Tercera ley de Kepler: períodos y distancias
Desde el Valle Central, Venus se ve brillar al atardecer, pero Neptuno nunca se ve a simple vista. ¿Por qué un planeta lejano tarda tanto más en dar una vuelta al Sol? ¿Existe una regla que permita calcular cuánto tarda, si se conoce a qué distancia está?
Período y distancia media
El período orbital (T) es el tiempo que tarda un cuerpo en dar una vuelta completa alrededor del Sol. Para la Tierra es de 1 año.
La órbita es una elipse (primera ley de Kepler), así que la distancia al Sol cambia durante el recorrido. Por eso se usa la distancia media al Sol (a): un valor típico de esa distancia a lo largo de toda la órbita.
El planeta lejano recorre una órbita más larga y, además, se mueve más despacio. Las dos cosas hacen que su vuelta dure mucho más.
Enuncie con sus palabras la tercera ley de Kepler. Indique qué significa período orbital y qué significa distancia media al Sol.
Enuncie con sus palabras la tercera ley de Kepler. Indique qué significa período orbital y qué significa distancia media al Sol.
Mercurio es el planeta más cercano al Sol y Neptuno es el más lejano. Según la tercera ley de Kepler, ¿cuál de los dos tiene el período orbital más corto? Justifique su…
Mercurio es el planeta más cercano al Sol y Neptuno es el más lejano. Según la tercera ley de Kepler, ¿cuál de los dos tiene el período orbital más corto? Justifique su respuesta.
La unidad astronómica
Los kilómetros resultan incómodos para el Sistema Solar: las cifras son enormes. Por eso se usa la unidad astronómica (UA): la distancia media entre la Tierra y el Sol, unos 150 millones de kilómetros.
Con esta unidad, la Tierra tiene $a = 1$ UA y $T = 1$ año. Los demás planetas se comparan con ella:
| Planeta | a (UA) aprox. | T (años) aprox. |
|---|---|---|
| Mercurio | 0,4 | 0,24 |
| Venus | 0,7 | 0,6 |
| Tierra | 1 | 1 |
| Marte | 1,5 | 1,9 |
| Júpiter | 5,2 | 11,9 |
| Saturno | 9,5 | 29,5 |
Observe que al aumentar $a$ también aumenta $T$, pero no al mismo ritmo.
El período orbital de la Tierra es de 1 año y su distancia media al Sol se toma como 1 unidad astronómica (UA). Explique qué es una unidad astronómica y por qué resulta…
El período orbital de la Tierra es de 1 año y su distancia media al Sol se toma como 1 unidad astronómica (UA). Explique qué es una unidad astronómica y por qué resulta útil para comparar las órbitas de los planetas.
La tercera ley
Johannes Kepler descubrió que los datos de la tabla siguen una regla exacta.
La regla funciona porque el Sol atrae menos a los planetas lejanos: su movimiento es más lento y su camino más largo. Con la Tierra se cumple: $1^2 = 1^3$.
Compruébelo con Júpiter ($a \approx 5{,}2$ UA): $a^3 \approx 140$, y $T^2 \approx 11{,}9^2 \approx 142$. Los valores coinciden de forma aproximada.
Fabiola registra los datos de dos planetas imaginarios que giran alrededor del Sol: el planeta P1 tiene $a = 1$ UA y el planeta P2 tiene $a = 9$ UA. Calcule el período…
Fabiola registra los datos de dos planetas imaginarios que giran alrededor del Sol: el planeta P1 tiene $a = 1$ UA y el planeta P2 tiene $a = 9$ UA. Calcule el período de cada uno con $T^2 = a^3$ y explique cuántas veces mayor es el período de P2 que el de P1.
Calcular el período o la distancia
Con $T^2 = a^3$ se calcula una magnitud si se conoce la otra. Para valores sencillos se buscan números cuyo cuadrado o cubo sea conocido: $4 = 2^2$, $8 = 2^3$, $9 = 3^2$, $27 = 3^3$.
La curva no es una recta: por eso no hay proporcionalidad directa.
La tercera ley de Kepler se puede escribir como $T^2 = a^3$, con $T$ en años y $a$ en UA. Un planeta imaginario tiene una distancia media al Sol de $4$ UA. Calcule su…
La tercera ley de Kepler se puede escribir como $T^2 = a^3$, con $T$ en años y $a$ en UA. Un planeta imaginario tiene una distancia media al Sol de $4$ UA. Calcule su período orbital en años.
Un asteroide tiene un período orbital de $8$ años. Con la relación $T^2 = a^3$ (con $T$ en años y $a$ en UA), calcule su distancia media al Sol. Indique si está más…
Un asteroide tiene un período orbital de $8$ años. Con la relación $T^2 = a^3$ (con $T$ en años y $a$ en UA), calcule su distancia media al Sol. Indique si está más cerca o más lejos del Sol que la Tierra.
Dos cuerpos orbitan al Sol: el cuerpo X con período de $27$ años y el cuerpo Y con período de $8$ años. Usando $T^2 = a^3$ (con $T$ en años y $a$ en UA), calcule la…
Dos cuerpos orbitan al Sol: el cuerpo X con período de $27$ años y el cuerpo Y con período de $8$ años. Usando $T^2 = a^3$ (con $T$ en años y $a$ en UA), calcule la distancia media de cada uno y determine cuántas veces mayor es la distancia de X que la de Y. Comente si la relación entre períodos y distancias es proporcional directa y por qué.
Analizar afirmaciones con la ley
La ley sirve para probar si una idea es correcta. Andrés dice: «si la distancia se duplica, el período también».
Andrés dice: «Si un planeta tiene el doble de distancia media al Sol que otro, entonces su período también es el doble». Analice la afirmación con la tercera ley de…
Andrés dice: «Si un planeta tiene el doble de distancia media al Sol que otro, entonces su período también es el doble». Analice la afirmación con la tercera ley de Kepler: use $T^2 = a^3$ para comparar un planeta de $1$ UA con otro de $2$ UA, calcule los períodos aproximados y concluya si Andrés tiene razón. Considere que $\sqrt{8} \approx 2{,}83$.
Vuelva al principio: Neptuno tarda mucho más que Venus en dar su vuelta porque está mucho más lejos. La tercera ley, $T^2 = a^3$, permite calcular cuánto.