Variância e desvio padrão

O Tomás quer calcular a variância das temperaturas máximas registadas durante quatro dias na sua localidade: $18\text{ }^\circ\mathrm{C}$, $20\text{ }^\circ\mathrm{C}$, $22\text{ }^\circ\mathrm{C}$ e $24\text{ }^\circ\mathrm{C}$. Primeiro calcula a média, que é $\bar{x} = 21\text{ }^\circ\mathrm{C}$. Em seguida, para medir a dispersão, calcula as distâncias de cada dado à média e faz diretamente a média delas:

O Tomás conclui: «Como o resultado é $0$, a variância é $0\text{ }^\circ\mathrm{C}^2$ e significa que não há qualquer dispersão; todos os dias esteve a mesma temperatura».

1. a) Explica que erro conceptual cometeu o Tomás e por que razão a soma dos desvios em relação à média dará sempre zero em qualquer conjunto de dados.
2. b) Corrige o seu procedimento calculando a variância ($\sigma^2$) e o desvio-padrão ($\sigma$) corretos para estes quatro dias, indicando claramente as suas unidades.

Uma empresa municipal de transportes públicos (EMT) analisa os tempos de espera (em minutos) dos passageiros em duas linhas de autocarro urbano durante cinco viagens:

• Linha A: $8, 9, 10, 11, 12$ minutos.

• Linha B: $2, 6, 10, 14, 18$ minutos.

Ambas as linhas têm um tempo médio de espera de $\bar{x} = 10$ minutos.

1. a) Antes de realizar qualquer cálculo numérico de dispersão, observa os dois conjuntos de dados e estima fundamentadamente qual das duas linhas terá um desvio-padrão maior. É possível que o desvio-padrão da Linha A seja superior a $2$ minutos? Justifica a tua resposta tendo em conta o que mede o desvio-padrão.
2. b) Verifica a tua estimativa calculando a variância e o desvio-padrão exatos de cada linha.
3. c) A partir dos resultados, explica aos utilizadores que linha oferece um serviço mais regular e previsível.

Calcule a variância e o desvio-padrão do seguinte conjunto de dados, correspondentes às idades de um grupo de cinco amigos: $15, 16, 15, 17, 16$.

Dois alunos têm as seguintes notas na disciplina de Matemática:

• Aluno A: $6, 7, 6, 8, 7$

• Aluno B: $4, 9, 5, 10, 6$

Sem necessidade de fazer cálculos complexos, qual dos dois alunos apresenta maior desvio padrão? Confirme a resposta calculando o desvio padrão de ambos.

As rentabilidades mensais de uma carteira de investimentos durante o último semestre foram: $-2\%, 3\%, 1\%, -1\%, 4\%, 1\%$. Calcule a variância e o desvio-padrão destas rentabilidades expressas em percentagem.

Num inquérito sobre o número de animais de estimação por residência, foram obtidos os seguintes resultados: $0$ animais de estimação (4 residências), $1$ animal de estimação (5 residências), $2$ animais de estimação (1 residência). Calcule a variância desta distribuição.

Um conjunto de dados de uma experiência de informática é formado exclusivamente por $20$ zeros e $30$ uns. Calcule a média e a variância deste conjunto de dados.

A seguinte tabela mostra o tempo, em minutos, que os funcionários de uma fábrica demoram para chegar ao seu posto de trabalho:

• $[0, 10)$: $12$ funcionários

• $[10, 20)$: $18$ funcionários

• $[20, 30)$: $14$ funcionários

• $[30, 40)$: $6$ funcionários

Calcule a variância e o desvio-padrão do tempo de trajeto utilizando os pontos médios das classes.

O desvio padrão das alturas de um grupo de árvores de um viveiro é de $12\text{ cm}$. Se se sabe que dentro de um ano todas as árvores terão crescido exatamente $15\text{ cm}$, qual será o novo desvio padrão das suas alturas? Justifique a sua resposta utilizando as propriedades das medidas de dispersão.

Numa empresa de tecnologia, a variância dos salários mensais dos seus funcionários é de $40\,000\text{ €}^2$. Se a direção decidir aumentar todos os salários em $5\%$ (ou seja, multiplicá-los por $1,05$), qual será a nova variância dos salários?

Foi realizada uma experiência biológica medindo o comprimento de algumas folhas, obtendo-se uma variável $X$ com média $\bar{x} = 12\text{ cm}$ e desvio padrão $\sigma = 4\text{ cm}$. Para facilitar os cálculos num programa informático, define-se uma nova variável "padronizada" $Z = \frac{X - 12}{4}$. Demonstre numericamente ou aplicando as propriedades da média e da variância quais são os valores da média e da variância da nova variável $Z$.

Num estudo estatístico com $N = 40$ dados, sabe-se que a média aritmética é $\bar{x} = 5,2$ e que a soma dos quadrados de todos os dados é $\sum x_i^2 = 1250$. Utilizando a fórmula abreviada, calcule a variância e o desvio padrão.

Para calcular a variância de um conjunto de dados, podem utilizar-se duas fórmulas algebricamente equivalentes:

• Método 1 (fórmula direta): $\sigma^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{N}$

• Método 2 (fórmula abreviada): $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{N} - \bar{x}^2$

Apresentam-se duas situações de cálculo na sala de aula:

• Situação A: Tens $5$ notas inteiras ($5, 6, 7, 8, 9$) cuja média é exatamente $\bar{x} = 7$.

• Situação B: Um programa estatístico processou as idades dos $40$ participantes de uma corrida popular, cuja média é $\bar{x} = 34,6\text{ anos}$, e fornece-te diretamente os somatórios já calculados: $\sum x_i = 1384$ e $\sum x_i^2 = 49\,820$.

1. a) Analisa as vantagens e os inconvenientes de cada método e justifica qual é mais rápido e conveniente aplicar na Situação A e qual na Situação B (avalia aspetos como o arrastamento de casas decimais e o número de operações).
2. b) Aplica o método escolhido na Situação B para calcular a variância e o desvio-padrão das idades da corrida (arredonda às centésimas).

Demonstre que a variância dos $n$ primeiros números naturais $\{1, 2, 3, \dots, n\}$ é dada pela fórmula $\sigma^2 = \frac{n^2 - 1}{12}$. Aplique esta fórmula para calcular rapidamente o desvio-padrão dos números inteiros de $1$ a $25$.

(Nota: é possível utilizar as somas conhecidas $\sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}$ e $\sum_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$).

As pontuações de quatro participantes num concurso de talentos são $12, 15, x$ e $y$. Sabe-se que a média aritmética das quatro pontuações é $14$ e que $x = y$. Determine o valor das pontuações desconhecidas e calcule o desvio padrão do conjunto.

Encontre um conjunto formado por exatamente $4$ números inteiros positivos (que se podem repetir) que cumpram simultaneamente as seguintes três condições:

• A sua média aritmética é $5$.

• A sua mediana é $4,5$.

• A sua variância é $4,5$.

Um orientador educativo regista o tempo semanal (em horas inteiras) dedicado ao estudo em casa por um grupo de $4$ alunos do 10.º ano de escolaridade (4.º do ESO). Extraviou as fichas individuais, mas no seu relatório final anotou com certeza três dados:

1. A média do grupo foi exatamente $\bar{x} = 6\text{ horas}$.

2. A amplitude ou intervalo de variação foi de $4\text{ horas}$ (a diferença entre o aluno que mais horas estudou e o que menos estudou foi de $4$).

3. O desvio-padrão foi exatamente $\sigma = \sqrt{2}\text{ horas}$ (portanto, a variância é $\sigma^2 = 2\text{ horas}^2$).

1. a) Deduz passo a passo quais foram as horas dedicadas por cada um dos quatro estudantes, sabendo que todas são números inteiros. (Pista: reflete sobre os valores possíveis dos desvios $x_i - \bar{x}$ e a soma dos seus quadrados).
2. b) Verifica formalmente que os quatro valores encontrados cumprem a média, a amplitude e o desvio-padrão pedidos.

Um investigador mede o raio $r$ de uma amostra de $10$ esferas metálicas, obtendo uma média de $\bar{r} = 5\text{ cm}$ e uma variância de $\sigma_r^2 = 2\text{ cm}^2$. Ele precisa de saber a área da superfície média destas esferas para calcular a quantidade de tinta necessária. Sabendo que a área de uma esfera é $A = 4\pi r^2$, e utilizando a definição de variância $\sigma_r^2 = \frac{\sum r_i^2}{N} - \bar{r}^2$, calcule a média aritmética das áreas das superfícies das $10$ esferas.

Dada uma distribuição de dados $x_1, x_2, \dots, x_N$, define-se a função $E(k) = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (x_i - k)^2$, que representa o erro quadrático médio em relação a um valor constante $k$. Desenvolva a expressão algébrica e demonstre que o valor de $k$ que torna essa função mínima é a média aritmética ($k = \bar{x}$), e que o valor mínimo atingido pela função coincide exatamente com a variância $\sigma^2$.

Numa turma do 10.º ano, a classificação média num teste de história foi de $6,5$ pontos e o coeficiente de variação é de $20\%$. A partir destes dados, calcule a variância das classificações da turma.

Uma máquina de embalar café deve encher pacotes com um peso-alvo de $250\text{ g}$. Num controlo de qualidade foi pesada uma amostra de $50$ pacotes, obtendo-se uma média de $252\text{ g}$ e uma soma dos quadrados dos pesos de $\sum x_i^2 = 3\,175\,450$. Calcule o coeficiente de variação e determine se o processo é aceitável, sabendo que o padrão de qualidade exige que $CV < 1,5\%$.

Numa equipa de basquetebol, a altura média dos jogadores é de $1,95\text{ m}$ com um desvio padrão de $0,08\text{ m}$. Por outro lado, numa equipa de ginástica rítmica, a altura média é de $1,65\text{ m}$ com um desvio padrão de $0,07\text{ m}$. Qual equipa apresenta uma altura mais dispersa em termos relativos? Justifica a tua resposta numericamente.

A partir dos registos históricos do Instituto Português do Mar e da Atmosfera (IPMA), comparam-se as precipitações anuais acumuladas (em litros por metro quadrado, $\text{mm}$) durante uma década em duas capitais de distrito portuguesas:

• Porto: precipitação média anual $\bar{x}_1 = 1130\text{ mm}$ com um desvio-padrão $\sigma_1 = 180\text{ mm}$.

• Faro: precipitação média anual $\bar{x}_2 = 200\text{ mm}$ com um desvio-padrão $\sigma_2 = 70\text{ mm}$.

1. a) Se uma pessoa olhar apenas para o valor absoluto do desvio-padrão, em que cidade afirmaria que o volume de chuva anual varia mais de um ano para o outro?
2. b) Explica por que razão comparar diretamente os desvios-padrão neste caso não é adequado se quisermos avaliar a regularidade relativa do clima.
3. c) Calcula o Coeficiente de Variação ($CV$) de ambas as cidades e interpreta o resultado: em qual das duas cidades as precipitações são proporcionalmente mais erráticas e imprevisíveis relativamente ao seu clima habitual?

Uma escola de idiomas tem dois grupos de nível B2. O grupo da manhã tem $20$ alunos com uma nota média de $7$ e uma variância de $1,5$. O grupo da tarde tem $30$ alunos com a mesma nota média de $7$, mas com uma variância de $2,5$. Calcule a variância global dos $50$ alunos de nível B2 combinados.

Numa turma de $25$ alunos, a nota média num teste de física é de $6,2$ e o desvio padrão é de $1,4$. Ao rever os testes, o professor apercebe-se de que a nota de um aluno, que era $2$, tinha sido registada por engano, uma vez que esse aluno não compareceu. Se essa nota incorreta for eliminada do conjunto de dados, qual será a nova média e o novo desvio padrão dos $24$ alunos restantes?

Juntam-se dois grupos de alunos para formar uma única turma para uma visita de estudo. O Grupo 1 tem $15$ alunos com uma altura média de $160\text{ cm}$ e uma variância de $25\text{ cm}^2$. O Grupo 2 tem $25$ alunos com uma altura média de $168\text{ cm}$ e uma variância de $16\text{ cm}^2$. Calcule a variância da altura da turma completa formada pelos $40$ alunos.

Têm-se dois conjuntos de dados $A$ e $B$. O conjunto $A$ tem $N_A$ elementos, média $10$ e variância $4$. O conjunto $B$ tem $N_B$ elementos, média $10$ e variância $9$. Se, ao reunir ambos os conjuntos num único grupo, a variância global for $7$, determine a proporção exata entre o número de elementos de $A$ e de $B$ (ou seja, calcule o valor da fração $\frac{N_A}{N_B}$).