Energía cinética rotacional y rodamiento
Jayden suelta una lata llena de sopa y otra lata vacía y ligera en lo alto de una rampa del gimnasio de la escuela. Las dos ruedan sin deslizar. ¿Llegan juntas a la base? Para responder necesitas saber que un objeto que rueda guarda energía de dos maneras a la vez.
Energía cinética rotacional
Un volante que gira no cambia de lugar, pero sus partículas sí se mueven. Cada pedacito de masa $m_i$ a una distancia $r_i$ del eje tiene rapidez $v_i = r_i\omega$, así que su energía cinética es $\tfrac{1}{2}m_i r_i^2\omega^2$. Al sumar todos los pedacitos:
$$K_{rot} = \tfrac{1}{2}I\omega^2, \qquad I = \sum m_i r_i^2$$Fíjate en la analogía: $K = \tfrac{1}{2}mv^2$ se convierte en $K_{rot} = \tfrac{1}{2}I\omega^2$ si cambias masa por inercia rotacional y rapidez por velocidad angular.
Un volante tiene inercia rotacional de $0.40$ kg$\cdot$m$^2$ y gira a $30$ rad/s. Calcula su energía cinética rotacional.
Un volante tiene inercia rotacional de $0.40$ kg$\cdot$m$^2$ y gira a $30$ rad/s. Calcula su energía cinética rotacional.
Rodar sin deslizar
Una rueda que rueda sin deslizar avanza exactamente la longitud de arco que gira. Por eso el centro de masa y el borde están ligados:
$$v_{cm} = \omega R$$Si la rueda gira una vuelta ($2\pi$ rad), el centro avanza $2\pi R$. Esta es la misma relación $v = r\omega$ del movimiento circular, aplicada al borde de la rueda respecto del centro.
Una rueda de radio $0.25$ m rueda sin deslizar. Escribe la relación entre la rapidez $v$ de su centro de masa y su velocidad angular $\omega$. Luego calcula $\omega$…
Una rueda de radio $0.25$ m rueda sin deslizar. Escribe la relación entre la rapidez $v$ de su centro de masa y su velocidad angular $\omega$. Luego calcula $\omega$ cuando $v = 5.0$ m/s.
Energía total de un objeto que rueda
Un objeto que rueda sin deslizar hace dos cosas: su centro de masa se traslada y el objeto gira alrededor de él. Tiene dos energías cinéticas:
Una esfera sólida de masa $2.0$ kg rueda sin deslizar sobre un piso plano con una rapidez del centro de masa de $3.0$ m/s. Identifica los dos tipos de energía cinética…
Una esfera sólida de masa $2.0$ kg rueda sin deslizar sobre un piso plano con una rapidez del centro de masa de $3.0$ m/s. Identifica los dos tipos de energía cinética que tiene la esfera y calcula su energía cinética de traslación.
Un aro de masa $1.5$ kg y radio $0.40$ m rueda sin deslizar con rapidez del centro de masa de $4.0$ m/s. Para un aro, $I = MR^2$. Calcula (a) la energía cinética de…
Un aro de masa $1.5$ kg y radio $0.40$ m rueda sin deslizar con rapidez del centro de masa de $4.0$ m/s. Para un aro, $I = MR^2$. Calcula (a) la energía cinética de traslación, (b) la energía cinética rotacional y (c) la energía cinética total.
Rodar por una rampa
Al bajar una altura $h$, el objeto pierde $Mgh$ de energía potencial. Esa energía se reparte entre traslación y rotación. Si rueda sin deslizar, la fricción estática no disipa energía, porque el punto de contacto está momentáneamente en reposo. Entonces se conserva la energía mecánica:
$$Mgh = \tfrac{1}{2}Mv^2 + \tfrac{1}{2}I\dfrac{v^2}{R^2}$$Si escribimos $I = cMR^2$, la masa y el radio se cancelan:
$$v = \sqrt{\dfrac{2gh}{1 + c}}$$| Objeto | $c$ | $v$ |
|---|---|---|
| Bloque que se desliza (sin fricción) | sin rotación | $\sqrt{2gh}$ |
| Esfera sólida | $2/5$ | $\sqrt{10gh/7}$ |
| Disco sólido | $1/2$ | $\sqrt{4gh/3}$ |
| Aro | $1$ | $\sqrt{gh}$ |
Así se responde el gancho: el objeto con menor $c$ (más masa cerca del eje) guarda menos energía en rotación, así que le queda más para trasladarse y llega primero. Un cilindro sólido le gana a un cilindro hueco de pared delgada, y ninguno depende de su masa ni de su radio. (Una lata de sopa no es un cilindro sólido uniforme, porque el líquido no gira con el envase; por eso su caso es más complicado.)
Un disco sólido uniforme de masa $3.0$ kg y radio $0.20$ m, con $I = \tfrac{1}{2}MR^2$, se suelta desde el reposo y rueda sin deslizar por una rampa, descendiendo una…
Un disco sólido uniforme de masa $3.0$ kg y radio $0.20$ m, con $I = \tfrac{1}{2}MR^2$, se suelta desde el reposo y rueda sin deslizar por una rampa, descendiendo una altura vertical de $0.60$ m. Usa la conservación de la energía con $g = 9.8$ m/s$^2$ para calcular la rapidez de su centro de masa al final.
Jayden suelta desde el reposo un disco sólido ($I = \tfrac{1}{2}MR^2$) y un aro delgado ($I = MR^2$) en la parte superior de la misma rampa, a una altura vertical de…
Jayden suelta desde el reposo un disco sólido ($I = \tfrac{1}{2}MR^2$) y un aro delgado ($I = MR^2$) en la parte superior de la misma rampa, a una altura vertical de $h = 0.80$ m sobre la base. Ambos tienen la misma masa y el mismo radio y ruedan sin deslizar. (a) Deduce una expresión para la rapidez del centro de masa de cada objeto al final en términos de $g$ y $h$, y calcula ambos valores con $g = 9.8$ m/s$^2$. (b) Determina cuál objeto llega primero a la base y explica por qué, en términos de cómo se reparte la energía entre traslación y rotación. (c) Indica si el resultado depende de la masa o del radio de los objetos.
Una esfera sólida uniforme ($I = \tfrac{2}{5}MR^2$) de masa $0.50$ kg y radio $0.05$ m rueda sin deslizar por una pista horizontal a $2.0$ m/s y luego sube por una…
Una esfera sólida uniforme ($I = \tfrac{2}{5}MR^2$) de masa $0.50$ kg y radio $0.05$ m rueda sin deslizar por una pista horizontal a $2.0$ m/s y luego sube por una rampa. Supón que no se pierde energía. (a) Calcula la energía cinética total de la esfera en la pista horizontal y la fracción que es rotacional. (b) Calcula la altura vertical máxima que alcanza la esfera en la rampa, usando $g = 9.8$ m/s$^2$. (c) Compara esta altura con la que alcanzaría un bloque que se desliza sobre una rampa sin fricción con la misma rapidez inicial, y explica la diferencia.
Trabajo y potencia en la rotación
Si un motor acelera un volante desde el reposo y no hay fricción, el teorema trabajo-energía dice que el trabajo neto es el cambio de energía cinética rotacional:
$$W_{net} = \Delta K_{rot} = \tfrac{1}{2}I\omega_f^2 - \tfrac{1}{2}I\omega_i^2$$La potencia promedio es $P = W/\Delta t$.
Un motor hace girar un volante de inercia rotacional $0.80$ kg$\cdot$m$^2$ desde el reposo hasta $50$ rad/s. (a) Calcula el trabajo que el motor realiza sobre el…
Un motor hace girar un volante de inercia rotacional $0.80$ kg$\cdot$m$^2$ desde el reposo hasta $50$ rad/s. (a) Calcula el trabajo que el motor realiza sobre el volante, suponiendo que no hay pérdidas por fricción. (b) Si esto tomó $4.0$ s, calcula la potencia promedio entregada.
Resumen
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Un objeto que gira tiene $K_{rot} = \tfrac{1}{2}I\omega^2$, con $\omega$ en rad/s.
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Si rueda sin deslizar, $v_{cm} = \omega R$.
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Su energía total es $K_{total} = \tfrac{1}{2}Mv_{cm}^2 + \tfrac{1}{2}I\omega^2$.
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Al bajar una rampa, $Mgh$ se reparte entre traslación y rotación; con $I = cMR^2$, $v = \sqrt{2gh/(1+c)}$, sin depender de $M$ ni de $R$.
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El trabajo neto sobre un cuerpo que gira es $\Delta K_{rot}$, y $P = W/\Delta t$.