Covariância

Num estudo bidimensional sobre $25$ indivíduos, foram obtidas as médias $\bar{x} = 8$ e $\bar{y} = 15$. Sabendo que a soma dos produtos das variáveis é $\sum x_i y_i = 3200$, calcule a covariância $s_{xy}$.

Dada a seguinte tabela com três pares de valores correspondentes às variáveis $X$ e $Y$:

Calcule o centro de gravidade $(\bar{x}, \bar{y})$ e a covariância da distribuição.

Para um conjunto de $40$ dados bidimensionais, sabe-se que $\bar{x} = 12$, $\bar{y} = 25$ e a covariância é $s_{xy} = -8,5$. Determine o valor da soma dos produtos $\sum x_i y_i$.

Numa pesquisa sobre o rendimento desportivo, relaciona-se o número de horas semanais de treino ($X$) com o tempo em minutos que um atleta leva para completar uma corrida de $10$ km ($Y$). Que sinal espera que a covariância $s_{xy}$ tenha? Justifique brevemente a sua resposta.

Ao estudar a relação entre a quantidade de fertilizante aplicado a uma planta (em gramas) e o seu crescimento semanal (em milímetros), obtém-se uma covariância de $24,6$. O que o sinal deste parâmetro estatístico indica sobre a relação entre o fertilizante e o crescimento?

Num estudo económico sobre a relação entre a taxa de inflação ($X$, em $\%$) e a taxa de desemprego ($Y$, em $\%$) de um país durante $5$ anos consecutivos, foram registados os seguintes pares de valores: $(2, 8)$, $(3, 6)$, $(4, 5)$, $(5, 4)$, $(6, 2)$. Calcule a covariância e indique se os resultados apoiam uma relação direta ou inversa entre ambas as taxas.

Calcule a covariância da seguinte distribuição bidimensional expressa numa tabela de frequências absolutas $f_i$:

Foi medida a temperatura $X$ (em $^\circ\text{C}$) e a resistência $Y$ (em MPa) de um novo material plástico em $5$ ensaios diferentes, obtendo-se os seguintes resultados:

Calcule a covariância desta distribuição bidimensional e interprete o seu sinal no contexto do problema.

Foi realizado um inquérito a $20$ famílias sobre o número de veículos que possuem ($X$) e o número de lugares de garagem de que dispõem ($Y$). Os resultados estão resumidos na seguinte tabela de dupla entrada:

Calcule o centro de gravidade e a covariância $s_{xy}$.

Numa experiência de termodinâmica, a covariância entre a pressão e o volume de um gás em certas condições é $s_{xy} = -15,4$. Se, para facilitar os cálculos, o investigador decidir somar $2$ a todos os valores de pressão e subtrair $5$ de todos os valores de volume, qual será o novo valor da covariância?

Num estudo de arquitetura, a covariância entre o comprimento de uma viga $X$ (medido em metros) e a sua deformação máxima $Y$ (medida em milímetros) é $s_{xy} = 3,5$. Se se decidir expressar o comprimento em centímetros ($1\text{ m} = 100\text{ cm}$) e a deformação em micrómetros ($1\text{ mm} = 1000\,\mu\text{m}$), calcule o novo valor da covariância.

Dada uma variável bidimensional $(X,Y)$, sabe-se que existe uma relação funcional linear exata dada pela equação $y_i = -3x_i + 5$ para todos os pares da distribuição. Sabendo que a variância da variável $X$ é $s_x^2 = 4$, demonstre analiticamente e calcule o valor numérico da covariância $s_{xy}$.

Numa empresa, estuda-se a relação entre os anos de antiguidade dos funcionários ($X$) e o seu salário mensal em centenas de euros ($Y$). Conhecem-se os seguintes dados: $\bar{x} = 10$, $\bar{y} = 20$, a variância da antiguidade é $s_x^2 = 16$ e a covariância é $s_{xy} = 24$. Decide-se criar um índice de «avaliação total» definido como $Z = X + Y$. Calcule a covariância entre a antiguidade ($X$) e esse novo índice ($Z$).

Um conjunto de dados bidimensionais consiste nos seguintes $5$ pontos fortemente agrupados: $(1, 1)$, $(2, 2)$, $(2, 1)$, $(3, 2)$, $(3, 3)$; e um ponto atípico: $(13, 15)$.

Calcule a covariância do conjunto completo dos $6$ pontos. Em seguida, calcule a covariância excluindo o ponto atípico e compare os resultados para explicar a sensibilidade da covariância a valores extremos.