Números-índice, IPC e taxas

O preço de um bilhete de autocarro era de $2,50\ \text{ €}$ em 2023 e de $2,65\ \text{ €}$ em 2024.

1. a) Calcule o número-índice do preço em 2024 com base 2023.

1. b) Qual foi a variação percentual do preço?

O número-índice do preço da ementa do dia numa cidade, com base 2021, vale $108,5$ em 2024.

1. a) Explique por palavras suas o que significa este valor.

1. b) Se uma ementa custava $11\ \text{ €}$ em 2021, quanto custa em 2024 se o seu preço seguiu esse índice? Arredonde às cêntimos.

A tabela mostra o preço de um videojogo em três anos: 2022: $60\ \text{ €}$; 2023: $66\ \text{ €}$; 2024: $69\ \text{ €}$.

1. a) Construa a sucessão de números-índice com base em 2022.

1. b) Em que ano o preço subiu mais, em percentagem, relativamente ao ano anterior?

A série de números-índice do preço do transporte urbano, com base em 2018, é: 2018: $100$; 2019: $103,2$; 2020: $107,5$; 2021: $112,1$.

1. a) Construa a mesma série tomando como base o ano de 2021 (índice $100$ em 2021), arredondando às décimas.

1. b) Que informação se conserva e que informação se altera ao fazer a mudança de base?

Uma cadeia de supermercados tem uma sucessão de números-índice das suas vendas com base 2020 e outra com base 2023, mas falta-lhe o elo de ligação. Os dados conhecidos são:

• Base 2020: índice de 2021 $= 104$, índice de 2022 $= 109$, índice de 2023 $= 115$.

• Base 2023: índice de 2024 $= 106$, índice de 2025 $= 110$.

1. a) Calcule os índices de 2024 e 2025 com base 2020 (ou seja, vincule as duas séries).

1. b) Qual foi a variação percentual total das vendas entre 2020 e 2025?

1. c) E a variação média anual nesse período? Expresse-a em percentagem arredondada às décimas (use a raiz do índice global).

Uma trabalhadora auferia um salário líquido de $1\,500$ € mensais em 2018 e passa a auferir $1\,720$ € mensais em 2024. Para avaliar se ganhou ou perdeu poder de compra, consulta as séries do IPC do INE, mas constata que em 2021 ocorreu uma mudança de base:\n- Série antiga (base $2016 = 100$): Índice em 2018 $= 103,5$; Índice em 2021 $= 110,0$.\n- Série nova (base $2021 = 100$): Índice em 2021 $= 100,0$; Índice em 2024 $= 114,2$.\n\nPara calcular a inflação acumulada entre 2018 e 2024 consideram-se dois caminhos:\n- Método 1 (Encadear para a base antiga): Multiplicar os índices da série nova pelo coeficiente de encadeamento $k = \frac{110,0}{100,0}$ para expressar o ano de 2024 na base de 2016, e calcular a variação percentual entre 2018 e 2024.\n- Método 2 (Passar a série para a base de 2021): Mudar a base do ano de 2018 diretamente para a base de 2021 dividindo o seu índice por $110,0$ e multiplicando por $100$, para depois calcular a variação entre 2018 e 2024 nessa mesma base.\n\na) Desenvolve por completo ambos os métodos com os dados numéricos e demonstra algebricamente que conduzem com exatidão à mesma percentagem de variação acumulada do IPC.\nb) Compara ambos os procedimentos e justifica qual dos dois é preferível ou mais eficiente se tivesses de atualizar toda uma tabela de preços de uma empresa entre 2015 e 2024.\nc) Utilizando a inflação acumulada calculada, determina o salário real que a trabalhadora aufere em 2024 a preços constantes de 2018 e conclui de forma fundamentada se ganhou ou perdeu poder de compra e em que percentagem exata relativamente à sua situação inicial.

Para analisar o cabaz de compras de uma família média, consideram-se unicamente três grupos de consumo com as suas correspondentes ponderações (pesos) e índices de preços relativamente ao ano anterior:\n- Alimentação: ponderação $p_1 = 0,35$; índice de preços $I_1 = 108$ (subida de $8\,\%$).\n- Habitação e despesas correntes: ponderação $p_2 = 0,45$; índice de preços $I_2 = 102$ (subida de $2\,\%$).\n- Lazer e transportes: ponderação $p_3 = 0,20$; índice de preços $I_3 = 99$ (descida de $1\,\%$).\n\na) Antes de calculares o resultado numérico exato, estima de forma fundamentada em que intervalo se encontrará o IPC global. Estará mais perto de $102$, de $105$ ou de $108$? Justifica a tua estimativa apoiando-te no peso que tem cada grupo de despesa.\nb) Calcula o índice ponderado exato do IPC.\nc) Verifica se a tua estimativa inicial era coerente e deduz qual foi a taxa de inflação global homóloga (variação percentual) desta família.

O departamento de estatística de um município elabora um índice local de preços com três componentes essenciais:\n- Alimentação (peso $p_1 = 0,30$).\n- Habitação e arrendamento (peso $p_2 = 0,50$).\n- Transportes municipais (peso $p_3 = 0,20$).\n\nNo final do ano, a autarquia comunica que o IPC geral do município subiu exatamente $4,1\,\%$ relativamente ao ano-base (isto é, o índice global ponderado situa-se em $104,1$). Ao rever as séries parciais, verifica-se que o índice de Habitação e arrendamento subiu $3\,\%$ ($I_2 = 103$) e os Transportes desceram $2\,\%$ ($I_3 = 98$), mas extraviou-se o registo do índice de Alimentação ($I_1$).\n\na) Modela uma equação do primeiro grau em que intervenha a média ponderada do IPC e cuja incógnita seja $I_1$.\nb) Resolve a equação e calcula o número de índice da Alimentação e a sua taxa de variação percentual.\nc) Se a equipa do executivo municipal tivesse fixado como objetivo que a inflação global do município não ultrapassasse os $3,5\,\%$, qual teria de ter sido, no máximo, a percentagem de aumento nos preços da alimentação mantendo constantes as variações da habitação e dos transportes?

O IPC de um país é calculado como a média ponderada dos índices de vários grupos de despesas. Num ano, os dados são:

• Alimentação e bebidas: ponderação $25 \%$, aumento de $9 \%$.

• Habitação e serviços básicos: ponderação $30 \%$, aumento de $4 \%$.

• Transporte: ponderação $15 \%$, aumento de $6 \%$.

• Restante dos grupos: ponderação $30 \%$, aumento de $2 \%$.

1. a) Calcule o IPC global do ano, arredondado às centésimas.

1. b) Um trabalhador cujo salário subiu $3,5 \%$ nesse ano afirma que «perdeu poder de compra». Tem razão? Justifique calculando o índice de variação real do seu salário.

1. c) Outro trabalhador gasta metade do seu salário em habitação e a outra metade no restante em partes iguais. Explique porque é que a sua «inflação pessoal» pode ser diferente do IPC oficial.

O IPC anual de três anos consecutivos foi de $3,5 \%$, $2,8 \%$ e $4,1 \%$.

1. a) Calcule o índice de variação encadeado de todo o triénio e o aumento total acumulado, arredondado às centésimas.

1. b) Se um litro de leite custava $0,95\ \text{ €}$ no início do primeiro ano e o seu preço subiu exatamente como o IPC, quanto custa no final do terceiro ano? Arredonde aos cêntimos.

A figura mostra a evolução de um índice de preços com base $100$ em 2021.

1. a) Qual foi a variação percentual total dos preços entre 2021 e 2025?

1. b) Em que ano ocorreu o maior aumento anual? Calcula-o a partir dos índices, não o leias a olho nu.

1. c) Calcula a taxa de variação média anual do período (aquela que, repetida nos quatro anos, daria o mesmo índice final). Arredonda às centésimas.

Num debate televisivo, um comentador afirma: «o IPC subiu $5 \%$ em 2023 e caiu $5 \%$ em 2024, portanto os preços voltaram exatamente para onde estavam em 2022».

1. a) Mostra com um preço concreto (por exemplo, $100\ \text{ €}$) que a afirmação é falsa, e calcula o índice de variação total do biénio.

1. b) Que percentagem deveriam os preços ter caído em 2024 para voltar exatamente ao nível de 2022? Arredonda às centésimas.

1. c) Explica, numa frase compreensível para qualquer cidadão, porque é que subir $5 \%$ e cair $5 \%$ não se cancelam.

A figura compara a evolução do IPC e do índice salarial de um país (ambos com base $100$ três anos antes).

1. a) Qual foi o aumento percentual total dos preços e o dos salários no período?

1. b) Os salários ganharam ou perderam poder de compra? Calcule o índice de variação real (índice salarial dividido pelo IPC, por $100$) do último ano e interprete-o.

1. c) Se no último ano um trabalhador recebia $1\,650\ \text{ €}$ por mês, que salário precisaria para recuperar o poder de compra de três anos antes?

Em 2022, a renda de um apartamento era de $850\ \text{ €}$ mensais. O contrato é atualizado todos os anos com o IPC: em 2023 o IPC foi de $3,1 \%$ e em 2024, de $2,6 \%$.

1. a) Calcule a renda mensal em 2024 após as duas atualizações, arredondada aos cêntimos.

1. b) O inquilino quer comparar a renda de 2024 «em euros de 2022». Como os preços subiram o mesmo que a sua renda, explique que índice usaria e que conclusão obtém.

1. c) Se em 2025 o IPC for de $5 \%$ e o senhorio decidir não atualizar a renda, em que percentagem diminuiu a renda em termos reais? Arredonde às centésimas.

Uma plataforma imobiliária analisa a série de preços do arrendamento por metro quadrado numa capital entre 2019 e 2024, tomando como ano-base $2019 = 100$:\n- Em 2020, o preço sofreu uma descida de $4\,\%$ relativamente a 2019.\n- Em 2021, o preço subiu $5\,\%$ relativamente a 2020.\n- Durante o biénio 2021-2023, o preço aumentou com uma taxa de variação média anual (TVMA) constante de $6\,\%$ a cada ano.\n- Para 2024, a empresa pretende ajustar as suas tarifas de modo a que a taxa de variação média anual ao longo de todo o quinquénio (do período completo 2019-2024, ou seja, em $5$ anos) seja exatamente de $4\,\%$ ao ano.\n\na) Modela a evolução da série calculando o número de índice de preços em 2020, 2021 e 2023 com base 2019 (arredonda os índices a duas casas decimais).\nb) Escreve a equação que permite obter o índice de preços correspondente ao ano de 2024 para satisfazer a condição da TVMA quinquenal de $4\,\%$, e calcula o valor do referido índice $I_{2024}$.\nc) A partir dos resultados anteriores, deduz que variação percentual exata deve ser aplicada no arrendamento em 2024 relativamente aos preços de 2023.\nd) Um consultor comercial propõe: «Como em 2020 variou $-4\,\%$, em 2021 $+5\,\%$, em 2022 $+6\,\%$ e em 2023 $+6\,\%$, a soma acumulada é $-4 + 5 + 6 + 6 = 13\,\%$. Para atingir em cinco anos uma média de $4\,\%$ ao ano (que totaliza $20\,\%$), em 2024 bastará subir $7\,\%$ (pois $13 + 7 = 20$)». Argumenta com rigor matemático por que razão o raciocínio do consultor é falacioso no cálculo financeiro e de números de índice, e indica se a sua estimativa fica acima ou abaixo do valor real necessário.

Num país de $2,1$ milhões de habitantes, a taxa de natalidade é de $7,1$ nascimentos por cada $1\,000$ habitantes.

1. a) Quantos nascimentos se registaram nesse ano, aproximadamente?

1. b) Se a taxa de mortalidade foi de $9,3$ por cada $1\,000$ habitantes, a população cresce ou decresce por causas naturais? Quantifica-o.

Num município de $48\,300$ habitantes, registaram-se $415$ nascimentos e $502$ mortes num ano.

1. a) Calcule a taxa de natalidade e a de mortalidade (por cada $1\,000$ habitantes), arredondadas às centésimas.

1. b) Calcule o crescimento natural (nascimentos menos mortes) e expresse-o também como taxa por cada $1\,000$ habitantes. A população cresce ou decresce por causas naturais?

1. c) Se a população total, no entanto, aumentou em $600$ pessoas nesse ano, que outro componente demográfico explica a diferença? Quantifique-o.

Num relatório socioeconómico regional recolhem-se os seguintes dados do Inquérito ao Emprego:\n- População de $16$ ou mais anos: $500\,000$ pessoas.\n- Pessoas empregadas: $270\,000$.\n- Pessoas desempregadas: $30\,000$.\n\nO Marcos, um estudante do ensino secundário, escreve no seu trabalho: «A taxa de desemprego da região é de $6\,\%$, já que se calcula dividindo as $30\,000$ pessoas desempregadas pelas $500\,000$ pessoas em idade ativa e multiplicando por $100$».\n\na) Identifica o erro conceptual cometido pelo Marcos e redige uma breve explicação do motivo pelo qual a sua abordagem não se ajusta à definição de taxa de desemprego.\nb) Calcula corretamente a taxa de atividade e a taxa de desemprego da referida região (expressas em percentagem arredondada às centésimas).\nc) Se no próximo ano $10\,000$ pessoas das que estavam no desemprego decidirem deixar de procurar emprego ativamente para se matricularem em estudos universitários a tempo inteiro, o que acontecerá qualitativamente à taxa de desemprego (subirá, descerá ou não mudará), assumindo que as restantes variáveis se mantêm constantes? Justifica a tua resposta.

Numa região, os dados do mercado de trabalho do Ano 1 segundo o INE são os seguintes:\n- População de $16$ ou mais anos: $2\,000\,000$ de pessoas.\n- Taxa de atividade: $60\,\%$.\n- Taxa de desemprego: $15\,\%$.\n\nNo Ano 2 ocorre uma recessão económica. A população de $16$ ou mais anos continua a ser de $2\,000\,000$ de pessoas, mas acontecem dois fenómenos simultâneos: destroem-se $20\,000$ postos de trabalho (as pessoas empregadas diminuem em $20\,000$, passando inicialmente ao desemprego) e, ao mesmo tempo, $40\,000$ pessoas desempregadas caem no «efeito desânimo» (deixam de procurar trabalho ativamente e abandonam a população ativa, passando à inatividade).\n\na) Determina para o Ano 1 a população ativa, o número de empregados e o número de desempregados.\nb) Determina para o Ano 2 a nova população ativa, o novo número de empregados e o novo número de desempregados. A partir deles, encontra a nova taxa de atividade e a nova taxa de desemprego (arredondando às centésimas).\nc) Interpreta o resultado: por que razão diminuiu a taxa de desemprego apesar de terem sido destruídos postos de trabalho líquidos? Explica que risco acarreta avaliar a saúde do emprego olhando unicamente para a taxa de desemprego sem ter em conta a taxa de atividade.

A tabela mostra dados aproximados do Inquérito ao Emprego de duas regiões num trimestre:

• Região A: população ativa $2\,400\,000$ pessoas, desempregados $312\,000$, ocupados $2\,088\,000$.

• Região B: população ativa $950\,000$ pessoas, desempregados $123\,500$, ocupados $826\,500$.

1. a) Calcule a taxa de desemprego de cada região, arredondada às centésimas.

1. b) Na região A, a população de $16$ ou mais anos é de $4\,300\,000$ pessoas. Calcule a sua taxa de atividade, arredondada às centésimas.

1. c) Uma manchete diz: «A região B tem menos desemprego porque tem menos desempregados». Critique a manchete usando as taxas calculadas e explique porque é que as taxas permitem comparar populações de tamanhos diferentes.