Cinemática rotacional
Un carrusel en un parque de Denver empieza a girar. Un niño en el borde y otro cerca del centro dan la misma cantidad de vueltas por minuto, pero el del borde "siente" que va mucho más rápido. ¿Cómo describimos el giro con pocos números y por qué los dos puntos se mueven distinto? Vamos a verlo.
Ángulo, revoluciones y radianes
Para un objeto que gira, la posición se da con un ángulo θ medido desde una línea de referencia. El desplazamiento angular es Δθ = θ − θ₀. Igual que en el movimiento lineal, el signo indica el sentido: por convención, antihorario es positivo y horario es negativo.
El ángulo se puede medir de tres maneras:
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Grados: una vuelta completa = 360°.
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Revoluciones (rev): una vuelta completa = 1 rev.
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Radianes (rad): una vuelta completa = $2\pi$ rad.
Un radian es el ángulo que abarca un arco de longitud igual al radio. Por eso la longitud de arco es $s = r\theta$ cuando θ está en radianes.
Las conversiones que necesitas:
$$1\ \text{rev} = 2\pi\ \text{rad} = 360^\circ$$Una rueda de bicicleta da $12$ revoluciones completas mientras Emma va por su calle. Expresa el desplazamiento angular de la rueda en radianes. Da tu respuesta en…
Una rueda de bicicleta da $12$ revoluciones completas mientras Emma va por su calle. Expresa el desplazamiento angular de la rueda en radianes. Da tu respuesta en términos de $\pi$ y también como número decimal.
Velocidad y aceleración angular
La velocidad angular promedio es cuánto cambia el ángulo por unidad de tiempo:
$$\omega_{\text{prom}} = \frac{\Delta\theta}{\Delta t}$$Se mide en rad/s. Si el giro es constante, ω es igual en todo momento. Los aparatos suelen dar la rapidez en rev/min (rpm), así que hay que convertir:
$$\omega = 2\pi f, \qquad T = \frac{1}{f} = \frac{2\pi}{\omega}$$donde $f$ es la frecuencia (rev/s) y $T$ el período (tiempo de una vuelta).
La aceleración angular es cuánto cambia ω por unidad de tiempo:
$$\alpha = \frac{\Delta\omega}{\Delta t}$$Su unidad es rad/s². Igual que en el movimiento lineal: si α y ω tienen el mismo signo, el objeto gira cada vez más rápido; si tienen signos opuestos, frena.
Un disco de vinilo en un tocadiscos gira con rapidez constante de $33\tfrac{1}{3}$ revoluciones por minuto. Convierte esta rapidez a velocidad angular en rad/s y luego…
Un disco de vinilo en un tocadiscos gira con rapidez constante de $33\tfrac{1}{3}$ revoluciones por minuto. Convierte esta rapidez a velocidad angular en rad/s y luego calcula el tiempo que tarda el disco en completar una revolución.
Ecuaciones con aceleración angular constante
Todo lo que aprendiste de cinemática lineal con aceleración constante tiene una versión rotacional. Solo cambias las letras:
| Lineal | Rotacional |
|---|---|
| $x$ | $\theta$ |
| $v$ | $\omega$ |
| $a$ | $\alpha$ |
| $v = v_0 + at$ | $\omega = \omega_0 + \alpha t$ |
| $x = x_0 + v_0 t + \tfrac12 a t^2$ | $\theta = \theta_0 + \omega_0 t + \tfrac12 \alpha t^2$ |
| $v^2 = v_0^2 + 2a\Delta x$ | $\omega^2 = \omega_0^2 + 2\alpha\Delta\theta$ |
Funcionan solo si α es constante. Es la misma matemática: por eso también valen las gráficas. En una gráfica ω–t, la pendiente es α y el área bajo la recta es Δθ.
Un ventilador de techo parte del reposo y aumenta su rapidez con aceleración angular constante de $0.80$ rad/s$^2$ durante $10$ s. (a) Calcula la velocidad angular del…
Un ventilador de techo parte del reposo y aumenta su rapidez con aceleración angular constante de $0.80$ rad/s$^2$ durante $10$ s. (a) Calcula la velocidad angular del ventilador en $t = 10$ s. (b) Calcula el desplazamiento angular durante esos $10$ s. (c) Calcula cuántas revoluciones da en ese tiempo.
Una rueda de esmeril que gira a $60$ rad/s se apaga y se detiene de manera uniforme en $15$ s. (a) Calcula la magnitud de su aceleración angular. (b) Calcula el…
Una rueda de esmeril que gira a $60$ rad/s se apaga y se detiene de manera uniforme en $15$ s. (a) Calcula la magnitud de su aceleración angular. (b) Calcula el desplazamiento angular mientras se frena. (c) Un punto de la rueda está a $0.10$ m del eje. Calcula la aceleración tangencial de ese punto.
Conectar el giro con el movimiento lineal
Volvamos al carrusel. Todos los puntos giran el mismo ángulo en el mismo tiempo, así que tienen la misma ω. Pero un punto a mayor distancia $r$ del eje recorre un arco más largo: $s = r\theta$. Dividiendo entre el tiempo:
$$v = r\omega$$Esta es la rapidez lineal (tangente al círculo) de un punto a distancia $r$ del eje. Por eso el niño del borde va más rápido: mismo ω, mayor $r$.
Si ω cambia, la rapidez cambia, y aparece una aceleración tangencial:
$$a_t = r\alpha$$Además, un punto que gira siempre cambia de dirección, así que tiene aceleración centrípeta (hacia el centro):
$$a_c = \frac{v^2}{r} = \omega^2 r$$Estas dos aceleraciones son perpendiculares. La magnitud de la aceleración total es:
$$a = \sqrt{a_t^2 + a_c^2}$$Un punto en el borde de un carrusel de un parque en Denver está a $2.0$ m del centro. El carrusel gira con velocidad angular constante de $1.5$ rad/s. Calcula la rapidez…
Un punto en el borde de un carrusel de un parque en Denver está a $2.0$ m del centro. El carrusel gira con velocidad angular constante de $1.5$ rad/s. Calcula la rapidez lineal de ese punto.
La llanta del carro de Marcus tiene radio de $0.32$ m. El carro acelera desde el reposo hasta $20$ m/s en $8.0$ s sobre un camino recto, y las llantas ruedan sin…
La llanta del carro de Marcus tiene radio de $0.32$ m. El carro acelera desde el reposo hasta $20$ m/s en $8.0$ s sobre un camino recto, y las llantas ruedan sin deslizar. Suponiendo aceleración constante, calcula (a) la aceleración angular de la llanta y (b) la velocidad angular de la llanta en $t = 8.0$ s.
El tambor de una secadora de ropa, de radio $0.30$ m, parte del reposo con aceleración angular constante de $2.0$ rad/s$^2$. Un calcetín está pegado a la pared interior…
El tambor de una secadora de ropa, de radio $0.30$ m, parte del reposo con aceleración angular constante de $2.0$ rad/s$^2$. Un calcetín está pegado a la pared interior del tambor y se mueve con él. En $t = 3.0$ s, calcula (a) la aceleración tangencial del calcetín, (b) su aceleración centrípeta y (c) la magnitud de su aceleración total. (d) Explica por qué el ángulo entre el vector de aceleración total y la dirección radial cambia con el tiempo, e indica si aumenta o disminuye.
Analizar datos de un giro
A veces no te dan α: te dan una tabla de ω contra $t$. Para saber si α es constante, calcula $\Delta\omega/\Delta t$ en cada intervalo. Si siempre sale lo mismo, la gráfica ω–t es una recta y puedes usar las ecuaciones de la sección anterior. El desplazamiento angular es el área bajo esa recta (un trapecio): $\Delta\theta = \tfrac12(\omega_0 + \omega)\,t$.
Dos estudiantes estudian un disco que gira. La velocidad angular del disco aparece en la tabla. | $t$ (s) | 0 | 2.0 | 4.0 | 6.0 | 8.0 | |---|---|---|---|---|---| |…
Dos estudiantes estudian un disco que gira. La velocidad angular del disco aparece en la tabla.
| $t$ (s) | 0 | 2.0 | 4.0 | 6.0 | 8.0 |
|---|---|---|---|---|---|
| $\omega$ (rad/s) | 4.0 | 10.0 | 16.0 | 22.0 | 28.0 |
(a) Demuestra que la aceleración angular es constante y calcula su valor. (b) Calcula el desplazamiento angular de $t = 0$ a $t = 8.0$ s. (c) Aaliyah dice que el disco da cerca de $22$ revoluciones en ese intervalo. Verifica si tiene razón y explica tu razonamiento con un cálculo.
Vuelve al principio: los dos niños del carrusel comparten la misma ω, pero el del borde tiene mayor $r$, así que $v = r\omega$ es mayor para él.
Resumen
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El ángulo se mide en grados, revoluciones o radianes: $1\ \text{rev} = 2\pi\ \text{rad} = 360^\circ$. Antihorario es positivo.
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$\omega = \Delta\theta/\Delta t$ (rad/s), $\alpha = \Delta\omega/\Delta t$ (rad/s²), $\omega = 2\pi f$ y $T = 1/f$.
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Con α constante: $\omega = \omega_0 + \alpha t$, $\theta = \theta_0 + \omega_0 t + \tfrac12\alpha t^2$, $\omega^2 = \omega_0^2 + 2\alpha\Delta\theta$.
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En una gráfica ω–t, la pendiente es α y el área es Δθ.
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Un punto a distancia $r$ del eje: $v = r\omega$, $a_t = r\alpha$, $a_c = \omega^2 r$, y $a = \sqrt{a_t^2 + a_c^2}$.
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Usa siempre radianes en las relaciones entre giro y movimiento lineal.