Cálculo de anuidades e mensalidades

Uma família solicita um empréstimo de $5\,000 \euro$ para comprar uma mota em segunda mão. O banco concede-lhes o empréstimo com juros de $5 \%$ anuais, que devem devolver em 4 anuidades iguais pagáveis no final de cada ano. Determine o valor dessa anuidade de amortização.

A Maria está a planear ir a um festival de música quando terminar o Ensino Secundário, daqui a 3 anos. Para custear as despesas, decide abrir uma conta de poupança jovem que lhe oferece juros compostos de $3 \%$ anuais. Se depositar $250 \euro$ no início de cada ano, que capital total terá acumulado para a sua viagem ao finalizar os três anos?

Um aluno do 11.º ano quer comprar um computador "gaming" que custa $1\,200 \euro$. Uma loja de informática permite-lhe pagá-lo em 12 prestações mensais iguais com juros de $6 \%$ anuais nominais. Sabendo que a taxa de juro mensal é calculada como $i = \frac{0,06}{12}$, utilize a fórmula da renda de amortização para calcular o valor da mensalidade que deverá pagar no final de cada mês.

Calcule a mensalidade necessária para amortizar uma dívida de $2\,400 \euro$ contraída pela compra de uma máquina fotográfica profissional, se o empréstimo for devolvido em 2 anos a uma taxa de juro nominal de $4,8 \%$ anuais com pagamentos mensais.

Uma família solicita um empréstimo de $15\,000$ € para remodelar a cozinha e a casa de banho da sua habitação. O banco concede-lhe o crédito a juros anuais de $5\%$ a devolver em $4$ anos mediante prestações mensais fixas postecipadas (no final de cada mês).

1. a) Determine o valor da prestação mensal que deverá pagar.
2. b) Calcule o capital total que acabará por pagar ao banco após os $4$ anos.
3. c) Que percentagem do capital total pago corresponde aos juros?

Um investidor particular quer ter poupado $50\,000$ € num prazo de $8$ anos. Para isso, vai realizar depósitos trimestrais num fundo que lhe oferece $3\%$ de juro anual nominal.

1. a) Qual é a taxa de juro trimestral aplicada?
2. b) Que quantia deve depositar a cada trimestre para atingir o seu objetivo?
3. c) Se ao fim de $4$ anos as taxas de juro do mercado subirem para $4\%$ anuais nominais, como variará a prestação trimestral para os $4$ anos restantes se quiser manter o mesmo objetivo final?

Lucas quer comprar uma mota elétrica que custa $4\,200$ €. Para não se descapitalizar, decide financiá-la a $6\%$ de juros anuais nominais, comprometendo-se a pagar mensalidades de $120$ €.

1. a) Utiliza a fórmula das anuidades de amortização para calcular quantos meses levará para pagar a mota (precisarás de utilizar logaritmos).
2. b) Se decidir pagar a mota em exatamente $3$ anos, qual deveria ser a prestação mensal fixa?

Um utilizador financia uma compra extraordinária de $C_0 = 2\,500$ € utilizando um cartão de crédito na modalidade 'revolving' com uma taxa de juro nominal de $19,2\%$ anual ($i = \frac{0,192}{12} = 0,016$ mensal). A publicidade do cartão afirma: «Paga comodamente a partir de apenas $35$ € por mês».

1. a) Tenta determinar formalmente o número de meses $n$ necessários para liquidar a dívida com uma prestação mensal de $a = 35$ € aplicando a fórmula $n = \frac{-\ln(1 - \frac{C_0 \cdot i}{a})}{\ln(1+i)}$. Explica a impossibilidade matemática que ocorre ao avaliar o argumento do logaritmo e fundamenta financeiramente por que razão, ao comparar a prestação com os juros gerados num mês ($C_0 \cdot i$), a dívida cresceria indefinidamente em vez de diminuir.
2. b) Deduz qual é a prestação mensal mínima teórica que permitiria não gerar dívida adicional e calcula a prestação fixa mensal que deveria ser estabelecida para extinguir o empréstimo num prazo razoável de $3$ anos ($36$ meses).
3. c) Se o titular escolher uma prestação fixa mensal de $60$ €, calcula o número de meses $n$ que demorará a liquidar a dívida (arredondando para cima) e o valor total desembolsado. Demonstra com estes cálculos por que razão as prestações fixadas muito perto do limiar $C_0 \cdot i$ provocam o fenómeno financeiro conhecido como 'dívida cativa'.

Um clube de desportos eletrónicos de uma escola decide poupar para renovar as suas cadeiras. Depositam $100 \euro$ no início de cada trimestre numa conta que rende $4 \%$ anuais compostos. Se a capitalização é trimestral ($n=4$ períodos por ano), calcule o capital que terão conseguido poupar ao fim de um ano completo (4 depósitos).

Uma família deseja constituir um fundo de poupança para a universidade do seu filho. Planeiam depositar $1\,500$ € no início de cada ano durante os próximos $10$ anos. A instituição financeira garante-lhes juros compostos de $4,25\%$ anuais.

1. a) Que capital terão acumulado logo após efetuar o décimo depósito?
2. b) Que capital terão um ano após o último depósito (no final do décimo ano)?

Nota: Tenha em conta se a anuidade é antecipada (no início) ou postecipada (no final).

Uma jovem empreendedora de 22 anos decide planear a sua independência financeira. O seu objetivo é ter acumulado $100\,000$ € quando completar 35 anos. Para isso, estabelece o seguinte plano de poupança numa conta com juros compostos de $4,5 \%$ anuais:

1. Durante os primeiros 5 anos, fará depósitos mensais de $a$ euros no início de cada mês.

2. Durante os 8 anos seguintes, aumentará a sua capacidade de poupança e depositará $2a$ euros no início de cada mês.

Calcule o valor da parcela mensal inicial $a$ necessária para atingir o seu objetivo.

Um pequeno comércio compra uma carrinha de entregas avaliada em $22\,000$ €. Dá uma entrada de $4\,000$ € e financia o restante a $4,8\%$ de juros anuais nominais. O contrato estipula o pagamento mediante anuidades constantes durante $5$ anos.

1. a) Calcule o valor da anuidade de amortização.
2. b) Elabore as duas primeiras linhas da tabela de amortização (indicando para cada ano: capital em dívida, juros, capital amortizado e prestação).

Os pais criam um fundo para a universidade da sua filha com juros compostos de $6 \%$ anuais. Decidem realizar depósitos de $2\,400$ € no início de cada ano. No entanto, devido à inflação, decidem que cada anuidade seja $3 \%$ superior à do ano anterior (progressão geométrica das parcelas).

Calcule o capital acumulado no fundo ao fim de 15 anos.

Ajuda: Deverás somar os valores capitalizados de cada anuidade de forma individual e observar que eles formam uma nova progressão geométrica.