Marcos de referencia y movimiento relativo
Vas en un carro a 25 m/s por la autopista y otro carro te rebasa a 30 m/s, ambos medidos respecto a la carretera. Para ti, ese carro avanza apenas 5 m/s. Para un policía parado en la orilla de la carretera, avanza a 30 m/s. ¿Cuál de las dos velocidades es la verdadera? Las dos lo son, y al final de la página verás por qué.
Marcos de referencia
Una velocidad siempre se mide respecto a algo. Ese "algo" es el marco de referencia (reference frame): un observador, con su propio origen y sus ejes, que mide posiciones y tiempos.
Cuando decimos "el carro va a 25 m/s" sin aclarar nada, casi siempre queremos decir "respecto al suelo". Pero un pasajero del tren, el piloto de un avión o el nadador en un río pueden medir otra velocidad para el mismo objeto.
Para no confundirnos usamos una notación con subíndices. $v_{A/B}$ se lee "la velocidad de A respecto a B". Por ejemplo, $v_{\text{Mia/tren}}$ es la velocidad de Mia medida por alguien sentado en el tren.
En una dimensión, el signo indica la dirección: elegimos un sentido positivo (por ejemplo, el este) y un valor negativo significa el sentido contrario.
Liam está parado y quieto en una plataforma. Un corredor pasa junto a él a $4.0\ \text{m/s}$ hacia la derecha. Describe la velocidad de Liam respecto al corredor…
Liam está parado y quieto en una plataforma. Un corredor pasa junto a él a $4.0\ \text{m/s}$ hacia la derecha. Describe la velocidad de Liam respecto al corredor (magnitud y dirección) y explica por qué el resultado no es igual a la velocidad del corredor respecto a Liam.
Suma de velocidades en una dimensión
Si A se mueve respecto a B, y B se mueve respecto a C, la velocidad de A respecto a C es:
Esto tiene sentido: si Mia camina hacia el frente del tren, se mueve con el tren y además avanza dentro de él, así que las dos velocidades se suman. Si camina hacia atrás, la velocidad de Mia respecto al tren es negativa (con "hacia el este" positivo) y se resta.
También se cumple que intercambiar los marcos invierte el signo:
$$v_{A/B} = -v_{B/A}$$Un tren se mueve hacia el este a $20\ \text{m/s}$ respecto al suelo. Mia camina hacia el frente del tren a $1.5\ \text{m/s}$ respecto al tren. Halla la velocidad de Mia…
Un tren se mueve hacia el este a $20\ \text{m/s}$ respecto al suelo. Mia camina hacia el frente del tren a $1.5\ \text{m/s}$ respecto al tren. Halla la velocidad de Mia respecto al suelo.
En una autopista recta, el carro A se mueve hacia el este a $25\ \text{m/s}$ y el carro B se mueve hacia el este a $30\ \text{m/s}$, ambos medidos respecto a la…
En una autopista recta, el carro A se mueve hacia el este a $25\ \text{m/s}$ y el carro B se mueve hacia el este a $30\ \text{m/s}$, ambos medidos respecto a la carretera. Halla la velocidad del carro B respecto al carro A e indica qué observaría un pasajero del carro A sobre el carro B.
Sofia está en una banda transportadora de un aeropuerto de $60\ \text{m}$ de largo que se mueve a $1.2\ \text{m/s}$ respecto al piso. Ella camina a $0.8\ \text{m/s}$…
Sofia está en una banda transportadora de un aeropuerto de $60\ \text{m}$ de largo que se mueve a $1.2\ \text{m/s}$ respecto al piso. Ella camina a $0.8\ \text{m/s}$ respecto a la banda en la misma dirección que esta. Ethan camina sobre el piso, junto a la banda, a $1.4\ \text{m/s}$ en la misma dirección. Ambos comienzan juntos al inicio de la banda. (a) Halla el tiempo que Sofia tarda en llegar al final. (b) Halla qué tan adelante o atrás de Sofia, medido sobre el piso, está Ethan en ese momento.
Velocidad relativa en dos dimensiones
La misma ecuación funciona con vectores. Como las velocidades tienen dirección, las sumamos por componentes: primero $x$, luego $y$.
$$v_{A/C,x} = v_{A/B,x} + v_{B/C,x} \qquad v_{A/C,y} = v_{A/B,y} + v_{B/C,y}$$Después recuperamos la magnitud y el ángulo con Pitágoras y la tangente:
$$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} \qquad \theta = \tan^{-1}\!\left(\frac{|v_y|}{|v_x|}\right)$$Este $\theta$ es el ángulo agudo respecto al eje $x$. Revisa los signos de $v_x$ y $v_y$ para decir en qué cuadrante está y dar la dirección completa (por ejemplo, "al noroeste" o "143° desde el este").
Un caso clásico es el de un bote que cruza un río. El bote tiene una velocidad respecto al agua, y el agua tiene una velocidad respecto a la orilla. Su velocidad respecto a la orilla es la suma de ambas.
Un bote puede viajar a $5.0\ \text{m/s}$ en aguas tranquilas. Cruza directamente un río de $120\ \text{m}$ de ancho, apuntando perpendicular a la orilla, mientras la…
Un bote puede viajar a $5.0\ \text{m/s}$ en aguas tranquilas. Cruza directamente un río de $120\ \text{m}$ de ancho, apuntando perpendicular a la orilla, mientras la corriente fluye río abajo a $3.0\ \text{m/s}$. (a) Halla la rapidez del bote respecto a la orilla. (b) Halla el tiempo de cruce. (c) Halla qué tan lejos río abajo llega el bote a la otra orilla.
Dos carros se acercan a una intersección. El carro 1 viaja hacia el este a $20\ \text{m/s}$ y el carro 2 viaja hacia el norte a $15\ \text{m/s}$, ambos respecto al…
Dos carros se acercan a una intersección. El carro 1 viaja hacia el este a $20\ \text{m/s}$ y el carro 2 viaja hacia el norte a $15\ \text{m/s}$, ambos respecto al suelo. Halla la magnitud y la dirección (ángulo medido desde el este) de la velocidad del carro 2 respecto al carro 1.
Cómo elegir el rumbo: ríos y viento
A veces no queremos que nos arrastre la corriente. Una nadadora quiere llegar al punto directamente opuesto, o un piloto necesita volar hacia el norte con viento de lado. Entonces hay que apuntar contra la corriente para cancelar su componente.
Condición clave: la velocidad respecto a la orilla (o al suelo) debe tener componente cero en la dirección de la corriente. Esto da:
$$v_{\text{propia}} \sin\theta = v_{\text{corriente}}$$donde $\theta$ es el ángulo medido desde la perpendicular, apuntando río arriba. La parte restante, $v_{\text{propia}} \cos\theta$, es la que cruza el río.
Una nadadora puede nadar a $1.5\ \text{m/s}$ en aguas tranquilas. Quiere cruzar un río de $90\ \text{m}$ de ancho y llegar al punto directamente opuesto a su punto de…
Una nadadora puede nadar a $1.5\ \text{m/s}$ en aguas tranquilas. Quiere cruzar un río de $90\ \text{m}$ de ancho y llegar al punto directamente opuesto a su punto de partida. La corriente es de $0.90\ \text{m/s}$. (a) Determina el ángulo, río arriba respecto a la perpendicular, hacia el cual debe apuntar. (b) Halla su rapidez respecto a la orilla y el tiempo de cruce. (c) Si en cambio apuntara directamente al otro lado, determina qué tan lejos río abajo llegaría y explica por qué alcanzaría la orilla opuesta antes que en el inciso (b).
La rapidez de un avión respecto al aire es de $200\ \text{m/s}$ y se dirige hacia el norte. Un viento sopla del oeste hacia el este a $30\ \text{m/s}$ respecto al suelo.…
La rapidez de un avión respecto al aire es de $200\ \text{m/s}$ y se dirige hacia el norte. Un viento sopla del oeste hacia el este a $30\ \text{m/s}$ respecto al suelo. (a) Halla la velocidad del avión respecto al suelo (magnitud y dirección al este del norte). (b) El piloto necesita viajar hacia el norte respecto al suelo. Determina el rumbo que debe usar y la rapidez resultante respecto al suelo. (c) Compara los tiempos para volar $100\ \text{km}$ hacia el norte en la situación del inciso (b) frente a un día sin viento, y explica la diferencia.
Resumen
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Toda velocidad se mide respecto a un marco de referencia; $v_{A/B}$ es la velocidad de A medida desde B.
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Relación clave: $v_{A/C} = v_{A/B} + v_{B/C}$, y además $v_{A/B} = -v_{B/A}$.
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En dos dimensiones suma por componentes y luego halla la magnitud con Pitágoras y el ángulo con la tangente inversa.
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En el cruce de un río, el tiempo depende solo de la componente perpendicular a la orilla; la corriente solo mueve el punto de llegada.
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Para llegar al punto opuesto, apunta río arriba con $\sin\theta = v_{\text{corriente}}/v_{\text{propia}}$.
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Vuelve al principio: ambos carros tienen razón. El carro rebasado mide 5 m/s respecto al otro carro y 30 m/s respecto al suelo, porque son marcos distintos.