Exercícios: Aumentos e diminuições porcentuais

O preço de um bilhete para o festival de música "Tecno-Vibes" é de $55\text{ €}$. Se a organização decidir aumentar o seu preço em $12\text{ \%}$ devido à elevada procura, qual será o novo preço do bilhete? Indica também qual é o índice de variação aplicado.

Uma loja de roupa desportiva anuncia uma liquidação de época com um desconto de $25\text{ \%}$ em todos os seus ténis. Se um ténis de corrida custava originalmente $110\text{ €}$, quanto pagaremos por ele após o desconto? Calcule o índice de variação correspondente.

No ano de 2022, uma subscrição mensal de uma plataforma de streaming custava $12,50\text{ €}$. Em 2023, o preço subiu para $14,75\text{ €}$. Calcule o índice de variação e o aumento percentual que a subscrição sofreu.

Após ser aplicado um desconto de $15\text{ \%}$, um computador portátil custa $680\text{ €}$. Qual era o preço original do computador antes da promoção? Utiliza o conceito de índice de variação para o resolveres.

O salário de um jovem programador aumenta $5\text{ \%}$ ao terminar o seu primeiro ano de contrato. No entanto, no segundo ano, devido a uma crise na empresa, o seu salário é reduzido em $5\text{ \%}$. O seu salário final é igual ao inicial? Justifique a resposta calculando o índice de variação global.

Um componente eletrónico tem um preço de venda ao público de $242\text{ €}$ com o $IVA$ de $21\text{ \%}$ já incluído. Determine o preço do produto antes dos impostos (base tributável).

Um centro comercial celebra o "Dia sem IVA". Isto significa que ao preço final de venda (que já inclui o $21\text{ \%}$ de $IVA$) é descontado o valor equivalente ao imposto.

Se uma televisão tem um preço de $484\text{ €}$ ($IVA$ incluído), qual será o seu preço durante a promoção? Verifique se essa promoção equivale a um desconto de $21\text{ \%}$ sobre o preço final.

Um bilhete de cinema custa $9\text{ €}$. Se pagar com o cartão jovem, aplica-se um desconto de $20\text{ \%}$. Mas se além disso for "quarta-feira do espectador", o preço já com desconto volta a baixar $10\text{ \%}$ adicional.

1. a) Calcule o preço final do bilhete numa quarta-feira para um utilizador com cartão jovem.
2. b) Calcule o índice de variação total e a percentagem de desconto real sobre o preço inicial.

Uma loja de tecnologia anuncia os seus saldos de temporada. Uns auscultadores sem fios que custavam $120$ € têm um desconto de $15 \%$. Depois de aplicar o desconto, ao comprá-los pelo site, aplica-se-lhes uma taxa adicional de $5 \%$ por despesas de gestão de envio sobre o preço com desconto. O esquema resume o processo.

1. a) Calcula o preço final dos auscultadores.

1. b) Qual é o índice de variação global desta operação?

A Beatriz compra um computador portátil para os seus estudos cuja fatura final com o $21\,\%$ de IVA incluído ascende a $847\text{ €}$. Para descobrir o preço do equipamento antes de impostos, calcula o $21\,\%$ de $847\text{ €}$ obtendo $177,87\text{ €}$, e em seguida subtrai essa quantia: $847 - 177,87 = 669,13\text{ €}$. Identifica e explica de forma fundamentada o erro concetual cometido pela Beatriz, define o índice de variação adequado para desfazer esta percentagem e calcula o preço real do portátil antes de aplicar o imposto.

O passe jovem de transporte público de um distrito tinha uma tarifa mensal de $40\text{ €}$. No início do ano sofreu um aumento de $15\,\%$ sobre o seu valor e, seis meses mais tarde, para compensar as despesas das famílias, foi-lhe aplicado um desconto de $15\,\%$ sobre o preço já aumentado.\na) Antes de realizares cálculos numéricos no papel, estima de forma fundamentada se o preço final resultante será exatamente $40\text{ €}$, superior a $40\text{ €}$ ou inferior a $40\text{ €}$.\nb) Realiza o cálculo matemático formal utilizando os índices de variação para verificar a tua estimativa, indica o índice de variação global e determina a variação percentual efetiva em relação ao preço original de $40\text{ €}$.

Uma loja de tecnologia lança um novo modelo de auriculares sem fios ao preço de $120$ €. Devido à elevada procura, no mês seguinte decidem aumentar o seu preço em $15$ %. No entanto, ao chegar a semana da "Black Friday", aplicam um desconto de $20$ % sobre o preço aumentado. Calcule o preço final dos auriculares e determine o índice de variação global do preço.

Uma jovem influencer dedicada ao design sustentável tinha $15\,400$ seguidores na sua conta no início do ano. Após uma campanha de sensibilização sobre a reciclagem, o seu número de seguidores aumentou até atingir $19\,096$. Qual foi a percentagem de aumento na sua comunidade? Se ela espera que no próximo trimestre o crescimento seja de $8$ % sobre o valor atual, quantos seguidores terá então?

Nos saldos de janeiro, um par de ténis desportivos tem um desconto de $35$ %. Se o preço com desconto que consta na etiqueta é de $57,20$ €, qual era o preço do ténis antes de começar os saldos? Indique também a poupança total obtida em euros.

O preço de uma subscrição premium de uma plataforma de streaming é de $15,99$ € por mês, com IVA incluído. Sabendo que a taxa de IVA aplicada a esses serviços digitais na Espanha é de $21$ %, calcule:

1. a) A base tributável da fatura (o preço antes dos impostos).
2. b) O valor exato pago de IVA.
3. c) Se a plataforma anunciar um aumento da base tributável de $5$ % para o próximo ano, qual será o novo preço mensal com o IVA incluído?

Um pequeno comércio de bairro decide atualizar os preços dos seus produtos de acordo com o custo de vida. No início do ano, aumenta todos os preços em $4$ %. No verão, devido a uma promoção especial, aplica um desconto de $10$ % sobre os preços já atualizados.

1. a) Calcule o índice de variação global.
2. b) Qual foi a variação percentual total em relação ao preço original do final do ano passado?
3. c) Se um produto custava originalmente $25$ €, qual é o seu preço após as duas alterações?

Devido à melhoria nas infraestruturas de transporte, o tempo de deslocação entre duas cidades reduziu-se em $18$ % este ano. Se atualmente o trajeto é feito em $82$ minutos, quanto tempo se demorava no ano passado? Exprime o resultado em horas e minutos.

O salário bruto anual de um trabalhador sofreu as seguintes alterações num período de três anos: no primeiro ano subiu $2$ %, no segundo ano manteve-se congelado ($0$ % de variação) e no terceiro ano caiu $3$ % devido a uma reestruturação da empresa.

1. a) Calcule o índice de variação global ao final dos três anos.
2. b) Se o salário inicial era de $24\,500$ €, qual é o seu salário após o terceiro ano?
3. c) Que percentagem deveria o salário subir no quarto ano para recuperar exatamente o poder de compra inicial de $24\,500$ €?

Um investidor compra ações de uma empresa tecnológica. Durante o primeiro mês, o valor das ações sobe $20$ %. Durante o segundo mês, o valor desce $20$ %. O investidor afirma: "Fiquei igual ao início, nem ganhei nem perdi".

1. a) Demonstra matematicamente se o investidor tem razão ou não, utilizando índices de variação.

1. b) Se investiu inicialmente $5\,000$ €, qual é o valor do seu investimento após os dois meses?

1. c) Calcula a percentagem de variação global do investimento.

Uma loja de desporto oferece durante os saldos três alternativas para liquidar artigos de temporada cujo preço inicial é $P$ euros:\n- Método 1: Aplicar um desconto direto e único de $25\,\%$.\n- Método 2: Aplicar primeiro um desconto de $15\,\%$ e, em seguida, um desconto adicional de $10\,\%$ sobre o preço com desconto.\n- Método 3: Aplicar primeiro o desconto de $10\,\%$ e, sobre esse valor, o de $15\,\%$.\na) Expressa o preço final obtido com cada método em função do preço inicial $P$ utilizando índices de variação.\nb) Analisa de forma fundamentada se o Método 2 e o Método 3 dão origem ao mesmo preço final e explica a que propriedade matemática se deve.\nc) Justifica qual dos três métodos é mais vantajoso para o cliente e calcula a percentagem de desconto efetivo equivalente que se aplica no Método 2.

De acordo com dados do Instituto Nacional de Estatística (INE) sobre o mercado de arrendamento numa capital de distrito, o preço médio do metro quadrado variou da seguinte forma ao longo de três anos consecutivos: em 2021 subiu $6\,\%$; em 2022 sofreu um novo aumento de $8\,\%$; e em 2023 registou uma descida de $5\,\%$.\na) Modela a evolução do preço calculando o índice de variação de cada ano e o índice de variação global correspondente ao triénio completo.\nb) Determina a variação percentual acumulada que o preço do arrendamento registou entre o início de 2021 e o final de 2023.\nc) Se a renda mensal de um apartamento custava $750\text{ €}$ no início de 2021, calcula o seu valor no final de 2023. Da mesma forma, se um inquilino pagava $870\text{ €}$ por mês no final de 2023, deduz quanto pagava no início de 2021.

Uma empresa de componentes tecnológicos para smartphones sofreu uma série de alterações nos seus custos de produção ao longo de três trimestres. No primeiro trimestre, o custo aumentou $12\%$. No segundo trimestre, devido a uma otimização de processos, o custo diminuiu $8\%$. Para o terceiro trimestre, a direção estabeleceu como objetivo que o custo final seja exatamente $5\%$ menor que o custo inicial antes de começar o primeiro trimestre. Calcule a percentagem exata de diminuição que deve ser aplicada no terceiro trimestre para atingir esse objetivo.

Um jovem programador freelancer cobrou por um projeto um total de $2\,450$ € após ter sido aplicado um aumento de $21\%$ de IVA e, posteriormente, uma retenção de $15\%$ de IRS sobre a quantia já incrementada com o IVA. No entanto, o cliente cometeu um erro e deveria ter aplicado a retenção do IRS apenas sobre a base tributável (antes dos impostos). Calcule:

1. A base tributável original do projeto.

2. A diferença de dinheiro que o programador deveria reclamar ou devolver para corrigir o erro.

Numa loja de moda urbana, aplicam-se descontos sucessivos. Primeiro, anuncia-se um desconto geral de $20\%$ sobre todos os artigos. Durante a "semana de liquidação", aplica-se um desconto adicional de $30\%$ sobre o preço já com desconto. Um cliente tem um cupão VIP que permite um desconto extra de $10\%$ sobre o último preço obtido.

Este processo de três descontos é equivalente a um único desconto de $60\%$? Justifique a resposta calculando o índice de variação global e determine qual seria o preço inicial de uma sweatshirt que acaba por custar $39,20$ € após os três descontos.

O índice de preços das rendas numa grande cidade aumentou $15\%$ no ano passado e espera-se que aumente outros $8\%$ este ano. Ao mesmo tempo, o salário médio dos jovens da cidade aumentou $2\%$ no ano passado e prevê-se uma subida de $5\%$ para este ano.

O esquema resume os dados: parte de um índice $100$ no ano 0 e mostra a subida de cada ano.

Calcula o índice de variação global das rendas e dos salários após os dois anos. Utilizando estes dados, determina em que percentagem variou realmente o poder de compra de um jovem que dedica todo o seu salário exclusivamente ao pagamento da renda.

Uma cadeia de supermercados anuncia uma promoção de "3x2" em frascos de detergente. Ao mesmo tempo, o concorrente direto oferece a segunda unidade pela metade do preço ($50\%$ de desconto na segunda unidade).

1. Calcule a percentagem de desconto real que cada uma das ofertas representa ao comprar o número mínimo de frascos necessários para aproveitar a promoção.

2. Se o preço original de um frasco em ambas as lojas é de $12$ €, qual oferta é mais vantajosa e qual é a poupança percentual da melhor em relação à pior?

Devido à inflação, o preço de um modelo de consola de videojogos subiu $25\%$ desde o seu lançamento. Para promover as vendas na Black Friday, o comércio quer aplicar um desconto de modo que o preço final seja exatamente o mesmo do preço original de lançamento.

1. Que percentagem de desconto deve o comércio aplicar sobre o preço inflacionado?

2. Se, após aplicar esse desconto, o preço é de $450$ €, qual era o preço da consola no momento anterior ao aumento pela inflação?

Um investidor distribui as suas economias por dois produtos financeiros. No Produto A, investe $60\%$ do seu capital e obtém um lucro de $15\%$. No Produto B, investe o restante e sofre uma perda de $8\%$.

Calcule o índice de variação global do seu capital total e a percentagem de ganho ou perda líquida. Se no final do ano o seu capital total somar $53\,100$ €, qual era o seu capital inicial e quanto dinheiro perdeu especificamente no Produto B?

Uma população de bactérias diminui $20\%$ a cada hora devido à aplicação de um antibiótico. No entanto, a cada 3 horas, as bactérias sobreviventes desenvolvem uma resistência que faz com que o seu número aumente repentinamente $10\%$. Se no início da experiência havia uma cultura de $500\,000$ bactérias, calcule quantas bactérias haverá ao fim de 6 horas e qual é a taxa de variação global da população nesse período de tempo.

Uma cooperativa agrícola de azeite virgem extra aumentou o preço de origem do seu produto em $30\,\%$ na primeira metade do ano devido à seca. Para a segunda metade do ano, com o objetivo de recuperar vendas no mercado nacional, a direção necessita de aplicar uma variação percentual $x\,\%$ sobre o preço aumentado de modo a que o preço final resultante represente exatamente um aumento global de $10,5\,\%$ em relação ao preço que o azeite tinha antes de começar o ano.\na) Formula uma equação baseada nos índices de variação que relacione a subida inicial, a variação desconhecida $x$ e o índice global fixado.\nb) Resolve a equação, esclarece se a variação $x$ corresponde a um aumento ou a uma redução e determina a sua percentagem exata.\nc) Generaliza o raciocínio: se uma grandeza sofre um aumento de $r\,\%$ ($r > 0$), deduz algebricamente a expressão da percentagem de redução $d\,\%$ que deve ser aplicada em seguida sobre a quantidade resultante para recuperar de forma exata a quantidade inicial.

Durante um biénio, a inflação homóloga em Portugal (medida através do IPC) registou um aumento de $5,7\,\%$ no primeiro ano e de $3,1\,\%$ no segundo ano. Nesse mesmo período, o acordo coletivo de trabalho de uma empresa de transportes aplicou aos seus colaboradores um aumento salarial de $4\,\%$ no primeiro ano e de $2,5\,\%$ no segundo ano.\na) Modela matematicamente através de índices de variação tanto a evolução acumulada do custo de vida (IPC) como a evolução acumulada dos salários.\nb) O poder de compra salarial modela-se através do quociente entre o índice de variação do salário e o índice de variação do IPC: $I_p = \frac{I_v^{\text{salario}}}{I_v^{\text{IPC}}}$. Justifica formalmente se os trabalhadores ganharam ou perderam poder de compra no final dos dois anos e calcula a percentagem exata desse ganho ou perda.\nc) Se um funcionário recebia um salário mensal líquido de $1\,700\text{ €}$ antes de se iniciar este biénio, calcula qual deveria ser o seu salário no final do terceiro ano para recuperar exatamente o poder de compra original, assumindo que a previsão de inflação para o terceiro ano é de $2\,\%$.