La energía en el movimiento oscilatorio

Una masa oscila horizontalmente unida a un resorte, sin fricción, entre las posiciones $x = -A$ y $x = +A$. La figura muestra el oscilador con esas posiciones marcadas.

1. a) ¿En qué posición o posiciones es máxima la energía potencial elástica?
2. b) ¿En qué posición es máxima la energía cinética?
3. c) ¿En qué posiciones la energía cinética es nula? Justifica tus respuestas con las fórmulas $E_p = \frac{1}{2} \times k \times x^2$ y $E_c = \frac{1}{2} \times m \times v^2$.

Las poleas y el arco de un arco de tiro deportivo se comportan en conjunto como un resorte de constante equivalente $k = 300\ \text{N/m}$. Al tensarlo, la cuerda se desplaza $x = 0.1\ \text{m}$. Calcula la energía potencial elástica almacenada, $E_p = \frac{1}{2} \times k \times x^2$.

El resorte del lanzador de un pinball tiene una constante elástica $k = 100\ \text{N/m}$. La figura muestra cómo crece la energía potencial elástica con la compresión.

1. a) Calcula la energía potencial elástica almacenada cuando se comprime $0.1\ \text{m}$ y cuando se comprime $0.2\ \text{m}$.
2. b) ¿Qué energía adicional hay que aportar para pasar de una compresión a la otra?
3. c) ¿Por qué no es correcto decir que «el doble de compresión es el doble de energía»? Razona con la fórmula.

La energía mecánica de un oscilador masa-resorte es $E_m = \frac{1}{2} \times k \times A^2$, donde $A$ es la amplitud. En el laboratorio, un oscilador tiene $k = 200\ \text{N/m}$ y oscila con amplitud $A = 0.05\ \text{m}$. Calcula su energía mecánica.

El vibrador de un teléfono celular almacena una energía mecánica de $2\ \text{J}$ mientras oscila.

1. a) ¿Cuánto vale su energía cinética máxima? ¿En qué posición se alcanza?
2. b) ¿Cuánto vale su energía potencial elástica máxima? ¿En qué posiciones se alcanza?
3. c) ¿Qué relación hay entre esos dos valores y la energía mecánica? Justifícalo.

La membrana de un altavoz se puede modelar como un oscilador masa-resorte de masa $m = 0.4\ \text{kg}$ y constante elástica efectiva $k = 250\ \text{N/m}$, que vibra con amplitud $A = 0.08\ \text{m}$.

1. a) Calcula la energía mecánica de la vibración.
2. b) Toda esa energía es cinética al pasar por el equilibrio: calcula la velocidad máxima de la membrana.
3. c) Comprueba que coincide con el valor que da la expresión $v_{max} = A \times \sqrt{\frac{k}{m}}$.

Un oscilador de $m = 1\ \text{kg}$ y $k = 100\ \text{N/m}$ oscila primero con amplitud $A = 0.1\ \text{m}$ y después con amplitud $A' = 0.2\ \text{m}$.

1. a) Calcula la energía mecánica en cada caso y su cociente $\frac{E_m'}{E_m}$.
2. b) Calcula la velocidad máxima en cada caso y su cociente $\frac{v_{max}'}{v_{max}}$.
3. c) Generaliza el resultado: si la amplitud se multiplica por un factor $n$, ¿por qué factor se multiplican la energía mecánica y la velocidad máxima? Justifícalo con las fórmulas.

Un oscilador masa-resorte tiene una energía mecánica constante $E_m$.

1. a) Describe cómo varía la energía potencial elástica $E_p = \frac{1}{2} \times k \times x^2$ con la posición: ¿qué forma tiene su gráfica frente a $x$ entre $-A$ y $+A$?
2. b) La energía cinética en cada punto es $E_c = E_m - E_p$. Describe cómo varía $E_c$ con la posición.
3. c) ¿Qué representa el punto donde se cruzan las gráficas de $E_c$ y $E_p$? Dibuja en tu cuaderno las tres gráficas ($E_p$, $E_c$ y $E_m$) frente a la posición.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Un carro de $m = 0.5\ \text{kg}$ oscila sobre una mesa sin fricción unido a un resorte de $k = 400\ \text{N/m}$, con amplitud $A = 0.1\ \text{m}$. La figura muestra cómo se reparte la energía del oscilador en función de la posición.

1. a) Calcula la energía mecánica del oscilador, $E_m = \frac{1}{2} \times k \times A^2$.
2. b) Calcula la energía potencial elástica cuando la elongación es $x = 0.06\ \text{m}$.
3. c) Calcula la energía cinética en ese mismo punto y, a partir de ella, la velocidad del carro.

Un oscilador masa-resorte oscila con amplitud $A = 0.1\ \text{m}$. Se quiere encontrar la posición donde la energía cinética y la energía potencial elástica son iguales.

1. a) Plantea la condición $E_c = E_p$ teniendo en cuenta que $E_c + E_p = \frac{1}{2} \times k \times A^2$, y demuestra que en ese punto $E_p = \frac{1}{4} \times k \times A^2$.
2. b) Despeja la elongación y calcula su valor numérico.
3. c) Comprueba que el resultado es menor que la amplitud: ¿es razonable?

Un oscilador masa-resorte tiene $k = 100\ \text{N/m}$ y oscila con amplitud $A = 0.1\ \text{m}$.

1. a) Calcula la energía mecánica y la energía potencial elástica en los puntos $x = 0$, $x = 0.05\ \text{m}$ y $x = 0.1\ \text{m}$.
2. b) Calcula la energía cinética en esos mismos tres puntos.
3. c) Con esos valores, dibuja en tu cuaderno las gráficas de $E_p(x)$, $E_c(x)$ y $E_m(x)$ entre $-A$ y $+A$ y descríbelas: forma de cada curva, puntos de corte con los ejes y punto de cruce entre $E_p$ y $E_c$.
4. d) Calcula la posición exacta donde las gráficas de $E_p$ y $E_c$ se cruzan.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Un oscilador de $m = 0.2\ \text{kg}$ y $k = 50\ \text{N/m}$ oscila con amplitud $A = 0.2\ \text{m}$.

1. a) Calcula su energía mecánica.
2. b) Calcula la energía potencial, la energía cinética y la velocidad cuando la elongación es $x = 0.16\ \text{m}$.
3. c) Demuestra, usando $E_c = \frac{1}{2} \times k \times (A^2 - x^2)$, que la velocidad es la mitad de la máxima cuando $x = A \times \frac{\sqrt{3}}{2}$, y calcula esa posición.

En un oscilador armónico se mide que, cuando la elongación vale $x = \frac{A}{2}$, la energía cinética es de $6\ \text{J}$.

1. a) Demuestra que en ese punto la energía potencial elástica vale la cuarta parte de la energía mecánica, es decir, $E_p = \frac{E_m}{4}$.
2. b) A partir de la medida, calcula la energía mecánica del oscilador.
3. c) Calcula la energía cinética al pasar por el equilibrio y la energía potencial en los extremos.

En una cuna de Newton (el péndulo de bolas de acero de las oficinas), una bola de $m = 0.3\ \text{kg}$ se eleva $h = 0.2\ \text{m}$ sobre su punto más bajo antes de soltarla (toma $g = 10\ \text{m/s}^2$). La figura muestra la bola elevada, a punto de soltarse.

1. a) Calcula su energía potencial gravitatoria respecto al punto más bajo, $E_p = m \times g \times h$.
2. b) ¿En qué se transformará esa energía al soltar la bola? ¿Cuánto valdrá la energía cinética al pasar por el punto más bajo?

Una gimnasta salta sobre una cama elástica y oscila verticalmente, sin perder contacto con la lona, entre un punto más alto y un punto más bajo.

1. a) ¿En qué punto de la oscilación es máxima su energía potencial gravitatoria?
2. b) ¿En qué punto es máxima la energía potencial elástica almacenada por la lona?
3. c) ¿Dónde es máxima su energía cinética? Justifica las tres respuestas por el intercambio de energías.

La bola de acero de una máquina de demolición cuelga de un cable de $l = 2\ \text{m}$ y se suelta desde el reposo cuando el cable forma un ángulo de $60^\circ$ con la vertical (toma $g = 9.8\ \text{m/s}^2$). La altura que desciende respecto al punto más bajo es $h = l \times (1 - \cos 60^\circ)$. La situación se muestra en la figura.

1. a) Calcula esa altura $h$.
2. b) Aplica la conservación de la energía, $m \times g \times h = \frac{1}{2} \times m \times v^2$, y calcula la velocidad de la bola al pasar por el punto más bajo.
3. c) ¿Depende esa velocidad de la masa de la bola? Justifícalo.

Una persona se balancea en una liana de $l = 2\ \text{m}$ y pasa por el punto más bajo a $3\ \text{m/s}$ (toma $g = 10\ \text{m/s}^2$). La figura muestra el balanceo.

1. a) Calcula la altura máxima que alcanza sobre el punto más bajo, aplicando $\frac{1}{2} \times m \times v^2 = m \times g \times h$.
2. b) La altura y el ángulo máximo $\theta$ con la vertical cumplen $h = l \times (1 - \cos\theta)$. Calcula el valor de $\cos\theta$ y deduce el ángulo máximo que alcanza la liana.

Un oscilador real con fricción pierde el $10\ \%$ de su energía mecánica en cada ciclo. Parte con una energía inicial $E_0 = 2\ \text{J}$. La figura muestra cómo decrece la amplitud de la oscilación con el tiempo.

1. a) Calcula la energía mecánica que le queda después de $5$ ciclos.
2. b) Teniendo en cuenta que $E_m = \frac{1}{2} \times k \times A^2$, es decir, que la energía es proporcional al cuadrado de la amplitud, calcula en qué factor se ha reducido la amplitud tras esos $5$ ciclos.
3. c) ¿En qué se ha transformado la energía perdida? Explica por qué el periodo de la oscilación, sin embargo, apenas cambia aunque la amplitud disminuya (pista: ¿de qué magnitudes depende $T$?).

Un péndulo de demostración de laboratorio tiene una longitud $l = 1\ \text{m}$ y se suelta desde el reposo formando $60^\circ$ con la vertical (toma $g = 9.8\ \text{m/s}^2$). Recuerda que la altura sobre el punto más bajo es $h = l \times (1 - \cos\theta)$. La figura muestra el péndulo en las tres posiciones consideradas.

1. a) Calcula la velocidad máxima que alcanza al pasar por el punto más bajo.
2. b) Calcula su velocidad cuando el hilo forma $30^\circ$ con la vertical, aplicando la conservación de la energía entre los puntos de $60^\circ$ y $30^\circ$.
3. c) Compara las dos velocidades: ¿por qué la velocidad a $30^\circ$ es más de la mitad de la máxima aunque el ángulo sea justo la mitad?

Una esfera de acero de $m = 2\ \text{kg}$ cuelga de una cuerda de $l = 2.5\ \text{m}$ y se suelta desde el reposo formando $30^\circ$ con la vertical (toma $g = 9.8\ \text{m/s}^2$; recuerda $h = l \times (1 - \cos\theta)$).

1. a) Calcula la energía mecánica del péndulo respecto al punto más bajo de la trayectoria.
2. b) Calcula la velocidad máxima al pasar por el punto más bajo.
3. c) Si la esfera tuviera el doble de masa y se soltara desde el mismo ángulo, ¿cómo cambiarían la energía mecánica y la velocidad máxima? Justifícalo con las fórmulas y explica por qué una de ellas no cambia.

Un juguete lanza verticalmente una bola de $m = 0.05\ \text{kg}$ mediante un resorte de constante $k = 500\ \text{N/m}$ que se comprime $x = 0.1\ \text{m}$ antes de soltarse (toma $g = 9.8\ \text{m/s}^2$). El lanzamiento se muestra en la figura.

1. a) Calcula la energía potencial elástica almacenada en el resorte comprimido.
2. b) Suponiendo que toda esa energía se convierte en energía cinética de la bola, calcula su velocidad de salida.
3. c) Calcula la altura máxima que alcanzará la bola, aplicando de nuevo la conservación de la energía.
4. d) El juguete real alcanza menos altura de la calculada. Menciona al menos dos causas energéticas que lo expliquen.

Reto del tema. ¿Se conserva la energía mecánica en un oscilador real? Analiza el comportamiento de un péndulo casero aplicando el movimiento armónico simple (MAS) y el balance energético.

1. Montaje y toma de datos: Cuelga un objeto pequeño y denso (unas llaves) de un hilo fino ($L \approx 0.70\text{ m}$). Sepáralo con un ángulo pequeño ($\theta \le 10^\circ$) para asegurar el régimen de MAS. Mide con el celular el tiempo de $10$ oscilaciones completas y repite $5$ veces para determinar el periodo con su incertidumbre ($T \pm \Delta T$). Registra la masa con una báscula de cocina ($m \pm \Delta m$). Anota también el ángulo inicial $\theta_0$ y calcula la amplitud $A = L\theta_0$ (con $\theta_0$ en radianes).

2. Cinemática del MAS: Calcula la frecuencia angular $\omega = 2\pi/T$ y escribe la ecuación de elongación $x(t) = A\cos(\omega t)$. Compara el periodo medido con el teórico ($T = 2\pi\sqrt{L/g}$, con $g = 9.80\text{ m/s}^2$) justificando las diferencias.

3. Energía y gráfica: Calcula la energía cinética máxima, $E_{c,\text{max}} = \frac{1}{2}m\omega^2 A^2$, y compárala con la potencial inicial. Elabora una tabla con $E_c(t)$, $E_p(t)$ y $E_m(t)$ en $8$ instantes de una oscilación y representa sus curvas en una misma gráfica.

4. Informe final: Mide (por ejemplo, grabando un video) la amplitud inicial y la amplitud tras $10$ oscilaciones, estima la pérdida de energía mecánica y entrega una propuesta razonada que explique las pérdidas observadas por rozamiento.

Se valorará:

• Rigor en la obtención experimental de medidas e incertidumbres.

• Corrección en las ecuaciones del MAS y el cálculo de energías.

• Calidad técnica de la tabla y la gráfica comparativa.

• Análisis crítico sobre la degradación de la energía mecánica.