La ecuación de Bernoulli
Cuando una manguera de jardín se estrecha con el dedo, el agua sale disparada mucho más rápido. Pero ¿qué pasa con la presión dentro del agua en ese punto? Parece que debería subir, y sin embargo es lo contrario. La ecuación de Bernoulli te lo explica, y al final de esta página volveremos a la manguera.
De dónde sale la ecuación
La ecuación de Bernoulli no es una ley nueva: es la conservación de la energía aplicada a un fluido que se mueve. Piensa en una pequeña porción de agua de volumen $V$ que viaja por una tubería. Cuando pasa de un punto 1 a un punto 2, el trabajo neto que hace el fluido a su alrededor cambia su energía cinética y su energía potencial gravitatoria.
Si dividimos todas las energías entre el volumen, obtenemos energía por unidad de volumen, que tiene unidades de $\text{J/m}^3 = \text{Pa}$. Por eso todos los términos de la ecuación son "presiones".
Cada término tiene un significado:
| Término | Significado | Unidades |
|---|---|---|
| $P$ | presión del fluido (trabajo por unidad de volumen que hace el fluido vecino) | Pa |
| $\rho g y$ | energía potencial gravitatoria por unidad de volumen | Pa |
| $\tfrac{1}{2}\rho v^2$ | energía cinética por unidad de volumen | Pa |
Aquí $\rho$ es la densidad del fluido (para el agua, $1.00\times10^{3}\ \text{kg/m}^3$), $g = 9.8\ \text{m/s}^2$ e $y$ es la altura sobre un nivel de referencia que tú eliges.
Escribe la ecuación de Bernoulli para un fluido ideal que fluye entre dos puntos 1 y 2. Identifica qué término se relaciona con la presión, cuál con la energía cinética…
Escribe la ecuación de Bernoulli para un fluido ideal que fluye entre dos puntos 1 y 2. Identifica qué término se relaciona con la presión, cuál con la energía cinética por unidad de volumen y cuál con la energía potencial gravitatoria por unidad de volumen.
Más rápido, menos presión
Mira una tubería horizontal que se estrecha. Por continuidad ($A_1v_1 = A_2v_2$), el agua va más rápido en el tramo estrecho. Como la tubería es horizontal, $y_1 = y_2$ y los términos $\rho g y$ se cancelan:
$$P_1 + \tfrac{1}{2}\rho v_1^2 = P_2 + \tfrac{1}{2}\rho v_2^2$$Si $v_2 > v_1$, el término cinético crece, así que $P_2$ tiene que ser menor. La energía cinética extra sale de la presión: como la presión es mayor en el tramo ancho que en el estrecho, la fuerza neta sobre el agua apunta hacia delante y la acelera al entrar en el estrechamiento.
Ya podemos cerrar el gancho: al apretar la manguera con el dedo, la sección se estrecha y, por continuidad ($A_1v_1 = A_2v_2$), el agua sale con mayor rapidez. Dentro de la manguera, la presión en la parte estrecha es menor que en el tramo ancho, antes del estrechamiento. El chorro, una vez fuera, está a presión atmosférica. La rapidez sube a costa de la presión que había en el tramo ancho.
El agua fluye por una tubería horizontal que se estrecha. En comparación con el tramo ancho, ¿la presión en el tramo estrecho es mayor, menor o igual? Explica en una o…
El agua fluye por una tubería horizontal que se estrecha. En comparación con el tramo ancho, ¿la presión en el tramo estrecho es mayor, menor o igual? Explica en una o dos oraciones usando la ecuación de Bernoulli.
El agua fluye por una tubería horizontal. En el punto 1 la presión es $1.50\times10^{5}\ \text{Pa}$ y la rapidez es $2.0\ \text{m/s}$. En el punto 2 la rapidez es…
El agua fluye por una tubería horizontal. En el punto 1 la presión es $1.50\times10^{5}\ \text{Pa}$ y la rapidez es $2.0\ \text{m/s}$. En el punto 2 la rapidez es $4.0\ \text{m/s}$. Calcula la presión en el punto 2.
Bernoulli con cambios de altura
Cuando la tubería sube o baja, entra en juego el término $\rho g y$. Con la misma rapidez en ambos puntos, Bernoulli se reduce a:
$$P_1 + \rho g y_1 = P_2 + \rho g y_2$$Es la presión hidrostática de siempre: subir una altura $\Delta y$ cuesta una presión $\rho g \Delta y$. Con presión manométrica (gauge) puedes usar la misma ecuación, siempre que uses el mismo tipo de presión en los dos puntos.
El agua fluye por una tubería que asciende. En el punto inferior la presión manométrica es $2.0\times10^{5}\ \text{Pa}$, la rapidez es $1.0\ \text{m/s}$ y la altura es…
El agua fluye por una tubería que asciende. En el punto inferior la presión manométrica es $2.0\times10^{5}\ \text{Pa}$, la rapidez es $1.0\ \text{m/s}$ y la altura es $0$. En el punto superior la altura es $5.0\ \text{m}$ y la rapidez sigue siendo $1.0\ \text{m/s}$. Calcula la presión manométrica en el punto superior.
Tanques y chorros: la rapidez de salida
Un tanque grande y abierto tiene un orificio pequeño a una profundidad $h$ bajo la superficie. Elegimos dos puntos: 1 en la superficie y 2 en la salida. Ambos están abiertos a la atmósfera, así que $P_1 = P_2 = P_0$. La superficie baja tan despacio que $v_1 \approx 0$.
$$P_0 + \rho g h = P_0 + \tfrac{1}{2}\rho v_2^2 \quad\Rightarrow\quad v_2 = \sqrt{2gh}$$Es la misma rapidez que tendría una piedra al caer una altura $h$ (teorema de Torricelli). La densidad se cancela, y el área del orificio no aparece: el tamaño del orificio cambia cuánta agua sale por segundo ($Q = Av$), pero no la rapidez de cada porción de agua.
También podemos combinar ideas: si el agua sale por una tubería que sube, la altura final cuenta.
Un tanque grande de agua abierto en Houston tiene un orificio pequeño a $3.0\ \text{m}$ por debajo de la superficie del agua. El tanque está abierto a la atmósfera y la…
Un tanque grande de agua abierto en Houston tiene un orificio pequeño a $3.0\ \text{m}$ por debajo de la superficie del agua. El tanque está abierto a la atmósfera y la superficie es lo bastante grande como para que su rapidez de descenso sea despreciable.
(a) Usa la ecuación de Bernoulli para calcular la rapidez con que sale el agua por el orificio.
(b) Explica por qué la respuesta no depende del tamaño del orificio, siempre que sea pequeño.
Continuidad y Bernoulli juntas
En problemas de tuberías con estrechamientos usamos dos ecuaciones: continuidad, $A_1v_1 = A_2v_2$ (que da las rapideces), y Bernoulli (que da las presiones).
La continuidad dice que el flujo volumétrico (volume flow rate) $Q = Av$ (en $\text{m}^3/\text{s}$) es el mismo en todos los tramos. Si te dan $Q$, la rapidez en cada tramo es $v = Q/A$. Usa siempre presión absoluta en ambos lados o manométrica en ambos lados.
El agua fluye por una tubería horizontal. Un tramo ancho tiene un área transversal de $0.030\ \text{m}^2$ y una rapidez de $1.0\ \text{m/s}$. La tubería se estrecha…
El agua fluye por una tubería horizontal. Un tramo ancho tiene un área transversal de $0.030\ \text{m}^2$ y una rapidez de $1.0\ \text{m/s}$. La tubería se estrecha hasta un área de $0.010\ \text{m}^2$.
(a) Calcula la rapidez en el tramo estrecho.
(b) Calcula la diferencia de presión entre el tramo ancho y el estrecho.
Una tubería horizontal lleva agua. En el tramo ancho el área transversal es $4.0\times10^{-3}\ \text{m}^2$ y la presión absoluta es $1.80\times10^{5}\ \text{Pa}$. En el…
Una tubería horizontal lleva agua. En el tramo ancho el área transversal es $4.0\times10^{-3}\ \text{m}^2$ y la presión absoluta es $1.80\times10^{5}\ \text{Pa}$. En el tramo estrecho el área es $1.0\times10^{-3}\ \text{m}^2$. El flujo volumétrico es $8.0\times10^{-3}\ \text{m}^3/\text{s}$.
(a) Calcula la rapidez del agua en cada tramo.
(b) Calcula la presión absoluta en el tramo estrecho.
(c) Describe qué pasaría con la presión en el tramo estrecho si se duplicara el flujo volumétrico, e indica si la presión podría bajar físicamente de cero en una tubería real. Justifica tu respuesta.
El agua fluye desde un tanque grande y abierto por una tubería que primero corre en horizontal a la altura del fondo del tanque y luego asciende. La superficie del agua…
El agua fluye desde un tanque grande y abierto por una tubería que primero corre en horizontal a la altura del fondo del tanque y luego asciende. La superficie del agua del tanque está $6.0\ \text{m}$ por encima de la tubería horizontal. El tanque está abierto a la atmósfera y la rapidez de su superficie es despreciable. El agua sale por el extremo de la tubería, abierto a la atmósfera, en un punto $2.0\ \text{m}$ por encima del tramo horizontal.
(a) Calcula la rapidez con que sale el agua por el extremo de la tubería.
(b) La tubería tiene la misma área transversal en todos sus puntos. Calcula la presión manométrica en el tramo horizontal.
(c) Explica por qué la presión manométrica en la parte alta de la tubería ascendente es menor que en el tramo horizontal, aunque la rapidez sea la misma.
Resumen
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Bernoulli es conservación de la energía por unidad de volumen: $P + \rho g y + \tfrac{1}{2}\rho v^2 = \text{constante}$.
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Vale para fluido ideal (incompresible, sin viscosidad) en flujo estacionario, a lo largo de una línea de corriente.
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En un tramo horizontal, mayor rapidez significa menor presión.
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Subir en altura baja la presión; en un tanque abierto, $v = \sqrt{2gh}$ con $h$ la diferencia de altura entre la superficie y la salida.
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Para tuberías con estrechamientos: continuidad da $v$, Bernoulli da $P$. Usa el mismo tipo de presión en ambos puntos.