Sistemas y centro de masa
Dos patinadores están parados en el centro de una pista de hielo, muy lisa. Se empujan y salen en direcciones opuestas. ¿Se movió "el conjunto" de los dos? ¿Y qué punto del conjunto sigue exactamente en su lugar? Para contestar necesitas dos ideas: elegir un sistema y encontrar su centro de masa.
Sistemas y fuerzas internas y externas
Un sistema es el objeto, o grupo de objetos, que decides estudiar. Todo lo demás es el entorno. Tú eliges el sistema, y esa elección decide qué fuerzas cuentan.
La masa $m_{sys}$ del sistema es la suma de las masas de sus partes. No la confundas con el peso: la masa mide la inercia (cuánto cuesta acelerar el objeto) y el peso $F_g = mg$ es una fuerza. Experimentalmente, la masa inercial (la de $F = ma$) y la masa gravitacional (la de $F_g = mg$) son iguales, por eso todos los objetos caen con la misma aceleración $g$.
Las fuerzas internas siempre vienen en pares de la tercera ley de Newton: iguales en magnitud y de dirección opuesta. Como las dos actúan dentro del sistema, se cancelan al sumarlas. Por eso solo las fuerzas externas pueden cambiar el movimiento del sistema como un todo.
Si el sistema es solo la caja, el empuje de Emma, la fricción del piso ($F_f$) y la fuerza gravitacional de la Tierra ($F_g$) son externos. (La fuerza normal $F_N$ del piso también sería externa.) Si el sistema es "caja + Emma", el empuje pasa a ser interno (de Emma sobre la caja, con su par de la caja sobre Emma), pero la fricción del piso sobre ambos y la gravedad siguen siendo externas.
Emma empuja una caja sobre un piso áspero. Ella define el sistema como "solo la caja". Clasifica cada una de las siguientes fuerzas como interna o externa a este…
Emma empuja una caja sobre un piso áspero. Ella define el sistema como "solo la caja". Clasifica cada una de las siguientes fuerzas como interna o externa a este sistema: el empuje de Emma sobre la caja, la fuerza de fricción del piso y la fuerza gravitacional de la Tierra. Luego indica si el sistema cambiaría si ella lo definiera como "caja + Emma".
Centro de masa
Lanza al aire un bate de béisbol girando. Cada punto del bate sigue un camino complicado, pero hay un punto que describe una parábola limpia, como una pelota. Ese punto es el centro de masa: la posición promedio del sistema, ponderada por la masa.
Es un promedio: las masas más grandes "jalan" más el resultado, así que el centro de masa queda más cerca del objeto más pesado. En un campo gravitatorio uniforme, el peso total actúa en este punto.
Dos carritos están sobre una pista de laboratorio. Un carrito de masa $0.50\ \text{kg}$ está en $x = 0$ y un carrito de masa $1.50\ \text{kg}$ está en…
Dos carritos están sobre una pista de laboratorio. Un carrito de masa $0.50\ \text{kg}$ está en $x = 0$ y un carrito de masa $1.50\ \text{kg}$ está en $x = 0.80\ \text{m}$. Calcula la posición del centro de masa del sistema de los dos carritos.
Tres masas puntuales están sobre el eje $x$: $2.0\ \text{kg}$ en $x = -1.0\ \text{m}$, $3.0\ \text{kg}$ en $x = 0$ y $1.0\ \text{kg}$ en $x = 4.0\ \text{m}$. Halla la…
Tres masas puntuales están sobre el eje $x$: $2.0\ \text{kg}$ en $x = -1.0\ \text{m}$, $3.0\ \text{kg}$ en $x = 0$ y $1.0\ \text{kg}$ en $x = 4.0\ \text{m}$. Halla la coordenada $x$ del centro de masa.
Un bloque de $1.0\ \text{kg}$ está en $(0, 0)$ y un bloque de $3.0\ \text{kg}$ está en $(4.0\ \text{m}, 2.0\ \text{m})$. Una fuerza externa constante de $8.0\ \text{N}$…
Un bloque de $1.0\ \text{kg}$ está en $(0, 0)$ y un bloque de $3.0\ \text{kg}$ está en $(4.0\ \text{m}, 2.0\ \text{m})$. Una fuerza externa constante de $8.0\ \text{N}$ en la dirección $+x$ actúa solo sobre el bloque de $1.0\ \text{kg}$. Los bloques están unidos por una varilla ligera. (a) Halla las coordenadas del centro de masa. (b) Halla la magnitud y la dirección de la aceleración del centro de masa.
Movimiento del centro de masa
La razón por la que el centro de masa es tan útil: se mueve como si toda la masa estuviera ahí y solo actuaran las fuerzas externas.
El porqué: sumando la segunda ley de cada partícula, las fuerzas internas aparecen en pares iguales y opuestos (tercera ley) y se cancelan. Solo sobreviven las externas.
Esto explica el gancho: los dos patinadores se empujan con fuerzas internas. No hay fuerza externa horizontal neta (el hielo es liso), así que el centro de masa no se mueve; ellos se separan hacia lados opuestos, alrededor de ese punto fijo.
Para la velocidad del centro de masa:
$$v_{cm} = \frac{\sum m_i v_i}{\sum m_i}$$Es el mismo promedio ponderado, usando velocidades con signo. El numerador es el momento lineal total, así que $p_{sys} = m_{sys}\,v_{cm}$.
Una bola de $2.0\ \text{kg}$ se mueve a $3.0\ \text{m/s}$ en la dirección $+x$ y una bola de $3.0\ \text{kg}$ se mueve a $2.0\ \text{m/s}$ en la dirección $-x$. No actúa…
Una bola de $2.0\ \text{kg}$ se mueve a $3.0\ \text{m/s}$ en la dirección $+x$ y una bola de $3.0\ \text{kg}$ se mueve a $2.0\ \text{m/s}$ en la dirección $-x$. No actúa ninguna fuerza externa neta sobre el sistema. (a) Halla la velocidad del centro de masa. (b) Describe cómo cambia esta velocidad cuando las bolas chocan entre sí y justifica tu respuesta.
Un fuego artificial de masa total $1.2\ \text{kg}$ se lanza verticalmente hacia arriba. En el punto más alto de su trayectoria, momentáneamente en reposo, explota en dos…
Un fuego artificial de masa total $1.2\ \text{kg}$ se lanza verticalmente hacia arriba. En el punto más alto de su trayectoria, momentáneamente en reposo, explota en dos pedazos. Un pedazo de $0.40\ \text{kg}$ se mueve horizontalmente hacia el este a $30\ \text{m/s}$ inmediatamente después de la explosión. (a) Determina la velocidad (magnitud y dirección) del otro pedazo inmediatamente después de la explosión. (b) Describe el movimiento del centro de masa de los dos pedazos después de la explosión, ignorando la resistencia del aire, y explica cómo es consistente con tu respuesta a (a). (c) Explica por qué las fuerzas internas de la explosión no pueden cambiar el movimiento del centro de masa, mientras que la gravedad sí puede.
Personas en un bote
Si no hay fuerza externa horizontal, $x_{cm}$ no cambia aunque las partes se muevan. Eso permite predecir cuánto se desliza un bote cuando alguien camina por él.
Jayden (masa $60\ \text{kg}$) y su hermana Aaliyah (masa $40\ \text{kg}$) están de pie en extremos opuestos de un bote de $4.0\ \text{m}$ de largo y masa…
Jayden (masa $60\ \text{kg}$) y su hermana Aaliyah (masa $40\ \text{kg}$) están de pie en extremos opuestos de un bote de $4.0\ \text{m}$ de largo y masa $100\ \text{kg}$, que flota en reposo en un lago tranquilo. Considera que el centro de masa del bote está en su punto medio y toma el origen en el extremo de Jayden. (a) Halla el centro de masa del sistema formado por el bote y las dos personas. (b) Sin tomar en cuenta la resistencia del agua, las dos personas caminan una hacia la otra y se encuentran en el punto medio del bote. Explica qué ocurre con la posición del centro de masa del sistema respecto a la orilla y por qué.
Marcus ($70\ \text{kg}$) está de pie en un extremo de una canoa uniforme de $6.0\ \text{m}$ y masa $30\ \text{kg}$, en reposo sobre agua tranquila. El extremo donde está…
Marcus ($70\ \text{kg}$) está de pie en un extremo de una canoa uniforme de $6.0\ \text{m}$ y masa $30\ \text{kg}$, en reposo sobre agua tranquila. El extremo donde está parado está a $1.0\ \text{m}$ de un muelle, y el eje largo de la canoa apunta alejándose del muelle. Marcus camina hasta el otro extremo de la canoa. Ignora la resistencia del agua. (a) Explica por qué el centro de masa del sistema Marcus-canoa no se mueve respecto al muelle. (b) Calcula cuánto se mueve la canoa y en qué dirección respecto al muelle. (c) Calcula la distancia final de Marcus al muelle.
Vuelve al principio: los dos patinadores se empujan con fuerzas internas, así que su centro de masa queda quieto; ellos se alejan en direcciones opuestas alrededor de ese punto.
Resumen
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Un sistema es lo que tú eliges estudiar; las fuerzas internas se cancelan por pares y solo las externas cambian su movimiento.
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$x_{cm} = \sum m_i x_i / \sum m_i$ (igual para $y$): un promedio ponderado por la masa.
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$a_{cm} = \sum F_{ext}/m_{sys}$ y $v_{cm} = \sum m_i v_i/\sum m_i$.
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Con $\sum F_{ext} = 0$, $v_{cm}$ es constante, aunque haya explosiones o choques internos.
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Para problemas de bote o canoa: iguala $x_{cm}$ antes y después.