Variables cinemáticas vectoriales

Un dron de reparto se encuentra en el punto de coordenadas $(4, 3)$ de un mapa, con las distancias en metros. La figura muestra el punto y su vector de posición.

1. a) Escribe su vector de posición $\vec{r}$ en función de los vectores unitarios $\vec{i}$ y $\vec{j}$.
2. b) Calcula el módulo de $\vec{r}$ y explica qué representa físicamente.

Un atleta da exactamente una vuelta a una pista y regresa al punto de salida tras recorrer $400\ \text{m}$.

1. a) ¿Cuánto vale su desplazamiento?
2. b) ¿Cuánto vale la distancia que ha recorrido?
3. c) Explica con tus palabras la diferencia entre la distancia recorrida y el desplazamiento.

Un robot de un almacén automatizado pasa de la posición $\vec{r}_1 = 2\,\vec{i} + \vec{j}$ a la posición $\vec{r}_2 = 8\,\vec{i} + 9\,\vec{j}$, con las posiciones en metros. La figura representa ambas posiciones y el desplazamiento entre ellas.

1. a) Calcula el vector desplazamiento $\Delta\vec{r} = \vec{r}_2 - \vec{r}_1$.
2. b) Calcula su módulo.

Una estación meteorológica mide la velocidad del viento como $\vec{v} = 12\,\vec{i} - 5\,\vec{j}\ \text{m/s}$, donde el eje $x$ apunta al este y el eje $y$ al norte. La figura muestra el vector velocidad del viento y sus componentes.

1. a) Calcula el módulo de la velocidad del viento.
2. b) Calcula el ángulo que forma con el semieje $x$ positivo y describe con palabras hacia dónde sopla el viento.

Un repartidor en bicicleta va del local a una casa y vuelve al local por el mismo camino.

1. a) ¿Cuánto vale su desplazamiento total?
2. b) ¿Cuánto vale su velocidad media en todo el trayecto?
3. c) ¿Es cero también su rapidez media? Razona la respuesta y explica la diferencia entre velocidad media y rapidez media.

Un senderista sale del refugio y se desplaza $1.2\ \text{km}$ hacia el este y después $1.6\ \text{km}$ hacia el norte, en un tiempo total de $0.5\ \text{h}$. El esquema muestra el recorrido del senderista.

1. a) Calcula el módulo de su desplazamiento total.
2. b) Escribe su velocidad media vectorial en $\text{km/h}$ y calcula su módulo.
3. c) Calcula el ángulo que forma su desplazamiento con la dirección este.

Una patinadora se mueve en línea recta y se desplaza $20\ \text{m}$ en la dirección del eje $x$ en $4\ \text{s}$.

1. a) Escribe su vector desplazamiento en función del vector unitario $\vec{i}$.
2. b) Calcula su velocidad media $\vec{v}_m$ como vector, recordando que $\vec{v}_m = \frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t}$.

El desplazamiento de un corredor de orientación entre dos balizas es $\Delta\vec{r} = 30\,\vec{i} - 40\,\vec{j}$, en metros, y lo completa en $10\ \text{s}$.

1. a) Calcula su velocidad media vectorial.
2. b) Calcula el módulo de esa velocidad media.

Un robot de limpieza de un centro comercial está en la posición $\vec{r}_1 = \vec{i} + \vec{j}$ cuando $t = 0$ y en la posición $\vec{r}_2 = 7\,\vec{i} + 9\,\vec{j}$ cuando $t = 2\ \text{s}$, con las posiciones en metros.

1. a) Calcula el vector desplazamiento y su módulo.
2. b) Calcula la velocidad media vectorial y su módulo.

Una motocicleta en línea recta pasa de $\vec{v}_1 = 5\,\vec{i}\ \text{m/s}$ a $\vec{v}_2 = 20\,\vec{i}\ \text{m/s}$ en $5\ \text{s}$. Los vectores velocidad inicial y final se muestran en la figura.

1. a) Calcula el incremento de velocidad $\Delta\vec{v} = \vec{v}_2 - \vec{v}_1$.
2. b) Calcula su aceleración media $\vec{a}_m = \frac{\Delta\vec{v}}{\Delta t}$.
3. c) Explica qué significa el resultado: ¿cuánto varía su velocidad cada segundo?

Un avión en maniobras pasa de $\vec{v}_1 = 2\,\vec{i} + 3\,\vec{j}\ \text{m/s}$ a $\vec{v}_2 = 8\,\vec{i} + 9\,\vec{j}\ \text{m/s}$ en $2\ \text{s}$. La figura representa ambos vectores velocidad.

1. a) Calcula el incremento de velocidad $\Delta\vec{v}$.
2. b) Calcula la aceleración media vectorial y su módulo.

Un carro entra en una rotonda con velocidad $\vec{v}_1 = 12\,\vec{i}\ \text{m/s}$ y sale de ella con $\vec{v}_2 = 12\,\vec{j}\ \text{m/s}$ tras $3\ \text{s}$. La figura muestra la trayectoria en la rotonda y ambos vectores velocidad.

1. a) Comprueba que el módulo de la velocidad no ha cambiado.
2. b) Calcula el incremento de velocidad $\Delta\vec{v}$ y su módulo.
3. c) Calcula la aceleración media vectorial y su módulo.
4. d) Explica por qué existe aceleración si la rapidez se ha mantenido constante.

La posición de un carrito de laboratorio viene dada, en unidades del Sistema Internacional, por $\vec{r}(t) = 3t\,\vec{i} + 2\,\vec{j}$.

1. a) ¿Cuál es su posición inicial?
2. b) Calcula su posición cuando $t = 4\ \text{s}$.
3. c) Razona por qué la trayectoria es una recta horizontal: fíjate en qué ocurre con la coordenada $y$.

La posición de una lancha teledirigida en un estanque es, en unidades del Sistema Internacional, $\vec{r}(t) = 2t\,\vec{i} + t^2\,\vec{j}$. La trayectoria y ambas posiciones se muestran en la figura.

1. a) Calcula las posiciones en los instantes $t_1 = 1\ \text{s}$ y $t_2 = 3\ \text{s}$.
2. b) Calcula el desplazamiento entre esos instantes y su módulo.
3. c) Calcula la velocidad media en ese intervalo y su módulo.

Una partícula se mueve según $\vec{r}(t) = 2t\,\vec{i} + t^2\,\vec{j}$, en unidades del Sistema Internacional.

1. a) Escribe las ecuaciones paramétricas $x(t)$ e $y(t)$.
2. b) Elimina el tiempo y obtén la ecuación de la trayectoria $y(x)$. ¿Qué tipo de curva es?
3. c) Comprueba si la partícula pasa por el punto $(6, 9)$, en metros, y, en caso afirmativo, indica en qué instante lo hace.