Reta de regressão
Numa turma de 10.º ano, o professor de Educação Física regista a altura e o peso de cada aluno. Se souberes a altura de um colega, que peso podes esperar que ele tenha? Neste apartado aprendes a traçar uma reta que resume a tendência de uma nuvem de pontos e a usá-la para estimar valores, com prudência.
A reta que melhor se ajusta
Num diagrama de dispersão, a variável explanatória (independente, $X$) vai para o eixo horizontal e a variável resposta (dependente, $Y$) para o vertical. Se a nuvem de pontos tem uma forma aproximadamente linear, podemos resumi-la com uma reta.
Porquê «mínimos quadrados»? Cada ponto fica a uma certa distância vertical da reta. Elevamos essas distâncias ao quadrado para que os desvios para cima e para baixo não se anulem, e escolhemos a reta em que a soma é a menor possível. Não precisas de demonstrar isto: na prática, a reta obtém-se com a calculadora gráfica ou a folha de cálculo.
Com tecnologia, obtém-se $y = ax + b$. Uma propriedade a reter: a reta de regressão passa sempre pelo ponto $(\bar x, \bar y)$, o centro de gravidade da nuvem. As duas retas de regressão (de $Y$ sobre $X$ e de $X$ sobre $Y$) cruzam-se nesse ponto: se tiveres as duas equações, resolve o sistema e obténs $(\bar x, \bar y)$. Por exemplo, com $y = 2x + 1$ e $x = 0{,}4y + 1{,}2$: substituindo, $x = 0{,}4(2x+1) + 1{,}2 = 0{,}8x + 1{,}6$, logo $x = 8$ e $y = 17$.
Se conheceres os parâmetros estatísticos, o declive é $a = \dfrac{s_{xy}}{s_x^2}$ (covariância a dividir pela variância de $X$) e a reta é
$$y - \bar y = \frac{s_{xy}}{s_x^2}\,(x - \bar x)$$A ordem importa: $Y$ é a variável que queremos estimar.
Calcule a equação da reta de regressão de $Y$ sobre $X$ para uma distribuição bidimensional da qual se conhecem os seguintes parâmetros estatísticos: a média de $X$ é…
Calcule a equação da reta de regressão de $Y$ sobre $X$ para uma distribuição bidimensional da qual se conhecem os seguintes parâmetros estatísticos: a média de $X$ é $\bar{x} = 5$, a média de $Y$ é $\bar{y} = 12$, a variância de $X$ é $\sigma_x^2 = 4$ e a covariância é $\sigma_{xy} = 6$. Exprima o resultado na forma $y = mx + n$.
As médias de duas variáveis estatísticas são $\bar{x} = 10$ e $\bar{y} = 25$. Verifique matematicamente se a reta $y = 1,5x + 10$ pode ser a reta de regressão válida…
As médias de duas variáveis estatísticas são $\bar{x} = 10$ e $\bar{y} = 25$. Verifique matematicamente se a reta $y = 1,5x + 10$ pode ser a reta de regressão válida para este conjunto de dados, justificando a sua resposta por meio de uma propriedade fundamental que todas as retas de regressão devem cumprir.
Uma empresa regista o gasto com publicidade $X$ (em milhares de euros) e as receitas de vendas $Y$ (em milhares de euros) durante $4$ meses consecutivos. Os pares de…
Uma empresa regista o gasto com publicidade $X$ (em milhares de euros) e as receitas de vendas $Y$ (em milhares de euros) durante $4$ meses consecutivos. Os pares de dados $(x_i, y_i)$ obtidos são: $(2, 5)$, $(3, 7)$, $(4, 9)$ e $(5, 11)$. Calcule a equação da reta de regressão de $Y$ sobre $X$.
Usar a reta para estimar, com prudência
Para estimar, substituímos o valor de $X$ na equação da reta. Se a reta do peso em função da altura é $y = 0{,}8x - 60$, um aluno com $170$ cm terá um peso estimado de $0{,}8\cdot 170 - 60 = 76$ kg.
Também podes ler a estimativa no gráfico: sobe da abcissa até à reta e lê a ordenada.
Só podemos fazer estimativas fiáveis quando a associação linear é forte e o valor de $X$ está dentro do domínio dos dados.
O resíduo de uma observação é $y_{\text{observado}} - y_{\text{previsto}}$. Para a reta $y = 1{,}6x + 0{,}5$ e o ponto $(3, 5)$: previsto $= 5{,}3$, resíduo $= 5 - 5{,}3 = -0{,}3$.
A equação da reta de regressão do peso ($Y$, em kg) em função da altura ($X$, em cm) de um grupo de alunos é $y = 0,8x - 60$. Estima qual será o peso aproximado de um…
A equação da reta de regressão do peso ($Y$, em kg) em função da altura ($X$, em cm) de um grupo de alunos é $y = 0,8x - 60$. Estima qual será o peso aproximado de um aluno que mede $170$ cm.
Observe o seguinte diagrama de dispersão que mostra a relação entre as horas de estudo semanais ($X$) e a classificação obtida num exame ($Y$). A reta azul representa a…
Observe o seguinte diagrama de dispersão que mostra a relação entre as horas de estudo semanais ($X$) e a classificação obtida num exame ($Y$). A reta azul representa a reta de regressão de $Y$ sobre $X$. Estime graficamente qual a classificação aproximada que obteria um aluno que estuda $7$ horas.
O coeficiente de correlação linear entre o número de horas de treino semanal ($X$) e o tempo registado numa corrida de obstáculos ($Y$) é $r = -0,92$. A reta de…
O coeficiente de correlação linear entre o número de horas de treino semanal ($X$) e o tempo registado numa corrida de obstáculos ($Y$) é $r = -0,92$. A reta de regressão obtida é $y = -1,5x + 50$. Os dados da amostra correspondem a atletas que treinam entre $5$ e $15$ horas. Estime o tempo para um atleta que treina $10$ horas e justifique se essa previsão é considerada fiável.
A reta de regressão da quantidade de gelados vendidos ($Y$) em função da temperatura máxima diária em $^\circ\text{C}$ ($X$) é $y = 15x - 120$. Se para amanhã estiver…
A reta de regressão da quantidade de gelados vendidos ($Y$) em função da temperatura máxima diária em $^\circ\text{C}$ ($X$) é $y = 15x - 120$. Se para amanhã estiver prevista uma temperatura de $30^\circ\text{C}$, estima quantos gelados serão vendidos. Além disso, se noutro dia foram vendidos $255$ gelados, explica se é teoricamente correto utilizar essa mesma reta para estimar a temperatura que fez ou se o procedimento rigoroso exigiria calcular outra reta distinta.
O coeficiente de correlação r
Quão boa é a reta? O coeficiente de correlação linear $r$ mede a força e o sentido da associação linear:
$$r = \frac{s_{xy}}{s_x\, s_y}$$Na prática, calcula-se com a calculadora ou a folha de cálculo.
O sinal de $r$ é sempre o do declive da reta e o da covariância.
Sabendo $r$, os desvios padrão e o ponto das médias, também se obtém o declive: $a = r\,\dfrac{s_y}{s_x}$.
A reta de $X$ sobre $Y$ tem declive $a' = r\,\dfrac{s_x}{s_y}$. Multiplicando os dois declives, obtém-se $a\cdot a' = r^2$. Por isso $r$ tem o sinal comum dos dois declives e $|r| = \sqrt{a\cdot a'}$.
Num estudo bidimensional, a equação da reta de regressão de $Y$ sobre $X$ é $y = 0,2x + 15$. Sabendo que a covariância calculada para estes dados é $\sigma_{xy} = 3,5$,…
Num estudo bidimensional, a equação da reta de regressão de $Y$ sobre $X$ é $y = 0,2x + 15$. Sabendo que a covariância calculada para estes dados é $\sigma_{xy} = 3,5$, justifique brevemente se o declive da reta obtida é coerente com o sinal da covariância.
Analisou-se a relação entre duas variáveis e obteve-se como reta de regressão de $Y$ sobre $X$ a equação $y = -3x + 20$. É possível que o coeficiente de correlação…
Analisou-se a relação entre duas variáveis e obteve-se como reta de regressão de $Y$ sobre $X$ a equação $y = -3x + 20$. É possível que o coeficiente de correlação linear desta distribuição seja $r = 0,85$? Justifique a sua resposta com base na relação entre o declive e a correlação.
Observe os dois diagramas de dispersão, A e B, que mostram a relação entre duas variáveis e incluem as suas respetivas retas de regressão. Em qual das duas distribuições…
Observe os dois diagramas de dispersão, A e B, que mostram a relação entre duas variáveis e incluem as suas respetivas retas de regressão. Em qual das duas distribuições será mais fiável realizar uma estimativa de $Y$ a partir de um valor de $X$ utilizando a reta de regressão? Justifique a sua resposta com base no conceito visual de correlação e dispersão.
Conhecem-se as equações das duas retas de regressão de uma distribuição bidimensional: $y = 0,5x + 2$ (reta de regressão de $Y$ sobre $X$) e $x = 1,28y - 1,56$ (reta de…
Conhecem-se as equações das duas retas de regressão de uma distribuição bidimensional: $y = 0,5x + 2$ (reta de regressão de $Y$ sobre $X$) e $x = 1,28y - 1,56$ (reta de regressão de $X$ sobre $Y$). Calcule o coeficiente de correlação linear $r$, sabendo que a correlação entre as duas variáveis é positiva.
Outliers e conjuntos de Anscombe
Um único ponto muito afastado dos restantes (um outlier) pode alterar bastante a reta e o valor de $r$. Os conjuntos de Anscombe são quatro conjuntos de dados com praticamente a mesma reta e o mesmo $r$, mas com nuvens de pontos completamente diferentes: um é linear, outro curvo, outro tem um outlier, outro tem um ponto que domina a reta.
Alguns efeitos úteis de transformar os dados:
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Somar uma constante a $Y$ desloca a reta na vertical: o declive não muda e a ordenada na origem aumenta essa constante. Por exemplo, $y = 0{,}9x + 0{,}5$ passa a $y = 0{,}9x + 1{,}5$ se somarmos $1$ valor a todos os $y$.
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Mudar a escala de $X$ (por exemplo $Z = 3X - 2$) altera o declive dividindo-o pelo fator de escala (aqui, por $3$), mas $r$ mantém-se (em valor absoluto).
Se acrescentarmos ou eliminarmos um ponto, recalculamos a partir de $n$, $\bar x$, $\bar y$ e $s_{xy}$, com a convenção amostral ($n-1$). A soma dos produtos é $\sum x_i y_i = (n-1)\,s_{xy} + n\,\bar x\,\bar y$. Com o novo número de pontos $n'$, a nova média é $\bar x' = \dfrac{n\bar x \pm x_0}{n'}$ (e igual para $y$), e a nova covariância é $\dfrac{\sum x_i y_i \pm x_0 y_0 - n'\,\bar x'\,\bar y'}{n'-1}$. O mesmo vale para a variância de $X$, com $\sum x_i^2 = (n-1)\,s_x^2 + n\,\bar x^2$.
Numa turma, a reta de regressão da nota de Física ($Y$) sobre a nota de Matemática ($X$) é $y = 0,9x + 0,5$. Após rever os exames, o professor deteta um erro geral e…
Numa turma, a reta de regressão da nota de Física ($Y$) sobre a nota de Matemática ($X$) é $y = 0,9x + 0,5$. Após rever os exames, o professor deteta um erro geral e decide somar $1$ ponto extra a todas as notas de Física. Qual será a nova equação da reta de regressão de $Y$ sobre $X$? Justifica a tua resposta.
Numa distribuição bidimensional formada por $N$ dados, o centro de gravidade é o ponto $(4, 6)$ e o declive da reta de regressão de $Y$ sobre $X$ é $1,5$. Se for…
Numa distribuição bidimensional formada por $N$ dados, o centro de gravidade é o ponto $(4, 6)$ e o declive da reta de regressão de $Y$ sobre $X$ é $1,5$. Se for adicionado ao estudo um novo dado que coincide exatamente com o ponto $(4, 10)$, o valor do declive da reta de regressão mudará? Demonstre matematicamente a sua resposta analisando como as fórmulas da covariância e da variância se modificam.
Temos uma distribuição bidimensional com $100$ dados. A média de $X$ é $50$ e a média de $Y$ é $80$. A covariância é $120$ e a variância de $X$ é $60$. Após uma revisão…
Temos uma distribuição bidimensional com $100$ dados. A média de $X$ é $50$ e a média de $Y$ é $80$. A covariância é $120$ e a variância de $X$ é $60$. Após uma revisão de qualidade, descobre-se que um dos pares de dados, concretamente o ponto $(50, 80)$, foi registado incorretamente por uma falha do sensor e decide-se eliminá-lo do estudo. Calcule a nova equação da reta de regressão de $Y$ sobre $X$ para os $99$ dados restantes e compare-a com a reta original.
A reta de regressão de $Y$ sobre $X$ de uma experiência tem por equação $y = ax + b$. Se, por uma mudança de escala, definirmos uma nova variável $Z = 3X - 2$, determine…
A reta de regressão de $Y$ sobre $X$ de uma experiência tem por equação $y = ax + b$. Se, por uma mudança de escala, definirmos uma nova variável $Z = 3X - 2$, determine qual será o declive da nova reta de regressão de $Y$ sobre $Z$. Exprima o resultado em função do parâmetro original $a$.
Correlação não é causa-efeito
Um $r$ perto de $1$ diz que as variáveis variam juntas com regularidade. Não diz porquê.
Estudou-se a relação entre a antiguidade de um modelo de carro ($X$, em anos) e o seu valor no mercado de segunda mão ($Y$, em milhares de euros). A reta de regressão…
Estudou-se a relação entre a antiguidade de um modelo de carro ($X$, em anos) e o seu valor no mercado de segunda mão ($Y$, em milhares de euros). A reta de regressão obtida é $y = -1,2x + 18$. Se um carro tem $5$ anos, qual é o seu valor estimado? Além disso, interprete qual é o significado, neste contexto real, da ordenada na origem da reta.
Uma associação de comerciantes de uma cidade portuguesa quer prever as receitas anuais ($Y$, em milhares de euros) dos novos negócios em função da área útil do espaço…
Uma associação de comerciantes de uma cidade portuguesa quer prever as receitas anuais ($Y$, em milhares de euros) dos novos negócios em função da área útil do espaço comercial ($X$, em $\text{m}^2$). A amostra de estabelecimentos registados conta com áreas entre $50\text{ m}^2$ e $250\text{ m}^2$. Para estimar as receitas de um novo espaço de $140\text{ m}^2$, debatem-se três métodos:
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Método 1: Atribuir diretamente o valor da média amostral das receitas ($\bar{y}$) a qualquer espaço, independentemente da sua área.
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Método 2: Utilizar a reta de regressão de $Y$ sobre $X$ avaliada em $x = 140$, sabendo que o coeficiente de correlação amostral é $r = 0,82$.
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Método 3: Aplicar uma regra de três simples proporcional tomando unicamente como referência o maior espaço da amostra ($250\text{ m}^2$ e $180$ mil euros de faturação).
- a) Compara as vantagens e limitações de cada proposta e justifica qual é a mais sólida e rigorosa do ponto de vista estatístico.
- b) Fundamenta que hipótese geométrica implícita é assumida pelo Método 3 relativamente à ordenada na origem e explica por que razão costuma falhar em economia.
- c) Se o coeficiente de correlação da amostra tivesse sido $r = 0,08$, fundamenta se continuarias a recomendar o mesmo método escolhido na alínea a) ou se algum dos outros dois passaria a ser mais razoável.
Folha de cálculo: estudo prático
Pergunta: os dias de treino na semana anterior relacionam-se com o número de acertos numa mesma ficha de 20 perguntas? Ensaia com estas cinco parelhas inventadas:
| Linha | A: dias de treino | B: acertos |
|---|---|---|
| 2 | 1 | 12 |
| 3 | 2 | 13 |
| 4 | 3 | 15 |
| 5 | 4 | 14 |
| 6 | 5 | 16 |
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Escreve os cabeçalhos em A1:B1 e os dados em A2:B6. Nunca ordenes as colunas em separado: as parelhas têm de se manter.
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Seleciona os dados e insere um diagrama de dispersão (XY) com os dias na horizontal. Acrescenta uma linha de tendência linear e mostra a equação: deves obter $y = 0{,}9x + 11{,}3$.
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Calcula $r$ com a função de correlação da folha: $r = 0{,}9$. Há associação linear positiva forte.
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Para $4$ dias, a estimativa é $0{,}9\cdot 4 + 11{,}3 = 14{,}9$ acertos. Os resíduos são $-0{,}2;\ -0{,}1;\ 1;\ -0{,}9;\ 0{,}2$: a reta não passa por todos os pontos, e é normal.
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Não extrapoles para $10$ dias numa semana de $7$.
Conclusão: nestes dados fictícios há associação linear positiva, mas não está provado que treinar mais seja a única causa: o aluno pode ter mais conhecimentos prévios, por exemplo.
Para o desafio seguinte, lembra que uma tabela de frequências bidimensional conta quantas vezes surge cada par de valores $(x, y)$. As distribuições marginais obtêm-se somando as linhas (distribuição de $X$) e as colunas (distribuição de $Y$), ignorando a outra variável.
Conhecem-se os seguintes parâmetros estatísticos de uma distribuição bidimensional: o coeficiente de correlação é $r = 0,8$, o desvio padrão de $X$ é $\sigma_x = 2$, o…
Conhecem-se os seguintes parâmetros estatísticos de uma distribuição bidimensional: o coeficiente de correlação é $r = 0,8$, o desvio padrão de $X$ é $\sigma_x = 2$, o desvio padrão de $Y$ é $\sigma_y = 5$, e o centro de gravidade é o ponto $(12, 40)$. A partir destes dados, calcule a equação da reta de regressão de $Y$ sobre $X$.
Desafio do tema. O uso dos ecrãs afeta o nosso descanso? Investiga-o analisando dados do teu meio com uma folha de cálculo ou GeoGebra. 1. Recolha de dados e tabela:…
Desafio do tema. O uso dos ecrãs afeta o nosso descanso? Investiga-o analisando dados do teu meio com uma folha de cálculo ou GeoGebra.
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Recolha de dados e tabela: Pergunta a $15$ pessoas do teu meio as suas horas diárias de telemóvel ($X$) e de sono ($Y$). Elabora a tabela de frequências bidimensional e obtém as distribuições marginais de ambas as variáveis.
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Distribuições condicionadas: Calcula a distribuição condicionada das horas de sono para quem usa o ecrã mais de $4$ horas diárias e compara-a com a média global. Notam-se diferenças à primeira vista?
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Covariância e regressão: Na ferramenta digital, encontra a covariância ($\sigma_{xy}$) e interpreta o seu sinal. Obtém a reta de regressão e estima de forma fundamentada quanto dormiria alguém com $5,5$ horas de ecrã.
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Relatório final: Apresenta um breve relatório (uma página) com a nuvem de pontos, a reta ajustada e as tuas conclusões fundamentadas sobre a fiabilidade da previsão e o impacto do telemóvel no descanso.
Será valorizado:
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Organização rigorosa das tabelas de dupla entrada, distribuições marginais e condicionadas.
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Cálculo e interpretação matemática correta da covariância e da reta de regressão mediante software.
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Coerência, clareza e sentido crítico nas conclusões do relatório a partir dos dados obtidos.
Volta ao princípio: para estimar o peso a partir da altura, calcula-se a reta de regressão do peso ($Y$) sobre a altura ($X$) e substitui-se a altura na equação. A estimativa só é fiável se $r$ estiver perto de $\pm 1$, se a nuvem for aproximadamente linear e se a altura estiver dentro do intervalo dos dados.