Método de Borda
Numa turma de 10.º ano, o delegado de turma é escolhido por maioria simples: ganha quem tiver mais votos. Mas e se o vencedor for o preferido de poucos e o último lugar de quase todos os outros? Cada aluno tem uma ordem de preferências completa, e o método de Borda aproveita-a toda.
O boletim de preferência
Num boletim de voto normal, escolhes um nome. Num boletim de preferência, ordenas todos os candidatos, do que mais preferes ao que menos preferes.
Escreve-se a ordem com o símbolo $\succ$, que se lê «é preferido a»: $A \succ B \succ C$ significa que o eleitor prefere $A$ a $B$ e $B$ a $C$.
Como muitos eleitores têm a mesma ordem, os resultados apresentam-se agrupados:
| Nº de eleitores | 1.ª preferência | 2.ª preferência | 3.ª preferência |
|---|---|---|---|
| 11 | A | B | C |
| 8 | B | A | C |
| 5 | C | B | A |
| 4 | A | C | B |
Cada linha é um grupo de eleitores com o mesmo boletim. O total de eleitores é a soma da primeira coluna: $11 + 8 + 5 + 4 = 28$.
Como funciona o método de Borda
A ideia: dar pontos a cada posição e somar. Com $n$ candidatos, a 1.ª preferência vale $n-1$ pontos, a 2.ª vale $n-2$, e assim sucessivamente, até $0$ pontos para a última.
Com três candidatos: $2$, $1$ e $0$ pontos. Com quatro: $3$, $2$, $1$ e $0$.
Porquê esta regra? Uma 1.ª preferência diz «este é o melhor», mas uma 2.ª preferência também diz algo: «este é melhor do que os restantes, exceto um». Os pontos medem quantos candidatos ficam abaixo do escolhido.
Os $28$ alunos de um curso vão escolher o restaurante para o jantar de fim de semestre entre três opções: A, B e C. Utiliza-se o método de Borda: cada aluno ordena as…
Os $28$ alunos de um curso vão escolher o restaurante para o jantar de fim de semestre entre três opções: A, B e C. Utiliza-se o método de Borda: cada aluno ordena as três opções; cada 1.ª preferência vale $2$ pontos, cada 2.ª vale $1$ ponto e cada 3.ª vale $0$ pontos. As preferências foram:
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$11$ alunos: $A \succ B \succ C$
-
$8$ alunos: $B \succ A \succ C$
-
$5$ alunos: $C \succ B \succ A$
-
$4$ alunos: $A \succ C \succ B$
- a) Organiza os dados numa tabela de pontuações.
- b) Calcula o total de pontos de cada restaurante.
- c) Qual é o restaurante escolhido?
Um clube desportivo de Guimarães elege o «jogador do ano» entre quatro candidatos: A, B, C e D. Votam $40$ sócios pelo método de Borda: $3$ pontos para a 1.ª…
Um clube desportivo de Guimarães elege o «jogador do ano» entre quatro candidatos: A, B, C e D. Votam $40$ sócios pelo método de Borda: $3$ pontos para a 1.ª preferência, $2$ para a 2.ª, $1$ para a 3.ª e $0$ para a 4.ª. As preferências foram:
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$14$ sócios: $A \succ B \succ D \succ C$
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$10$ sócios: $B \succ A \succ D \succ C$
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$9$ sócios: $C \succ D \succ B \succ A$
-
$7$ sócios: $D \succ B \succ A \succ C$
- a) Calcula o total de pontos de cada candidato e indica o vencedor pelo método de Borda.
- b) Se vencesse quem tivesse mais 1.ªs preferências (maioria simples), quem ganharia?
- c) Compara os dois resultados e explica por que razão diferem.
Métodos diferentes, vencedores diferentes
Com os mesmos boletins, a maioria simples e o método de Borda podem escolher candidatos diferentes. Veja-se um exemplo: $19$ alunos escolhem o destino da visita de estudo.
| Nº de alunos | 1.ª | 2.ª | 3.ª |
|---|---|---|---|
| 8 | Sintra | Porto | Évora |
| 6 | Porto | Évora | Sintra |
| 5 | Évora | Porto | Sintra |
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Maioria simples (só contam as 1.ªs preferências): Sintra $8$, Porto $6$, Évora $5$. Ganha Sintra.
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Borda ($2$, $1$, $0$): Sintra $= 8 \times 2 + 0 + 0 = 16$; Porto $= 8 \times 1 + 6 \times 2 + 5 \times 1 = 25$; Évora $= 0 + 6 \times 1 + 5 \times 2 = 16$. Ganha o Porto.
Sintra é o preferido de mais alunos, mas é o último de $11$ dos $19$. O Porto nunca é 3.º, é um candidato «aceitável» para todos. Borda premia o consenso; a maioria simples premia o apoio mais forte.
Nenhum método é «o certo»: cada um responde a uma ideia diferente de justiça.
Os $16$ membros de uma coletividade de Bragança escolhem entre três projetos, A, B e C, pelo método de Borda ($2$ pontos para a 1.ª preferência, $1$ para a 2.ª e $0$…
Os $16$ membros de uma coletividade de Bragança escolhem entre três projetos, A, B e C, pelo método de Borda ($2$ pontos para a 1.ª preferência, $1$ para a 2.ª e $0$ para a 3.ª). As preferências foram:
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$5$ membros: $A \succ B \succ C$
-
$4$ membros: $B \succ A \succ C$
-
$3$ membros: $C \succ A \succ B$
-
$4$ membros: $C \succ B \succ A$
- a) Calcula o total de pontos de cada projeto e verifica que há um empate na 1.ª posição.
- b) Propõe um critério de desempate razoável e aplica-o para decidir o projeto vencedor. O teu critério usa informação que os pontos de Borda não aproveitam? Discute.
Limitações e estratégia
Todos os métodos têm limitações. Eis as principais.
Empates. Com poucos eleitores, é fácil dois candidatos terem a mesma pontuação. É preciso um critério de desempate combinado antes da votação, por exemplo comparar o número de 1.ªs preferências ou realizar uma segunda volta entre os empatados. Cada critério favorece uns candidatos e prejudica outros.
Voto estratégico. Os eleitores podem mentir no boletim. Se o teu candidato é A e o principal rival é B, podes pôr B em último, mesmo que o prefiras a C. Isso tira pontos a B e pode mudar o vencedor. O método de Borda é sensível a esta manipulação, porque todas as posições contam.
Transitividade e paradoxo de Condorcet. Compara os candidatos dois a dois. Com os boletins $A \succ B \succ C$ (1 grupo), $B \succ C \succ A$ (1 grupo) e $C \succ A \succ B$ (1 grupo), de igual dimensão, a maioria prefere A a B, B a C e C a A: um ciclo. A preferência coletiva não é transitiva, apesar de cada eleitor ser coerente. É o paradoxo de Condorcet.
Teorema de Arrow. Um resultado famoso mostra que nenhum sistema de votação com três ou mais candidatos cumpre simultaneamente todas as propriedades razoáveis que se esperaria dele. Não há método perfeito.
Numa votação com $19$ eleitores e três candidatos, A, B e C, usa-se o método de Borda ($2$ pontos para a 1.ª preferência, $1$ para a 2.ª e $0$ para a 3.ª). As…
Numa votação com $19$ eleitores e três candidatos, A, B e C, usa-se o método de Borda ($2$ pontos para a 1.ª preferência, $1$ para a 2.ª e $0$ para a 3.ª). As preferências sinceras dos eleitores são:
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$8$ eleitores: $A \succ B \succ C$
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$6$ eleitores: $B \succ A \succ C$
-
$5$ eleitores: $C \succ B \succ A$
- a) Determina o vencedor se todos votarem de acordo com as suas preferências sinceras.
- b) Os $8$ eleitores do primeiro grupo apercebem-se de que o candidato B é o principal adversário de A e decidem votar estrategicamente $A \succ C \succ B$, colocando B em último lugar, embora o prefiram a C. Recalcula os pontos e indica o novo vencedor.
- c) Explica o que mudou e comenta a afirmação: «No método de Borda, um grupo de eleitores pode alterar o resultado sem mudar o seu candidato favorito.»
Em resumo
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Num boletim de preferência, cada eleitor ordena todos os candidatos: $A \succ B \succ C$.
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No método de Borda, com $n$ candidatos, as posições valem $n-1,\ n-2,\ \dots,\ 0$ pontos. Soma-se, multiplicando pelo número de eleitores de cada grupo. Vence quem tiver mais pontos.
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Verificação: total de pontos $=$ n.º de eleitores $\times$ soma dos pontos de um boletim.
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Métodos diferentes (maioria simples, Borda…) podem dar vencedores diferentes com os mesmos votos.
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Limitações: empates, voto estratégico, paradoxo de Condorcet (ciclos) e, em geral, o teorema de Arrow: nenhum método é perfeito.
De volta ao início: o delegado de turma escolhido por maioria simples pode ser o preferido de poucos e o último de muitos. Borda, ao contar todas as posições, favorece o candidato mais aceitável por todos.