Distribuições marginais

Na seguinte tabela de dupla entrada faltam os totais marginais (as somas das linhas e das colunas).

Copie a tabela e complete os valores marginais que faltam.

Dada a seguinte tabela de dupla entrada para as variáveis $X$ e $Y$:

Escreva a tabela da distribuição marginal da variável $X$.

Observe a seguinte tabela de frequências conjuntas:

Identifique o valor da frequência marginal $n_{2 \bullet}$ (o total de indivíduos com $X=2$) e o valor da frequência marginal $n_{\bullet 3}$ (o total de indivíduos com $Y=300$).

Foram recolhidos os seguintes pares de valores $(x_i, y_i)$ ao observar 5 indivíduos:

$(1, 5), (2, 5), (1, 6), (3, 5), (2, 6)$

A partir destes dados, construa a tabela da distribuição marginal da variável $Y$.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Num grupo de 10 amigos, foi perguntado o número de irmãos ($X$) e o número de animais de estimação ($Y$). Os resultados $(X, Y)$ são:

$(1, 1), (2, 0), (1, 1), (0, 2), (2, 1), (1, 0), (3, 0), (1, 1), (0, 1), (2, 0)$

Escreva a tabela da distribuição marginal do número de animais de estimação ($Y$).

Foi registado o número de horas de estudo semanais ($X$) e a classificação obtida num teste ($Y$) para 10 alunos:

$(5, 6), (7, 8), (4, 5), (8, 9), (5, 5), (6, 7), (7, 7), (9, 10), (4, 6), (6, 8)$

Construa a tabela de dupla entrada de frequências absolutas. A partir dela, obtenha a distribuição marginal das classificações ($Y$) e determine que percentagem de alunos obteve uma classificação marginal superior a 6.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

A distribuição marginal de uma variável bidimensional para a sua componente $X$ é dada pela seguinte tabela:

Calcule a média marginal $\bar{x}$.

A distribuição marginal da variável $Y$ num estudo estatístico é a seguinte:

Sabendo que a sua média marginal é $\bar{y} = 0,8$, calcule a variância marginal $\sigma_Y^2$.

Num inquérito sobre mobilidade urbana do Consórcio de Transportes, pergunta-se a 50 utilizadores de autocarro o número de transbordos que realizam no seu trajeto habitual ($X$) e o tempo médio de espera em minutos ($Y$). Os resultados apresentam-se na seguinte tabela de dupla entrada:

1. a) Constrói a tabela da distribuição marginal da variável $X$ (número de transbordos), indicando os valores $x_i$ e as respetivas frequências marginais $f_{i\bullet}$.
2. b) Calcula a média marginal $\bar{x}$.
3. c) Interpreta o que descreve o valor de $\bar{x}$ no contexto das deslocações habituais destes cidadãos.

Um grupo de estudantes do 4.º ano do ESO recolhe dados sobre o número de irmãos ($X$) e as horas semanais dedicadas aos videojogos ($Y$) numa amostra de 30 colegas de escola:

O Marcos quer calcular a média marginal do número de irmãos ($\bar{x}$) e escreve no seu caderno:

«Os valores possíveis da variável $X$ são 0, 1 e 2 irmãos. Portanto, a média é $\bar{x} = \frac{0 + 1 + 2}{3} = \frac{3}{3} = 1$ irmão».

1. a) Explica com clareza qual é o erro concetual que o Marcos cometeu e por que razão o seu método daria sempre o mesmo resultado, independentemente do número real de alunos que tenham 0, 1 ou 2 irmãos.
2. b) Corrige o procedimento: obtém a distribuição marginal de $X$ com as suas frequências correspondentes e calcula o valor real da média marginal $\bar{x}$.

Um biólogo estuda uma espécie de anfíbio, registando a sua massa $X$ (em kg) e o seu comprimento $Y$ (em cm). Os resultados estão agrupados na seguinte tabela de dupla entrada:

Calcule as médias marginais $\bar{x}$ e $\bar{y}$ de ambas as variáveis.

Num estudo de mercado sobre o preço de um produto $X$ (agrupado em intervalos de euros) e o número de vendas diárias $Y$, obtém-se:

Obtenha a distribuição marginal de $X$ utilizando as marcas de classe e calcule a sua média marginal.

Analisa-se a duração da bateria $X$ (em horas) e o tamanho do ecrã $Y$ (em polegadas) de vários modelos de tablets:

Construa a distribuição marginal da duração da bateria ($X$) e calcule o seu desvio padrão marginal.

Registam-se a temperatura média $X$ (em °C) e os dias de chuva mensais $Y$ em várias cidades:

Extraia as distribuições marginais de $X$ e $Y$. Verifique numericamente que a soma das frequências marginais de $X$ coincide com a soma das frequências marginais de $Y$ e que ambas equivalem à dimensão total da amostra $N$.

Numa equipa de basquetebol analisa-se o número de faltas cometidas ($X$) e os pontos marcados ($Y$) por jogo. A tabela conjunta tem uma frequência desconhecida $f$:

Sabendo que a média marginal dos pontos marcados é $\bar{y} = 9{,}5$, encontra o valor da frequência desconhecida $f$.

Uma empresa de entregas expresso analisa uma frota de $N = 20$ carrinhas de acordo com duas variáveis: o número de distritos atribuídos ($X$, que só assume os valores 10 ou 20 distritos) e o turno de distribuição ($Y$, em que 1 representa o turno da manhã e 2 o da tarde).

Extraviaram-se os dados individuais da tabela conjunta, mas conhecem-se duas condições marginais:

1) A média marginal do número de distritos atribuídos é $\bar{x} = 14$.

2) O número total de carrinhas atribuídas ao turno da manhã ($Y = 1$) é exatamente o triplo das atribuídas ao turno da tarde ($Y = 2$).

1. a) Apresenta as equações necessárias para deduzir as frequências marginais de $X$ ($f_{1\bullet}$ e $f_{2\bullet}$) e as frequências marginais de $Y$ ($f_{\bullet 1}$ e $f_{\bullet 2}$).
2. b) Cria uma tabela de dupla entrada de dimensão $2 \times 2$ com frequências conjuntas interiores não nulas que cumpra rigorosamente todas as frequências marginais que calculaste.

Numa fábrica analisa-se o número de defeitos $X$ e o tempo de revisão $Y$ (em minutos) de um lote de peças. A tabela de frequências conjuntas contém dois parâmetros $a$ e $b$:

Sabe-se que a dimensão total da amostra é $N = 40$ e que a média marginal do número de defeitos é $\bar{x} = 0,8$. Determine os valores das frequências $a$ e $b$.

Um estudo relaciona o nível de rendimento $X$ (em milhares de euros) e o índice de satisfação $Y$ (de 1 a 3). Em vez de frequências absolutas, são fornecidas as frequências relativas conjuntas $h_{ij}$:

Calcule as distribuições marginais relativas e, a partir delas, obtenha as médias marginais $\bar{x}$ e $\bar{y}$.

Avalia-se a resistência à tração $X$ (em MPa) e a percentagem de carbono $Y$ em ligas de aço. A tabela está incompleta, mas conhecem-se os totais marginais:

Reconstrói a tabela de dupla entrada completa. Em seguida, calcula a variância marginal de $Y$.

O gráfico de bolhas a seguir representa a distribuição bidimensional do Nível de Risco ($X$) e do Retorno esperado ($Y$) de um conjunto de carteiras de investimento. O número dentro de cada bolha indica a frequência conjunta.

A partir do gráfico, extraia as distribuições marginais de ambas as variáveis e calcule a média marginal do Retorno ($\bar{y}$).

Uma loja regista o preço base $X$ (em euros) e o número de unidades vendidas $Y$ de diferentes artigos. A distribuição marginal dos preços base $X$ obtida da tabela bidimensional é:

Sabendo que o preço final de venda ao público ($X'$) é calculado aplicando um imposto fixo de 5 euros mais um acréscimo de 20% sobre o preço base (ou seja, $X' = 1,20X + 5$), calcule a média e o desvio-padrão marginal dos preços finais $X'$ sem ter de transformar cada um dos valores individualmente.

Numa fábrica de componentes mecânicos controla-se o comprimento em centímetros ($X$) de uma peça e a sua resistência ao desgaste ($Y$). A partir da distribuição marginal de $X$, o departamento de qualidade já obteve que a média é $\bar{x} = 12\text{ cm}$ e o seu desvio-padrão é $\sigma_x = 0,4\text{ cm}$ (pelo que a sua variância é $\sigma_x^2 = 0,16\text{ cm}^2$).

Para adaptar os projetos a uma norma internacional, exige-se exprimir o comprimento em milímetros e adicionar uma margem fixa de montagem de 5 mm, aplicando a transformação linear $X' = 10 \cdot X + 5$.

Para determinar a nova média marginal $\bar{x}'$ e a nova variância marginal $\sigma_{x'}^2$, propõem-se dois métodos:

• Método 1: Transformar cada valor individual original $x_i$ calculando $x'_i = 10 \cdot x_i + 5$, refazer toda a tabela de frequências marginais e aplicar desde o início as fórmulas gerais com somatórios.

• Método 2: Utilizar diretamente as propriedades algébricas das mudanças de origem e de escala sobre os parâmetros já conhecidos: $\bar{x}' = a\bar{x} + b$ e $\sigma_{x'}^2 = a^2 \cdot \sigma_x^2$.

1. a) Aplica o Método 2 para calcular numericamente $\bar{x}'$ e $\sigma_{x'}^2$.
2. b) Compara ambos os métodos e justifica qual é o mais eficiente quando se trabalha com bases de dados reais de milhares de registos. Ambos os caminhos chegam exatamente ao mesmo resultado?
3. c) Explica detalhadamente por que razão a parcela $+5$ altera o valor da média, mas não produz qualquer alteração no cálculo da variância marginal.

Analisa-se a idade $X$ (em intervalos) e o número de filhos $Y$ de um grupo de famílias:

Calcule a média e a variância marginal da Idade ($X$) usando as marcas de classe. Se por um erro de registo for necessário aplicar um fator de correção somando 2 anos a cada marca de classe, quais serão a nova média e variância marginais de $X$ sem a necessidade de recalcular toda a tabela? Justifique a sua resposta com base nas propriedades da média e da variância.

Num ensaio clínico relaciona-se a dose de um medicamento $X$ (em mg) com os dias de recuperação $Y$:

Calcule o coeficiente de variação marginal da variável $Y$ para analisar a sua dispersão relativa.

Estuda-se a quantidade de fertilizante $X$ (em kg/ha) e o rendimento da colheita $Y$ (em toneladas/ha) em diferentes parcelas:

Calcule a variância marginal de $X$ e a variância marginal de $Y$. Qual das duas variáveis apresenta maior dispersão absoluta?

Numa experiência termodinâmica mede-se a pressão $X$ (em atm) e o volume $Y$ (em litros), agrupando os dados em intervalos:

Extraia as distribuições marginais utilizando os pontos médios das classes. Calcule os respetivos desvios padrão marginais e determine qual variável tem maior dispersão relativa mediante o cálculo do coeficiente de variação marginal.

Um ecologista mede a quantidade de luz solar $X$ e o crescimento de uma planta $Y$. Os dados estão resumidos na seguinte tabela:

Demonstre numericamente que o cálculo da média marginal de $X$ utilizando a fórmula completa bidimensional $\bar{x} = \frac{1}{N} \sum_{i} \sum_{j} x_i \cdot n_{ij}$ dá exatamente o mesmo resultado que se primeiro for extraída a distribuição marginal de $X$ e aplicada a fórmula unidimensional $\bar{x} = \frac{1}{N} \sum_{i} x_i \cdot n_{i \bullet}$. Mostre o desenvolvimento passo a passo de ambos os métodos.

O Instituto Nacional de Estatística (INE) estuda numa amostra de 100 explorações agrícolas a área de cultivo em hectares ($X$) e o volume anual de água de rega utilizado em milhares de metros cúbicos ($Y$):

1. a) Obtém separadamente as distribuições marginais de $X$ e de $Y$, e calcula para cada uma delas a sua média e a sua variância marginal: $\bar{x}$, $\sigma_x^2$, $\bar{y}$ e $\sigma_y^2$.
2. b) Um relatório técnico preliminar conclui: «Como a variância da água de rega ($\sigma_y^2$) é numericamente superior à variância da área ($\sigma_x^2$), as explorações são mais heterogéneas e dispersas no consumo hídrico do que no tamanho do terreno». Justifica fundamentadamente por que motivo esta comparação direta entre variâncias não é estatisticamente válida.
3. c) Calcula o coeficiente de variação de cada variável ($CV = \frac{\sigma}{\bar{x}}$) e determina, com base neste indicador adimensional, qual das duas variáveis apresenta, na realidade, maior dispersão relativa.

Foi estudada a relação entre duas variáveis estatísticas $X$ e $Y$, obtendo-se a seguinte tabela de frequências conjuntas:

Determine a distribuição marginal da variável $Y$ e calcule a dimensão total da população $N$.