Un niño en un columpio del patio de la escuela, la aguja de un sismógrafo, un diapasón: todos oscilan en torno a una posición de equilibrio y vuelven siempre a ella. Si el movimiento es lo bastante «limpio» —la fuerza que lo produce es proporcional al desplazamiento y de sentido contrario—, un único tipo de ecuación matemática lo describe con precisión: el movimiento armónico simple (MAS; en inglés, simple harmonic motion, SHM). Aquí lo describirás con gráficas y álgebra, sin cálculo. ¿Qué decide cuánto tarda un columpio del patio en ir y volver? Lo sabremos al final.
Desplazamiento desde el equilibrio, amplitud, periodo y frecuencia
Si sujetas un marcador al extremo de una masa que oscila colgada de un resorte y tiras a ritmo constante de una tira de papel bajo ella, la punta dibuja una curva suave y periódica idéntica a una función seno: ¿cómo podemos describir con precisión matemática la posición, el ritmo y el alcance de ese vaivén en cada instante?
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Un columpio oscila libremente tras un empujón. Con un cronómetro, completa $15$ oscilaciones completas en $30\ \text{s}$. La figura muestra el columpio en tres…
Un columpio oscila libremente tras un empujón. Con un cronómetro, completa $15$ oscilaciones completas en $30\ \text{s}$. La figura muestra el columpio en tres posiciones de su oscilación.
a) Define, aplicándolos al columpio, los conceptos de elongación, amplitud, periodo y frecuencia.
b) Calcula el periodo $T$ y la frecuencia $f$ de la oscilación.
Un electrocardiograma registra un ritmo cardiaco de $75$ latidos por minuto, perfectamente regular. La figura representa la señal registrada. a) Calcula la frecuencia…
Un electrocardiograma registra un ritmo cardiaco de $75$ latidos por minuto, perfectamente regular. La figura representa la señal registrada.
a) Calcula la frecuencia del latido, en $\text{Hz}$.
b) Calcula su periodo, en segundos: ¿cuánto tiempo pasa entre dos latidos consecutivos?
La elongación de una masa que oscila en un resorte horizontal está dada, en unidades del Sistema Internacional, por $x = 0.1 \times \sen(20 \times \pi \times t)$. a)…
La elongación de una masa que oscila en un resorte horizontal está dada, en unidades del Sistema Internacional, por $x = 0.1 \times \sen(20 \times \pi \times t)$.
a) ¿Cuánto valen la amplitud $A$ y la frecuencia angular $\omega$?
b) Calcula el periodo $T$ y la frecuencia $f$ del movimiento, recordando que $T = \frac{2 \times \pi}{\omega}$ y $f = \frac{1}{T}$.
Un oscilador describe un movimiento armónico simple de ecuación $x = 0.08 \times \sen(\pi \times t)$, en unidades del Sistema Internacional. a) Calcula la elongación en…
Un oscilador describe un movimiento armónico simple de ecuación $x = 0.08 \times \sen(\pi \times t)$, en unidades del Sistema Internacional.
a) Calcula la elongación en el instante $t = 0.5\ \text{s}$.
b) ¿Cuál es el valor máximo que puede tomar la elongación? ¿En qué instantes se alcanza?
La aguja de una máquina de coser sube y baja con un movimiento armónico simple de amplitud $6\ \text{cm}$ y periodo $0.5\ \text{s}$. En el instante inicial la aguja pasa…
La aguja de una máquina de coser sube y baja con un movimiento armónico simple de amplitud $6\ \text{cm}$ y periodo $0.5\ \text{s}$. En el instante inicial la aguja pasa por la posición de equilibrio moviéndose en el sentido positivo, de modo que $\varphi_0 = 0$.
a) Calcula la frecuencia angular $\omega$.
b) Escribe la ecuación completa de la elongación, $x = A \times \sen(\omega \times t + \varphi_0)$, expresando la amplitud en metros.
La tensión de la red eléctrica española oscila con una frecuencia de $50\ \text{Hz}$. Calcula su frecuencia angular $\omega = 2 \times \pi \times f$, en $\text{rad/s}$.
La tensión de la red eléctrica española oscila con una frecuencia de $50\ \text{Hz}$. Calcula su frecuencia angular $\omega = 2 \times \pi \times f$, en $\text{rad/s}$.
Un punto del centro de una cuerda de guitarra vibra con un movimiento armónico simple de amplitud $A = 2\ \text{mm}$ y frecuencia $f = 440\ \text{Hz}$ (la nota «la» de…
Un punto del centro de una cuerda de guitarra vibra con un movimiento armónico simple de amplitud $A = 2\ \text{mm}$ y frecuencia $f = 440\ \text{Hz}$ (la nota «la» de afinación). La velocidad máxima de un oscilador es $v_{max} = A \times \omega$.
a) Calcula la frecuencia angular $\omega$ de la vibración.
b) Expresa la amplitud en metros y calcula la velocidad máxima del punto de la cuerda.
Al separar un cuerpo unido a un resorte $2\ \text{cm}$ notas una leve resistencia hacia el centro, pero si lo separas $4\ \text{cm}$ la fuerza que tira de tu mano se duplica de inmediato: ¿de qué manera determina esta fuerza restauradora el tiempo exacto que tarda el sistema en completar cada vaivén?
(El widget anterior muestra un resorte: estira o comprime y observa la fuerza.)
Esta fuerza restauradora es la que produce el MAS: con la segunda ley de Newton, $m\cdot a = -k\cdot x$, o sea $a = -\dfrac{k}{m}\cdot x$. Se puede demostrar que el periodo del oscilador masa-resorte no depende de la amplitud, solo de $k$ y de la masa $m$:
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El periodo de un oscilador masa-resorte es $T = 2 \times \pi \times \sqrt{\frac{m}{k}}$. En el laboratorio, un bloque de $m = 0.25\ \text{kg}$ oscila unido a un resorte…
El periodo de un oscilador masa-resorte es $T = 2 \times \pi \times \sqrt{\frac{m}{k}}$. En el laboratorio, un bloque de $m = 0.25\ \text{kg}$ oscila unido a un resorte de constante elástica $k = 100\ \text{N/m}$. Calcula el periodo de la oscilación.
El periodo de un péndulo simple es $T = 2 \times \pi \times \sqrt{\frac{l}{g}}$. La lámpara del vestíbulo de un museo cuelga de un cable de $l = 1\ \text{m}$ de longitud…
El periodo de un péndulo simple es $T = 2 \times \pi \times \sqrt{\frac{l}{g}}$. La lámpara del vestíbulo de un museo cuelga de un cable de $l = 1\ \text{m}$ de longitud y oscila ligeramente tras una corriente de aire (toma $g = 9.8\ \text{m/s}^2$). Calcula su periodo de oscilación.
Se cuelga una masa de $m = 0.5\ \text{kg}$ de un resorte vertical de constante $k = 200\ \text{N/m}$ (toma $g = 9.8\ \text{m/s}^2$). El montaje se muestra en la figura.…
Se cuelga una masa de $m = 0.5\ \text{kg}$ de un resorte vertical de constante $k = 200\ \text{N/m}$ (toma $g = 9.8\ \text{m/s}^2$). El montaje se muestra en la figura.
a) Calcula cuánto se estira el resorte hasta alcanzar la posición de equilibrio, donde la fuerza elástica $k \times x_0$ iguala al peso $m \times g$.
b) Se separa ligeramente la masa de esa posición y se suelta. Calcula el periodo de la oscilación vertical, $T = 2 \times \pi \times \sqrt{\frac{m}{k}}$.
c) Explica por qué la gravedad no modifica el periodo respecto al mismo oscilador dispuesto en horizontal: ¿qué es lo único que cambia la gravedad en la oscilación vertical?
Investigar un modelo: diseño experimental y análisis de datos
Para estimar $g$ con un péndulo, usa el modelo $T = 2\pi\sqrt{L/g}$ y linealízalo: al elevar al cuadrado, $T^2=(4\pi^2/g)L$. Si graficas $T^2$ (eje vertical) frente a $L$ (eje horizontal), obtienes una recta que pasa por el origen y cuya pendiente es $4\pi^2/g$. Usa oscilaciones pequeñas (menos de unos $15^\circ$), mide desde el punto de suspensión hasta el centro de la masa y cronometra diez periodos para reducir el efecto del tiempo de reacción. Mantén el soporte estable y el entorno despejado; reparte y rota las tareas de medir, registrar y analizar. Para investigar un resorte, haz lo mismo: mide $T$ con varias masas y grafica $T^2$ frente a $m$; la pendiente es $4\pi^2/k$.
Revisa los residuos y un posible intercepto distinto de cero: podrían indicar errores en la longitud o en el cronometraje. La incertidumbre de la pendiente no incluye automáticamente todos los errores sistemáticos. Documenta datos originales, método, fuentes y límites, e identifica si usaste simulación en vez de experimento.
Al justificar una conclusión en una pregunta de respuesta libre, usa afirmación, evidencia y razonamiento (CER): la afirmación responde la pregunta; la evidencia son tus datos o la gráfica; el razonamiento los conecta con la física (por ejemplo, con $T^2=(4\pi^2/g)L$). Dibuja la gráfica o el diagrama cuando ayude, escribe las ecuaciones en símbolos antes de sustituir, incluye unidades y comprueba que el resultado tiene sentido. Dar solo un número deja incompleta la respuesta.
El esquema relaciona las ideas principales:
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Un reloj de pie antiguo funciona con un péndulo cuyo periodo debe ser exactamente $T = 2.0\ \text{s}$: cada oscilación completa hace avanzar un diente del mecanismo…
Un reloj de pie antiguo funciona con un péndulo cuyo periodo debe ser exactamente $T = 2.0\ \text{s}$: cada oscilación completa hace avanzar un diente del mecanismo (toma $g = 9.8\ \text{m/s}^2$). El péndulo se muestra en la figura.
a) Despeja la longitud de la fórmula $T = 2 \times \pi \times \sqrt{\frac{l}{g}}$.
Un grupo de estudiantes mide la gravedad con un péndulo. La longitud medida es $l = 1.20\ \text{m}$ y cronometran $20$ oscilaciones completas en $44.0\ \text{s}$. a)…
Un grupo de estudiantes mide la gravedad con un péndulo. La longitud medida es $l = 1.20\ \text{m}$ y cronometran $20$ oscilaciones completas en $44.0\ \text{s}$.
a) Calcula el periodo del péndulo.
b) Despeja $g$ de la fórmula $T = 2 \times \pi \times \sqrt{\frac{l}{g}}$ y calcula su valor experimental.
c) Compara con el valor aceptado $g = 9.81\ \text{m/s}^2$ y explica por qué se cronometran $20$ oscilaciones y no una sola para obtener el periodo.
Vuelve al principio: un columpio es un péndulo, así que su período depende de la longitud de las cadenas y de $g$, no de quién se suba ni de cuánto lo empujes. Con cadenas de $2.5\ \text{m}$, $T = 2\pi\sqrt{2.5/9.8} \approx 3.2\ \text{s}$. Eso responde la pregunta inicial.
¡A practicar! 7 ejercicios de nivel medio en este apartado