Ecuación de continuidad
¿Alguna vez taparon con el pulgar la salida de una manguera de jardín? El agua sale disparada mucho más lejos, aunque la llave sigue abierta igual. ¿De dónde sale esa rapidez extra? La ecuación de continuidad lo explica: es la conservación de la masa aplicada a un fluido en movimiento.
Flujo volumétrico
Imagina agua que avanza por una tubería con rapidez $v$. En un intervalo de tiempo $\Delta t$, cada partícula de agua recorre una distancia $v\,\Delta t$. Por lo tanto, el volumen que cruza una sección de área $A$ es un cilindro de base $A$ y largo $v\,\Delta t$.
Ese volumen es $A\,v\,\Delta t$. Dividido entre el tiempo, obtenemos el flujo volumétrico (volume flow rate):
Es lógico: una tubería más ancha o un agua más rápida mueven más volumen por segundo.
El agua fluye de manera estacionaria por una tubería horizontal cuya área transversal es $0.020\ \text{m}^2$. El agua se mueve a $1.5\ \text{m/s}$. Calcula el flujo…
El agua fluye de manera estacionaria por una tubería horizontal cuya área transversal es $0.020\ \text{m}^2$. El agua se mueve a $1.5\ \text{m/s}$. Calcula el flujo volumétrico por la tubería en $\text{m}^3/\text{s}$.
La ecuación de continuidad
Supón un fluido ideal (incompresible, sin fricción interna) con flujo estacionario (en cada punto, la rapidez no cambia con el tiempo). Si la tubería no tiene fugas ni entradas, el agua no se acumula ni desaparece dentro de ella. Entonces, la masa que entra por un extremo en cada segundo es igual a la que sale por el otro. Como la densidad $\rho$ es constante, también se conserva el volumen por segundo:
Despejando, $v_2 = v_1\,\dfrac{A_1}{A_2}$: el área y la rapidez son inversamente proporcionales.
Piensa en una autopista que pasa de cuatro carriles a uno: para que pasen los mismos carros por minuto, los carros tienen que ir más rápido en el tramo angosto.
Enuncia la ecuación de continuidad para un fluido ideal e incompresible que fluye de manera estacionaria por una tubería cuya área transversal cambia de $A_1$ a $A_2$.…
Enuncia la ecuación de continuidad para un fluido ideal e incompresible que fluye de manera estacionaria por una tubería cuya área transversal cambia de $A_1$ a $A_2$. Indica qué magnitud física se conserva y define cada símbolo que uses.
Una manguera de jardín tiene un área transversal de $2.0\times10^{-4}\ \text{m}^2$, y el agua en su interior se mueve a $0.50\ \text{m/s}$. Emma tapa parcialmente el…
Una manguera de jardín tiene un área transversal de $2.0\times10^{-4}\ \text{m}^2$, y el agua en su interior se mueve a $0.50\ \text{m/s}$. Emma tapa parcialmente el extremo con el pulgar, de modo que la abertura tiene un área de $5.0\times10^{-5}\ \text{m}^2$. Calcula la rapidez del agua al salir por la abertura.
Una tubería lleva agua y tiene un radio de $0.050\ \text{m}$ en un tramo ancho. Se estrecha hasta un radio de $0.020\ \text{m}$. La rapidez del agua en el tramo ancho es…
Una tubería lleva agua y tiene un radio de $0.050\ \text{m}$ en un tramo ancho. Se estrecha hasta un radio de $0.020\ \text{m}$. La rapidez del agua en el tramo ancho es $1.2\ \text{m/s}$.
(a) Calcula la rapidez del agua en el tramo estrecho.
(b) Calcula el flujo volumétrico en cada tramo y compáralos.
Aplicaciones: tanques, ramales y chorros
Llenar un tanque
Si conoces $Q$, el volumen que entra en un tiempo $\Delta t$ es $\Delta V = Q\,\Delta t$. Para un tanque cilíndrico de área de base $A$, subir el nivel una altura $h$ requiere $\Delta V = A h$.
Tuberías que se ramifican
Cuando una tubería se divide, el flujo volumétrico que entra es igual a la suma de los que salen:
$$A_{\text{principal}}\,v_{\text{principal}} = A_1 v_1 + A_2 v_2 + \dots$$El chorro que se estrecha
Cuando abres la llave de la cocina, el chorro se afina al caer. El agua gana rapidez por la gravedad. En cada altura, el flujo $Q$ es el mismo, así que si $v$ crece, el área $A$ del chorro debe disminuir.
La tubería principal de agua de un pueblo entrega agua con un flujo volumétrico de $0.080\ \text{m}^3/\text{s}$. El tanque cilíndrico de una escuela tiene un área de…
La tubería principal de agua de un pueblo entrega agua con un flujo volumétrico de $0.080\ \text{m}^3/\text{s}$. El tanque cilíndrico de una escuela tiene un área de base de $12\ \text{m}^2$ y se llena con todo el flujo de esta tubería. ¿Cuánto tarda el nivel del agua del tanque en subir $1.5\ \text{m}$? Da tu respuesta en segundos y en minutos.
Marcus observa un chorro continuo de agua que cae de la llave de la cocina. Nota que el chorro se hace más delgado a medida que cae. Usando la ecuación de continuidad,…
Marcus observa un chorro continuo de agua que cae de la llave de la cocina. Nota que el chorro se hace más delgado a medida que cae. Usando la ecuación de continuidad, explica por qué el chorro se estrecha. Supón que el flujo es estacionario y que el agua gana rapidez al caer.
Una tubería principal de área transversal $0.040\ \text{m}^2$ lleva agua a $2.0\ \text{m/s}$. Se divide en tres tuberías secundarias idénticas, cada una con un área…
Una tubería principal de área transversal $0.040\ \text{m}^2$ lleva agua a $2.0\ \text{m/s}$. Se divide en tres tuberías secundarias idénticas, cada una con un área transversal de $0.010\ \text{m}^2$.
(a) Calcula la rapidez del agua en cada ramal.
(b) Luego se cierra un ramal y la tubería principal mantiene el mismo flujo volumétrico. Calcula la nueva rapidez en cada uno de los dos ramales restantes.
(c) Explica, usando la conservación de la masa, por qué cambia la rapidez en los ramales restantes.
Una tubería horizontal tiene tres secciones consecutivas. La sección A tiene diámetro $0.30\ \text{m}$, la sección B tiene diámetro $0.15\ \text{m}$ y la sección C tiene…
Una tubería horizontal tiene tres secciones consecutivas. La sección A tiene diámetro $0.30\ \text{m}$, la sección B tiene diámetro $0.15\ \text{m}$ y la sección C tiene diámetro $0.10\ \text{m}$. El agua entra a la sección A a $0.40\ \text{m/s}$.
(a) Calcula la rapidez del agua en las secciones B y C.
(b) Calcula el flujo volumétrico en cada sección.
(c) Un estudiante afirma que, como el agua se mueve más rápido en C, pasa más agua por C cada segundo que por A. Evalúa esta afirmación.
Vuelve al principio: al tapar la manguera con el pulgar, el área de salida disminuye, pero el flujo volumétrico se mantiene. Por eso la rapidez del agua aumenta y el chorro llega más lejos.
Resumen
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El flujo volumétrico es $Q = Av$, en $\text{m}^3/\text{s}$; el volumen que pasa en un tiempo $\Delta t$ es $Q\,\Delta t$.
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Para un fluido ideal e incompresible en flujo estacionario, la masa se conserva y $A_1v_1 = A_2v_2$.
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Área pequeña implica rapidez grande, y viceversa. Con círculos, $v \propto 1/r^2$.
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En una ramificación, el flujo que entra es la suma de los flujos que salen.
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Mayor rapidez no significa mayor flujo: $Q$ es igual en todas las secciones de una tubería sin fugas.