Movimiento de satélites en órbita
Los astronautas de la Estación Espacial Internacional (ISS) flotan dentro de la nave, pero la ISS está a solo unos 400 km sobre la superficie. ¿Se acabó la gravedad allá arriba? Y si no, ¿por qué la estación no se cae? Al final de la página lo respondemos con números.
Un satélite está en caída libre
Imagina que lanzas una pelota horizontalmente desde una montaña muy alta. Cuanto más rápido la lances, más lejos cae. Si la rapidez es enorme, la Tierra se curva debajo de la pelota al mismo ritmo que la pelota cae. La pelota sigue cayendo, pero nunca llega al suelo. Eso es una órbita.
En una órbita circular la gravedad es la única fuerza que actúa sobre el satélite (sin resistencia del aire). Apunta hacia el centro de la Tierra, así que hace el papel de fuerza neta centrípeta. No es una fuerza nueva y no se dibuja aparte en el diagrama de cuerpo libre. Aplicamos la segunda ley de Newton en la dirección radial:
$$F_g = m\,a_c \quad\Rightarrow\quad \frac{G M_E m}{r^2} = m\,\frac{v^2}{r}$$La masa $m$ del satélite se cancela. Al despejar $v$ queda:
Así se explica por qué un satélite pequeño y una estación enorme pueden compartir la misma órbita a la misma rapidez. Un radio mayor implica menor rapidez.
La respuesta a tu turno es $a_c = 3.98\times10^{14}/(6.77\times10^{6})^2 \approx 8.7\ \text{m/s}^2$, alrededor del 89 % de $g$ en la superficie. La gravedad allá arriba sigue siendo fuerte. Los astronautas flotan porque ellos y la estación están en caída libre juntos, así que ninguna superficie los empuja (no hay fuerza normal).
Un satélite se mueve en una órbita circular de radio $7.0\times10^{6}\ \text{m}$ medido desde el centro de la Tierra. Usa $M_E = 5.97\times10^{24}\ \text{kg}$ y…
Un satélite se mueve en una órbita circular de radio $7.0\times10^{6}\ \text{m}$ medido desde el centro de la Tierra. Usa $M_E = 5.97\times10^{24}\ \text{kg}$ y $G = 6.67\times10^{-11}\ \text{N·m}^2/\text{kg}^2$. Calcula la rapidez orbital del satélite. ¿Depende la respuesta de la masa del satélite?
Rapidez, período y la relación $T^2 \propto r^3$
En una órbita circular la rapidez es constante, así que el satélite recorre una circunferencia $2\pi r$ en un período $T$:
$$v = \frac{2\pi r}{T}$$Si combinamos esto con $v=\sqrt{GM/r}$ y elevamos al cuadrado, obtenemos una relación entre el período y el radio:
$$\frac{4\pi^2 r^2}{T^2} = \frac{GM}{r} \quad\Rightarrow\quad T^2 = \frac{4\pi^2}{GM}\,r^3$$Las dos relaciones $v \propto r^{-1/2}$ y $T \propto r^{3/2}$ permiten comparar órbitas sin calculadora.
La altitud sale de $8.06\times10^{6} - 6.37\times10^{6} \approx 1.7\times10^{6}\ \text{m}$.
Un satélite en órbita circular alrededor de la Tierra recibe un impulso y pasa a una nueva órbita circular de mayor radio. Para cada magnitud, indica si aumenta,…
Un satélite en órbita circular alrededor de la Tierra recibe un impulso y pasa a una nueva órbita circular de mayor radio. Para cada magnitud, indica si aumenta, disminuye o no cambia, y justifica brevemente tu elección: (a) la rapidez orbital, (b) el período orbital, (c) la fuerza gravitacional sobre el satélite.
La Luna orbita la Tierra en una trayectoria casi circular de radio $3.84\times10^{8}\ \text{m}$ con un período de $27.3$ días. Convierte el período a segundos y calcula…
La Luna orbita la Tierra en una trayectoria casi circular de radio $3.84\times10^{8}\ \text{m}$ con un período de $27.3$ días. Convierte el período a segundos y calcula la rapidez orbital promedio de la Luna. Da tu respuesta en m/s.
Una sonda orbita Marte en una órbita circular a $4.00\times10^{5}\ \text{m}$ sobre la superficie. Marte tiene una masa de $6.42\times10^{23}\ \text{kg}$ y un radio de…
Una sonda orbita Marte en una órbita circular a $4.00\times10^{5}\ \text{m}$ sobre la superficie. Marte tiene una masa de $6.42\times10^{23}\ \text{kg}$ y un radio de $3.39\times10^{6}\ \text{m}$. Usa $G = 6.67\times10^{-11}\ \text{N·m}^2/\text{kg}^2$. (a) Calcula el radio orbital medido desde el centro de Marte. (b) Calcula la rapidez orbital de la sonda. (c) Calcula el período orbital en minutos.
Órbita geoestacionaria
Muchos satélites de TV y de comunicaciones parecen quedarse quietos sobre un punto del cielo. Para eso necesitan un período igual al de rotación de la Tierra, de 24 h $= 8.64\times10^{4}\ \text{s}$, y moverse en el mismo sentido que la Tierra.
El procedimiento es el del ejemplo anterior: se fija $T$, se despeja $r$ con $r^3 = GMT^2/4\pi^2$ y se resta $R_E$ para la altitud. El resultado queda a decenas de miles de kilómetros, mucho más lejos que la ISS.
La órbita debe estar sobre el ecuador por una razón de geometría. La gravedad apunta siempre al centro de la Tierra, así que el plano de cualquier órbita pasa por el centro. Un círculo inclinado cruza el ecuador solo en dos puntos, y el satélite subiría y bajaría de latitud. Solo un círculo en el plano del ecuador mantiene al satélite siempre sobre el mismo punto.
Un satélite de comunicaciones se coloca en una órbita geoestacionaria, de modo que permanece sobre el mismo punto del ecuador. Su período es de…
Un satélite de comunicaciones se coloca en una órbita geoestacionaria, de modo que permanece sobre el mismo punto del ecuador. Su período es de $8.64\times10^{4}\ \text{s}$. Usa $M_E = 5.97\times10^{24}\ \text{kg}$, $R_E = 6.37\times10^{6}\ \text{m}$ y $G = 6.67\times10^{-11}\ \text{N·m}^2/\text{kg}^2$. (a) Deduce una expresión del radio orbital en función de $G$, $M_E$ y el período. (b) Calcula el radio orbital y la altitud sobre la superficie terrestre. (c) Explica por qué una órbita geoestacionaria debe estar sobre el ecuador.
Energía de un satélite en órbita circular
Lejos de la superficie, la energía potencial gravitacional ya no es $mg\Delta y$. Se usa
$$U = -\frac{G M m}{r}$$con $U=0$ en el infinito. Es negativa: cuanto más cerca, más negativa. La energía cinética sale de $v^2 = GM/r$:
$$K = \tfrac12 m v^2 = \frac{G M m}{2r}$$Cuando el radio aumenta, $K$ disminuye, $U$ aumenta (se hace menos negativa) y $E$ aumenta, porque $-GMm/2r$ se acerca a cero. Para subir de órbita los motores deben realizar trabajo positivo:
$$W_{\text{motores}} = \Delta E = \Delta K + \Delta U$$La rapidez baja a pesar de ese trabajo positivo. La energía potencial $U$ aumenta más que la energía total $E$, porque la energía cinética $K$ disminuye: $\Delta U = \Delta E - \Delta K$.
El satélite A y el satélite B tienen la misma masa y ambos orbitan la Tierra en órbitas circulares. El satélite A tiene radio orbital $r$ y el satélite B tiene radio…
El satélite A y el satélite B tienen la misma masa y ambos orbitan la Tierra en órbitas circulares. El satélite A tiene radio orbital $r$ y el satélite B tiene radio orbital $2r$. Halla el cociente de cada magnitud, A entre B: (a) la rapidez orbital, (b) el período orbital, (c) la energía cinética. Muestra cómo sale cada cociente de las ecuaciones de la órbita.
Un satélite de masa $1{,}200\ \text{kg}$ pasa de una órbita circular de radio $7.0\times10^{6}\ \text{m}$ a una órbita circular de radio $1.4\times10^{7}\ \text{m}$…
Un satélite de masa $1{,}200\ \text{kg}$ pasa de una órbita circular de radio $7.0\times10^{6}\ \text{m}$ a una órbita circular de radio $1.4\times10^{7}\ \text{m}$ alrededor de la Tierra. Usa $M_E = 5.97\times10^{24}\ \text{kg}$, $G = 6.67\times10^{-11}\ \text{N·m}^2/\text{kg}^2$ y $U = -GM_Em/r$. (a) Calcula el cambio en la energía cinética, en la energía potencial gravitacional y en la energía mecánica total. (b) Determina el trabajo neto mínimo que deben realizar los motores. (c) Explica por qué la rapidez del satélite disminuye aunque los motores realizaron trabajo positivo sobre él.
Órbitas elípticas
No todas las órbitas son circulares. Una elipse tiene un punto más cercano al cuerpo central (perigeo, en la Tierra) y uno más lejano (apogeo). Ya no usamos $v=\sqrt{GM/r}$, pero dos conservaciones nos dan todo.
1. Conservación del momento angular. La gravedad apunta hacia el centro, así que su torque respecto al centro es cero ($\vec r \parallel \vec F$). Por tanto $L$ es constante. En el perigeo y el apogeo la velocidad es perpendicular a $r$, así que:
$$m\,v_p\,r_p = m\,v_a\,r_a \quad\Rightarrow\quad v_p\,r_p = v_a\,r_a$$La rapidez es mayor donde el satélite está más cerca.
2. Conservación de la energía. Solo actúa la gravedad, así que $K + U$ es constante:
$$\tfrac12 v_p^2 - \frac{GM}{r_p} = \tfrac12 v_a^2 - \frac{GM}{r_a}$$(la masa $m$ se canceló). Sustituye $v_p = v_a\,r_a/r_p$ y despeja.
La rapidez circular en $r_p$ es $\sqrt{GM/r_p} = 7.65\times10^{3}\ \text{m/s}$. El satélite elíptico va más rápido que esa en el perigeo: ya no está en el equilibrio de una órbita circular, y por eso se aleja después. Lo contrario ocurre en el apogeo, donde va más lento que una órbita circular a ese radio.
Un satélite se mueve en una órbita elíptica alrededor de la Tierra. Su punto más cercano (perigeo) está a una distancia de $7.0\times10^{6}\ \text{m}$ y su punto más…
Un satélite se mueve en una órbita elíptica alrededor de la Tierra. Su punto más cercano (perigeo) está a una distancia de $7.0\times10^{6}\ \text{m}$ y su punto más lejano (apogeo) está a $2.1\times10^{7}\ \text{m}$, ambas medidas desde el centro de la Tierra. Usa $M_E = 5.97\times10^{24}\ \text{kg}$ y $G = 6.67\times10^{-11}\ \text{N·m}^2/\text{kg}^2$. (a) Usa la conservación del momento angular para relacionar las rapideces en el perigeo y en el apogeo. (b) Combínala con la conservación de la energía para hallar ambas rapideces. (c) Compara la rapidez en el perigeo con la rapidez de una órbita circular de ese mismo radio y explica qué indica la comparación sobre la forma de la órbita.
Resumen
-
En una órbita circular, la gravedad es la fuerza centrípeta: $\dfrac{GMm}{r^2} = \dfrac{mv^2}{r}$, y de ahí $v = \sqrt{GM/r}$. No depende de la masa del satélite. $r$ se mide desde el centro del cuerpo.
-
El período es $T = 2\pi r/v = 2\pi\sqrt{r^3/GM}$, con $T^2 \propto r^3$. Mayor radio implica menor rapidez, mayor período y menor fuerza gravitacional.
-
Un satélite geoestacionario tiene $T = 24\ \text{h}$ y debe estar sobre el ecuador.
-
En órbita circular: $K = GMm/2r$, $U = -GMm/r$, $E = -GMm/2r$. Subir de órbita requiere $W = \Delta E > 0$, aunque la rapidez disminuya.
-
En una órbita elíptica se conservan $L$ ($v_p r_p = v_a r_a$) y la energía mecánica. La rapidez es mayor en el perigeo.
-
Vuelve al principio: a 400 km la gravedad sigue siendo cerca del 89 % de $g$. Los astronautas flotan porque están en caída libre junto con la estación.