Inercia rotacional
En el patio de la escuela hay un carrusel (merry-go-round). Si todos los niños se sientan en el borde, cuesta mucho ponerlo a girar. Si se sientan cerca del centro, gira con facilidad. La masa total es la misma, pero el esfuerzo cambia. ¿Qué propiedad mide esa «resistencia a girar»? Al final de la página volveremos a este carrusel.
¿Qué es la inercia rotacional?
En movimiento lineal, la masa $m$ mide cuánto se resiste un objeto a cambiar su velocidad. En movimiento de rotación pasa algo parecido: un objeto se resiste a cambiar su velocidad angular. Esa resistencia se llama inercia rotacional y se representa con $I$.
Hay una diferencia clave con la masa: $I$ no depende solo de cuánta masa hay, sino también de dónde está esa masa respecto al eje. Además, el mismo objeto tiene un $I$ distinto para cada eje que elijas.
Define la inercia rotacional con tus propias palabras. Luego indica cuáles dos propiedades de un objeto determinan su inercia rotacional respecto a un eje dado y da la…
Define la inercia rotacional con tus propias palabras. Luego indica cuáles dos propiedades de un objeto determinan su inercia rotacional respecto a un eje dado y da la unidad de la inercia rotacional en el SI.
Masas puntuales: $I = \sum mr^2$
Para una masa puntual $m$ a una distancia $r$ del eje:
$$I = mr^2$$Para varias masas puntuales, se suman las contribuciones:
¿Por qué $r^2$? Una masa lejos del eje recorre una trayectoria más larga en cada vuelta, así que se mueve más rápido ($v = r\omega$) y tiene más energía. Por eso la distancia pesa al cuadrado: duplicar $r$ cuadruplica la contribución.
Una bolita de masa $0.50$ kg está sujeta al extremo de una varilla ligera de masa despreciable y de $0.80$ m de largo. El sistema gira alrededor del otro extremo de la…
Una bolita de masa $0.50$ kg está sujeta al extremo de una varilla ligera de masa despreciable y de $0.80$ m de largo. El sistema gira alrededor del otro extremo de la varilla. Tratando la bolita como una masa puntual, calcula la inercia rotacional del sistema respecto a ese eje.
Dos masas puntuales de $2.0$ kg y $3.0$ kg están fijas en una varilla ligera a $0.40$ m y $0.20$ m del eje de rotación, respectivamente. Están en lados opuestos del eje.…
Dos masas puntuales de $2.0$ kg y $3.0$ kg están fijas en una varilla ligera a $0.40$ m y $0.20$ m del eje de rotación, respectivamente. Están en lados opuestos del eje. Calcula la inercia rotacional total de las dos masas respecto al eje.
Cuatro masas puntuales idénticas de $0.25$ kg están en las esquinas de un cuadrado de lado $0.60$ m, sostenidas por un marco de masa despreciable. Calcula la inercia…
Cuatro masas puntuales idénticas de $0.25$ kg están en las esquinas de un cuadrado de lado $0.60$ m, sostenidas por un marco de masa despreciable. Calcula la inercia rotacional del sistema respecto a un eje perpendicular al cuadrado que pasa por su centro. (Pista solo de geometría: la distancia del centro a una esquina es la mitad de la diagonal.)
Objetos extendidos y el teorema de los ejes paralelos
Un objeto sólido, como un disco o una varilla, es una enorme cantidad de masas puntuales. Sumarlas a mano es difícil, así que se usan valores ya conocidos para eje que pasa por el centro de masa:
| Objeto | Eje | $I$ |
|---|---|---|
| Masa puntual | a distancia $r$ | $mr^2$ |
| Aro delgado | central, perpendicular | $MR^2$ |
| Disco sólido | central, perpendicular | $\tfrac{1}{2}MR^2$ |
| Varilla delgada | por el centro, perpendicular | $\tfrac{1}{12}ML^2$ |
Observa que el aro tiene el doble de $I$ que el disco con la misma masa y radio: toda su masa está en el borde.
Si el eje no pasa por el centro de masa pero es paralelo a uno que sí pasa, se usa el teorema de los ejes paralelos:
Siempre se suma $Md^2$, así que el valor respecto al centro de masa es el mínimo de todos los ejes paralelos.
Una varilla delgada uniforme de masa $M = 1.2$ kg y longitud $L = 1.0$ m tiene inercia rotacional $I = \tfrac{1}{12}ML^2$ respecto a un eje que pasa por su centro,…
Una varilla delgada uniforme de masa $M = 1.2$ kg y longitud $L = 1.0$ m tiene inercia rotacional $I = \tfrac{1}{12}ML^2$ respecto a un eje que pasa por su centro, perpendicular a la varilla. Usa el teorema de los ejes paralelos para calcular la inercia rotacional respecto a un eje paralelo que pasa por un extremo. Luego indica cuántas veces mayor es que el valor en el centro.
Sofia tiene dos discos con la misma masa de $2.0$ kg y el mismo radio de $0.30$ m. El disco A es un disco sólido uniforme con $I = \tfrac{1}{2}MR^2$. El disco B tiene…
Sofia tiene dos discos con la misma masa de $2.0$ kg y el mismo radio de $0.30$ m. El disco A es un disco sólido uniforme con $I = \tfrac{1}{2}MR^2$. El disco B tiene toda su masa concentrada en un aro delgado en el borde, con $I = MR^2$. (a) Calcula $I$ para cada disco respecto a su eje central. (b) Explica cuál es más difícil de poner a girar y por qué, en términos de la distribución de la masa.
Por qué importa: $\tau_{net} = I\alpha$
La inercia rotacional es el análogo de la masa en la segunda ley de Newton para rotación:
$$\tau_{net} = I\alpha \qquad\Rightarrow\qquad \alpha = \frac{\tau_{net}}{I}$$Con el mismo torque, un objeto con $I$ grande tiene aceleración angular pequeña, y uno con $I$ pequeña acelera mucho más. Esto es igual que $a = F_{net}/m$.
Una estudiante construye una mancuerna con dos masas casi puntuales de $1.0$ kg en los extremos de una varilla ligera de $0.60$ m de longitud. Considera dos ejes, ambos…
Una estudiante construye una mancuerna con dos masas casi puntuales de $1.0$ kg en los extremos de una varilla ligera de $0.60$ m de longitud. Considera dos ejes, ambos perpendiculares a la varilla: el eje 1 pasa por el centro de la varilla y el eje 2 pasa por una de las masas. (a) Calcula la inercia rotacional respecto a cada eje. (b) Con el mismo torque aplicado de $0.50$ N$\cdot$m, calcula la aceleración angular para cada eje. (c) Explica, usando la distribución de la masa, por qué los resultados difieren, y verifica que tu valor para el eje 2 es consistente con el teorema de los ejes paralelos.
Una patinadora artística gira con los brazos extendidos. Modélala como un cilindro central de masa $50$ kg y radio $0.20$ m con $I = \tfrac{1}{2}MR^2$, más dos brazos,…
Una patinadora artística gira con los brazos extendidos. Modélala como un cilindro central de masa $50$ kg y radio $0.20$ m con $I = \tfrac{1}{2}MR^2$, más dos brazos, cada uno una masa puntual de $4.0$ kg ubicada a $0.80$ m del eje. Luego recoge los brazos de modo que cada uno queda a $0.20$ m del eje. (a) Calcula su inercia rotacional total en cada configuración. (b) Calcula la razón entre los dos valores. (c) Explica, sin usar ecuaciones de momento angular, por qué es más fácil lograr una gran aceleración angular con los brazos recogidos cuando actúa un torque dado.
Vuelve al principio: en el carrusel, con los niños en el borde, $r$ es grande y $I = \sum mr^2$ es grande. Con el mismo empujón (torque), $\alpha = \tau/I$ es pequeña y cuesta ponerlo a girar.
Resumen
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La inercia rotacional $I$ mide la resistencia a cambiar la rotación respecto a un eje; se mide en $\text{kg}\cdot\text{m}^2$.
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Depende de la masa y de cómo está distribuida respecto al eje (y cambia con el eje elegido).
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Masas puntuales: $I = \sum m_i r_i^2$, con $r$ la distancia perpendicular al eje.
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Objetos extendidos: disco $\tfrac{1}{2}MR^2$, aro $MR^2$, varilla por el centro $\tfrac{1}{12}ML^2$.
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Ejes paralelos: $I = I_{cm} + Md^2$.
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$\tau_{net} = I\alpha$: con el mismo torque, mayor $I$ implica menor $\alpha$.