Aumentos e diminuições percentuais
Um computador portátil custa 847 € com 23 % de IVA já incluído, depois de um desconto de 30 % sobre o preço de catálogo. Qual era esse preço de catálogo? E se o teu salário subir 20 % num ano e descer 20 % no seguinte, ganhas, perdes ou ficas igual? As duas perguntas resolvem-se com a mesma ferramenta: o fator multiplicativo.
O fator multiplicativo
Também podes obter o fator a partir de dois valores: $f = \dfrac{\text{valor final}}{\text{valor inicial}}$. Se uma assinatura passa de 12,50 € para 14,75 €, então $f = 14{,}75 : 12{,}50 = 1{,}18$, ou seja, um aumento de $18\,\%$.
O preço de um bilhete para o festival de música "Tecno-Vibes" é de $55\text{ €}$. Se a organização decidir aumentar o seu preço em $12\text{ \%}$ devido à elevada…
O preço de um bilhete para o festival de música "Tecno-Vibes" é de $55\text{ €}$. Se a organização decidir aumentar o seu preço em $12\text{ \%}$ devido à elevada procura, qual será o novo preço do bilhete? Indica também qual é o índice de variação aplicado.
Uma loja de roupa desportiva anuncia uma liquidação de época com um desconto de $25\text{ \%}$ em todos os seus ténis. Se um ténis de corrida custava originalmente…
Uma loja de roupa desportiva anuncia uma liquidação de época com um desconto de $25\text{ \%}$ em todos os seus ténis. Se um ténis de corrida custava originalmente $110\text{ €}$, quanto pagaremos por ele após o desconto? Calcule o índice de variação correspondente.
No ano de 2022, uma subscrição mensal de uma plataforma de streaming custava $12,50\text{ €}$. Em 2023, o preço subiu para $14,75\text{ €}$. Calcule o índice de variação…
No ano de 2022, uma subscrição mensal de uma plataforma de streaming custava $12,50\text{ €}$. Em 2023, o preço subiu para $14,75\text{ €}$. Calcule o índice de variação e o aumento percentual que a subscrição sofreu.
Variações encadeadas
Quando se aplicam duas ou mais variações percentuais seguidas, multiplicam-se os fatores. Nunca se somam nem se subtraem as percentagens.
Um bilhete de cinema custa $9\text{ €}$. Se pagar com o cartão jovem, aplica-se um desconto de $20\text{ \%}$. Mas se além disso for "quarta-feira do espectador", o…
Um bilhete de cinema custa $9\text{ €}$. Se pagar com o cartão jovem, aplica-se um desconto de $20\text{ \%}$. Mas se além disso for "quarta-feira do espectador", o preço já com desconto volta a baixar $10\text{ \%}$ adicional.
- a) Calcule o preço final do bilhete numa quarta-feira para um utilizador com cartão jovem.
- b) Calcule o índice de variação total e a percentagem de desconto real sobre o preço inicial.
Um pequeno comércio de bairro decide atualizar os preços dos seus produtos de acordo com o custo de vida. No início do ano, aumenta todos os preços em $4$ %. No verão,…
Um pequeno comércio de bairro decide atualizar os preços dos seus produtos de acordo com o custo de vida. No início do ano, aumenta todos os preços em $4$ %. No verão, devido a uma promoção especial, aplica um desconto de $10$ % sobre os preços já atualizados.
- a) Calcule o índice de variação global.
- b) Qual foi a variação percentual total em relação ao preço original do final do ano passado?
- c) Se um produto custava originalmente $25$ €, qual é o seu preço após as duas alterações?
Numa loja de moda urbana, aplicam-se descontos sucessivos. Primeiro, anuncia-se um desconto geral de $20\%$ sobre todos os artigos. Durante a "semana de liquidação",…
Numa loja de moda urbana, aplicam-se descontos sucessivos. Primeiro, anuncia-se um desconto geral de $20\%$ sobre todos os artigos. Durante a "semana de liquidação", aplica-se um desconto adicional de $30\%$ sobre o preço já com desconto. Um cliente tem um cupão VIP que permite um desconto extra de $10\%$ sobre o último preço obtido.
Este processo de três descontos é equivalente a um único desconto de $60\%$? Justifique a resposta calculando o índice de variação global e determine qual seria o preço inicial de uma sweatshirt que acaba por custar $39,20$ € após os três descontos.
Desfazer uma percentagem: IVA, IRS e preços já com desconto
Se conheces a quantidade final e precisas da inicial, divides pelo fator em vez de multiplicar.
Em Portugal (continente) as taxas de IVA são $6\,\%$, $13\,\%$ e $23\,\%$. Nos exemplos usamos a taxa normal, $23\,\%$.
O mesmo vale para descontos. Uns ténis com $35\,\%$ de desconto custam $57{,}20$ €: o fator é $0{,}65$, logo o preço inicial era $57{,}20 : 0{,}65 = 88$ € e a poupança foi de $30{,}80$ €.
O IRS funciona de modo semelhante: se uma retenção de $15\,\%$ é aplicada a um valor, o líquido é $85\,\%$ desse valor ($f = 0{,}85$); para voltar ao valor antes da retenção, divide-se por $0{,}85$.
Após ser aplicado um desconto de $15\text{ \%}$, um computador portátil custa $680\text{ €}$. Qual era o preço original do computador antes da promoção? Utiliza o…
Após ser aplicado um desconto de $15\text{ \%}$, um computador portátil custa $680\text{ €}$. Qual era o preço original do computador antes da promoção? Utiliza o conceito de índice de variação para o resolveres.
Um componente eletrónico tem um preço de venda ao público de $242\text{ €}$ com o $IVA$ de $21\text{ \%}$ já incluído. Determine o preço do produto antes dos impostos…
Um componente eletrónico tem um preço de venda ao público de $242\text{ €}$ com o $IVA$ de $21\text{ \%}$ já incluído. Determine o preço do produto antes dos impostos (base tributável).
Nos saldos de janeiro, um par de ténis desportivos tem um desconto de $35$ %. Se o preço com desconto que consta na etiqueta é de $57,20$ €, qual era o preço do ténis…
Nos saldos de janeiro, um par de ténis desportivos tem um desconto de $35$ %. Se o preço com desconto que consta na etiqueta é de $57,20$ €, qual era o preço do ténis antes de começar os saldos? Indique também a poupança total obtida em euros.
O preço de uma subscrição premium de uma plataforma de streaming é de $15,99$ € por mês, com IVA incluído. Sabendo que a taxa de IVA aplicada a esses serviços digitais…
O preço de uma subscrição premium de uma plataforma de streaming é de $15,99$ € por mês, com IVA incluído. Sabendo que a taxa de IVA aplicada a esses serviços digitais na Espanha é de $21$ %, calcule:
- a) A base tributável da fatura (o preço antes dos impostos).
- b) O valor exato pago de IVA.
- c) Se a plataforma anunciar um aumento da base tributável de $5$ % para o próximo ano, qual será o novo preço mensal com o IVA incluído?
Subida e descida iguais: cancelam-se?
«Sobe 20 % e depois desce 20 %: fico como estava.» É o erro mais comum com percentagens e nunca é verdade, a não ser que a percentagem seja $0\,\%$.
Também é possível a situação inversa: para voltar ao valor inicial depois de uma subida de $25\,\%$ ($f = 1{,}25$), precisas de um fator $1 : 1{,}25 = 0{,}8$, isto é, uma descida de $20\,\%$, e não de $25\,\%$.
O salário de um jovem programador aumenta $5\text{ \%}$ ao terminar o seu primeiro ano de contrato. No entanto, no segundo ano, devido a uma crise na empresa, o seu…
O salário de um jovem programador aumenta $5\text{ \%}$ ao terminar o seu primeiro ano de contrato. No entanto, no segundo ano, devido a uma crise na empresa, o seu salário é reduzido em $5\text{ \%}$. O seu salário final é igual ao inicial? Justifique a resposta calculando o índice de variação global.
Um investidor compra ações de uma empresa tecnológica. Durante o primeiro mês, o valor das ações sobe $20$ %. Durante o segundo mês, o valor desce $20$ %. O investidor…
Um investidor compra ações de uma empresa tecnológica. Durante o primeiro mês, o valor das ações sobe $20$ %. Durante o segundo mês, o valor desce $20$ %. O investidor afirma: "Fiquei igual ao início, nem ganhei nem perdi".
- a) Demonstra matematicamente se o investidor tem razão ou não, utilizando índices de variação.
- b) Se investiu inicialmente $5\,000$ €, qual é o valor do seu investimento após os dois meses?
- c) Calcula a percentagem de variação global do investimento.
Devido à inflação, o preço de um modelo de consola de videojogos subiu $25\%$ desde o seu lançamento. Para promover as vendas na Black Friday*, o comércio quer aplicar…
Devido à inflação, o preço de um modelo de consola de videojogos subiu $25\%$ desde o seu lançamento. Para promover as vendas na Black Friday, o comércio quer aplicar um desconto de modo que o preço final seja exatamente o mesmo do preço original de lançamento.
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Que percentagem de desconto deve o comércio aplicar sobre o preço inflacionado?
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Se, após aplicar esse desconto, o preço é de $450$ €, qual era o preço da consola no momento anterior ao aumento pela inflação?
Poder de compra e problemas com vários passos
Nos problemas mais longos, o método é sempre o mesmo: escreve o fator de cada passo, multiplica-os e interpreta o resultado.
Para comparar a subida do custo de vida com a dos salários, usa o quociente dos fatores globais:
$$\text{poder de compra} = \frac{f_{\text{salário}}}{f_{\text{preços}}}$$Se for menor do que 1, o poder de compra diminuiu.
Quando falta uma variação, usa uma equação. Se um preço sobe $30\,\%$ e queres um aumento global de $10{,}5\,\%$, então $1{,}30 \times f = 1{,}105$, logo $f \approx 0{,}85$: uma descida de $15\,\%$.
Para ofertas como «leve 3, pague 2», calcula o que realmente pagas: 2 de 3 frascos é $\frac{2}{3} \approx 0{,}667$, ou seja, um desconto de cerca de $33{,}3\,\%$.
Uma loja de tecnologia lança um novo modelo de auriculares sem fios ao preço de $120$ €. Devido à elevada procura, no mês seguinte decidem aumentar o seu preço em $15$…
Uma loja de tecnologia lança um novo modelo de auriculares sem fios ao preço de $120$ €. Devido à elevada procura, no mês seguinte decidem aumentar o seu preço em $15$ %. No entanto, ao chegar a semana da "Black Friday", aplicam um desconto de $20$ % sobre o preço aumentado. Calcule o preço final dos auriculares e determine o índice de variação global do preço.
O salário bruto anual de um trabalhador sofreu as seguintes alterações num período de três anos: no primeiro ano subiu $2$ %, no segundo ano manteve-se congelado ($0$ %…
O salário bruto anual de um trabalhador sofreu as seguintes alterações num período de três anos: no primeiro ano subiu $2$ %, no segundo ano manteve-se congelado ($0$ % de variação) e no terceiro ano caiu $3$ % devido a uma reestruturação da empresa.
- a) Calcule o índice de variação global ao final dos três anos.
- b) Se o salário inicial era de $24\,500$ €, qual é o seu salário após o terceiro ano?
- c) Que percentagem deveria o salário subir no quarto ano para recuperar exatamente o poder de compra inicial de $24\,500$ €?
O índice de preços das rendas numa grande cidade aumentou $15\%$ no ano passado e espera-se que aumente outros $8\%$ este ano. Ao mesmo tempo, o salário médio dos jovens…
O índice de preços das rendas numa grande cidade aumentou $15\%$ no ano passado e espera-se que aumente outros $8\%$ este ano. Ao mesmo tempo, o salário médio dos jovens da cidade aumentou $2\%$ no ano passado e prevê-se uma subida de $5\%$ para este ano.
O esquema resume os dados: parte de um índice $100$ no ano 0 e mostra a subida de cada ano.
Calcula o índice de variação global das rendas e dos salários após os dois anos. Utilizando estes dados, determina em que percentagem variou realmente o poder de compra de um jovem que dedica todo o seu salário exclusivamente ao pagamento da renda.
Um investidor distribui as suas economias por dois produtos financeiros. No Produto A, investe $60\%$ do seu capital e obtém um lucro de $15\%$. No Produto B, investe o…
Um investidor distribui as suas economias por dois produtos financeiros. No Produto A, investe $60\%$ do seu capital e obtém um lucro de $15\%$. No Produto B, investe o restante e sofre uma perda de $8\%$.
Calcule o índice de variação global do seu capital total e a percentagem de ganho ou perda líquida. Se no final do ano o seu capital total somar $53\,100$ €, qual era o seu capital inicial e quanto dinheiro perdeu especificamente no Produto B?
Voltando ao início: o computador teve um desconto de $30\,\%$ ($f_1 = 0{,}70$) e um IVA de $23\,\%$ ($f_2 = 1{,}23$), com fator global $0{,}70 \times 1{,}23 = 0{,}861$. Dividindo o preço final pelo fator, obténs o preço de catálogo: $847 : 0{,}861 \approx 983{,}74$ €. E, no outro caso, subir e descer $20\,\%$ dá $1{,}2 \times 0{,}8 = 0{,}96$: perdes $4\,\%$.