x)$, ob der Punkt $(1,5|6)$ ein Hochpunkt oder ein Tiefpunkt ist.
2. b) Erkläre, was der Wert und das Vorzeichen der zweiten Ableitung $f''(x)$ im Hinblick darauf bedeuten, wie schnell sich die Steigung der Funktion in der Umgebung dieses Extrempunkts ändert.

An einem Hitzetag, der vom Deutschen Wetterdienst an einer Wetterstation im Süden Deutschlands aufgezeichnet wurde, wird die Außentemperatur $T$ (in Grad Celsius) zwischen 08:00 Uhr ($t = 0$) und 20:00 Uhr ($t = 12$) durch die Funktion

modelliert, wobei $t$ die seit 08:00 Uhr vergangene Zeit in Stunden ist.

1. a) Bestimme die Ableitungsfunktion $T'(t)$ und interpretiere, welche physikalische Größe sie in diesem Zusammenhang darstellt; gib die zugehörige Einheit an.
2. b) Berechne die momentane Änderungsrate der Temperatur um 10:00 Uhr ($t = 2$) und um 18:00 Uhr ($t = 10$). Interpretiere die physikalische Bedeutung des Vorzeichens und des Wertes in jedem Fall.
3. c) Löse die Gleichung $T'(t) = 0$, um die genaue Uhrzeit zu bestimmen, zu der die Temperatur ihren Tageshöchstwert erreicht, und berechne diese Höchsttemperatur.
4. d) Bestimme die zweite Ableitung $T''(t)$. Was misst diese zweite Ableitung im Hinblick auf die Entwicklung der Wärme im Tagesverlauf, und was besagt es, dass ihr Vorzeichen im gesamten Intervall negativ ist?

Bestimme den allgemeinen Term der n-ten Ableitung $f^n(x)$ der Funktion $f(x) = \ln(3x - 2)$. Hinweis: Berechne die ersten vier aufeinanderfolgenden Ableitungen und erkenne das Muster.

Betrachte die durch einen Betrag definierte Funktion $f(x) = |x^2 - 4|$.

Schreibe $f(x)$ als abschnittsweise definierte Funktion und berechne ihre Ableitungsfunktion $f'(x)$. Zeige rechnerisch, warum die Funktion in den im Graphen markierten Knickstellen nicht differenzierbar ist.

Zeige, dass die Funktion $y = e^{-2x} \cdot \sin(3x)$ eine spezielle Lösung der linearen Differenzialgleichung zweiter Ordnung

$y'' + 4y' + 13y = 0$

ist.

Gegeben ist die gebrochenrationale Funktion $f(x) = \frac{ax^2 + b}{cx + 1}$. Bestimme die Werte der reellen Parameter $a, b, c$, wenn ihr Graph durch den Punkt $(0|3)$ verläuft, eine senkrechte Asymptote bei $x = -2$ hat und an der Stelle $x = 1$ eine waagerechte Tangente besitzt.

Beim Entwurf einer Hängebrücke hat das Hauptkabel die Form einer Kettenlinie mit der Gleichung $f(x) = \frac{e^{x/10} + e^{-x/10}}{2}$ in einem Koordinatensystem (mit $x$ und $y$ in Metern).

Berechne den Neigungswinkel $\alpha$, den die Tangente an das Kabel mit der Waagerechten im Verankerungspunkt bei $x = 10$ Metern einschließt.

Gegeben ist die Funktion $f(x) = \begin{cases} e^{ax} - 1 & \text{für } x \le 0 \\ b \sin(x) + c x^2 & \text{für } x > 0 \end{cases}$.

Bestimmen Sie die Beziehung, die zwischen den Parametern $a, b, c$ bestehen muss, damit die zweite Ableitung im Ursprung existiert, das heißt, damit $f''(0)$ ein wohldefinierter reeller Wert ist.

In der folgenden Darstellung sind zwei Kurven A (blau) und B (grün) zu sehen. Bekannt ist, dass eine von ihnen zu einer Polynomfunktion $f(x)$ und die andere zu ihrer Ableitungsfunktion $f'(x)$ gehört.

Bestimme begründet, welche Kurve $f(x)$ und welche $f'(x)$ darstellt, indem du den geometrischen Zusammenhang zwischen Nullstellen, Extrempunkten und Monotonie nutzt. Folgere anschließend das Vorzeichen der zweiten Ableitung $f''(x)$ an der Stelle $x = 0$.

Gesucht sind die Ableitungsfunktion und die Monotonieintervalle der gebrochenrationalen Funktion $f(x) = \frac{2x+1}{x-3}$ mit der Definitionsmenge $\mathbb{R} \setminus \{3\}$. Um $f'(x)$ mithilfe der Grenzwertdefinition zu berechnen, wählen zwei Schüler unterschiedliche Vorgehensweisen:

• Strategie A (direkter Differenzenquotient): $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{2(x+h)+1}{x+h-3} - \frac{2x+1}{x-3}}{h}$ berechnen, indem man im Zähler direkt auf den Hauptnenner bringt.

• Strategie B (vorherige Zerlegung): Die Polynomdivision durchführen, um $f(x) = 2 + \frac{7}{x-3}$ zu schreiben, und die Grenzwertdefinition auf diesen neuen Term anwenden: $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\left(2 + \frac{7}{x+h-3}\right) - \left(2 + \frac{7}{x-3}\right)}{h}$.

1. a) Vergleiche beide Strategien und begründe, welche algebraisch effizienter und bei der Berechnung des Grenzwerts weniger anfällig für Vereinfachungsfehler ist.
2. b) Führe die Berechnung von $f'(x)$ vollständig nach der Strategie durch, die du als vorteilhafter ausgewählt hast.
3. c) Bestimme anhand des Terms von $f'(x)$ die Menge, auf der $f$ differenzierbar ist, untersuche das Vorzeichen von $f'(x)$ in den Intervallen $(-\infty, 3)$ und $(3, +\infty)$ und begründe, warum die Funktion keine lokalen Extrema hat, obwohl sie nicht beschränkt ist.

Um die Differenzierbarkeit und die lokalen Extrema der Funktion $f(x) = |x^2 - 4|$ zu untersuchen, schreibt Marcus in seiner Klassenarbeit:

„Ich schreibe die Funktion abschnittsweise: $f(x) = x^2 - 4$ für $x \le -2$ oder $x \ge 2$ und $f(x) = 4 - x^2$ für $-2 < x < 2$. Ich leite jeden Abschnitt direkt ab: $f'(x) = 2x$ außen und $f'(x) = -2x$ innen. Da beim Einsetzen in die erste Formel $f'(2) = 4$ und $f'(-2) = -4$ gilt, ist die Funktion auf ganz $\mathbb{R}$ differenzierbar. Danach löse ich $f'(x) = 0$: Die einzige in ihrem Abschnitt gültige Lösung ist $-2x = 0 \implies x = 0$. Fazit: Das einzige lokale Extremum von $f$ ist der Hochpunkt bei $x = 0$."

1. a) Finde und erkläre ausführlich die beiden begrifflichen Fehler von Marcus: einen dazu, wie man die Existenz der Ableitung an den Übergangsstellen ($x = -2$ und $x = 2$) feststellt, und einen zur vollständigen Suche nach lokalen Extrema.
2. b) Wende die Definition der einseitigen Ableitungen (über einseitige Grenzwerte des Differenzenquotienten) bei $x = 2$ an, um zu zeigen, ob $f'(2)$ existiert oder nicht. Welches geometrische Merkmal hat die Kurve bei $x = 2$ und bei $x = -2$?
3. c) Korrigiere die Aufgabe, indem du die exakte Menge bestimmst, auf der $f(x)$ differenzierbar ist, und ALLE lokalen Extrema angibst (klassifiziert als Hoch- oder Tiefpunkte). Begründe, wie es möglich ist, dass lokale Extrema an Stellen existieren, an denen die Funktion nicht differenzierbar ist.