Progressões aritméticas

Indique quais das seguintes sucessões são progressões aritméticas e, nesse caso, dê a razão:

1. a) $4, 7, 10, 13, \ldots$

1. b) $2, 4, 8, 16, \ldots$

1. c) $20, 17, 14, 11, \ldots$

1. d) $1, 1, 1, 1, \ldots$

1. e) $3, 7, 12, 18, \ldots$

Uma progressão aritmética tem primeiro termo $a_1 = 5$ e razão $d = 3$.

1. a) Escreva os seus primeiros cinco termos.

1. b) Escreva o termo geral $a_n$.

1. c) Calcule $a_{10}$.

Numa progressão aritmética, $a_1 = 2$ e $a_5 = 14$.

1. a) Calcule a razão.

1. b) Escreva o termo geral.

1. c) Que ordem ocupa o termo $26$?

Uma conta poupança a $3 \%$ de juros simples anuais parte de um capital de $2\,000\ \text{ €}$ que não é retirado: a cada ano adicionam-se os mesmos juros sobre o capital inicial.

1. a) Porque é que os capitais ano a ano formam uma progressão aritmética? Indique o seu primeiro termo e a sua diferença.

1. b) Escreva o termo geral do capital acumulado ao fim de $n$ anos.

1. c) Qual será o capital ao fim de $6$ anos? E ao fim de $15$?

Um investidor aplica um capital inicial $C_0$ num depósito bancário remunerado a uma taxa de juro simples anual de $4\text{ \%}$ ($r = 0,04$). Pretende saber quantos anos completos devem decorrer para que o capital total acumulado atinja pelo menos o triplo do capital inicial investido ($C_n \ge 3\cdot C_0$). Dois estudantes propõem estratégias distintas:

• Método do João (termo geral): Modela a evolução como uma progressão aritmética cujo primeiro termo é o capital no final do primeiro ano, $a_1 = C_0(1 + 0,04) = 1,04\cdot C_0$, e cuja razão anual é o juro fixo gerado, $d = 0,04\cdot C_0$. Estabelece $a_n = a_1 + (n - 1)\cdot d \ge 3\cdot C_0$ e isola $n$.

• Método da Maria (juros acumulados): Raciocina que, para triplicar o capital total, os juros líquidos gerados devem igualar o dobro do capital inicial ($I = 2\cdot C_0$). Aplica a fórmula do juro simples $I = C_0\cdot r\cdot n$, estabelece $C_0\cdot 0,04\cdot n \ge 2\cdot C_0$ e isola $n$.

1. a) Resolve o problema aplicando ambos os métodos passo a passo. Obtém-se o mesmo resultado? O tempo obtido depende do montante concreto do capital inicial $C_0$?
2. b) Compara criticamente ambos os caminhos: qual deles é mais direto e reduz o risco de cometer erros de desfasamento temporal no índice $n$?
3. c) Generaliza o resultado: se o juro simples anual for de $r\text{ \%}$ e o objetivo for multiplicar o capital inicial por um fator $k$ ($k > 1$), deduz a fórmula simplificada que fornece diretamente os anos necessários $n$ em função de $r$ e $k$. Explica que método te permitiu deduzi-la com maior clareza.

Considere a progressão aritmética $3, 7, 11, \ldots$

1. a) Calcule a soma dos seus $10$ primeiros termos.

1. b) Verifique o resultado calculando primeiro $a_{10}$ e aplicando a fórmula da soma.

A Elena quer poupar para a sua viagem de finalistas. Começa por guardar $25\text{ €}$ no primeiro mês e decide aumentar a sua contribuição em $5\text{ €}$ a cada mês durante um ano completo (12 meses). Para saber quanto dinheiro reunirá, escreve no seu caderno:

$$a_{12} = 25 + (12 - 1)\cdot 5 = 25 + 55 = 80\text{ €}$$

E conclui: «Fantástico! Ao terminar o ano terei $80\text{ €}$ poupados para a viagem».

1. a) Identifica e explica detalhadamente o erro conceptual cometido pela Elena ao interpretar o resultado de $a_{12}$. O que representa na realidade essa quantia de $80\text{ €}$?
2. b) Corrige o cálculo aplicando a fórmula adequada para determinar a quantia total que a Elena terá acumulado no mealheiro ao fim dos 12 meses.
3. c) Se a viagem custar $600\text{ €}$, determina justificadamente se o dinheiro poupado será suficiente ou quanto faltará ou sobrará.

Um estudante abre uma conta-mealheiro para custear as suas deslocações de autocarro durante o ano letivo. No primeiro mês deposita $40\text{ €}$ e em cada mês acrescenta mais $10\text{ €}$ do que no mês anterior, mantendo este plano ao longo de 10 meses.

1. a) Antes de realizar cálculos detalhados, estima de forma fundamentada se o total poupado ao fim dos 10 meses estará mais próximo de $400\text{ €}$, de $850\text{ €}$ ou de $1\,500\text{ €}$. Justifica a tua estimativa pensando numa quota mensal representativa (a quota média entre o primeiro e o último mês).
2. b) Modela a situação através de uma progressão aritmética: identifica o primeiro termo $a_1$, a razão $d$ e calcula o montante exato depositado no décimo mês ($a_{10}$).
3. c) Calcula a soma total acumulada $S_{10}$ e avalia se a tua estimativa inicial foi acertada ou não, explicando a que se deve a coincidência ou o desvio.

Para a viagem de finalistas, uma aluna decide poupar seguindo uma escada: $10\ \text{ €}$ na primeira semana e, em cada semana seguinte, $5\ \text{ €}$ a mais do que na anterior, como mostra a figura.

1. a) Quanto poupará na semana $12$?

1. b) Quanto terá acumulado no total após essas $12$ semanas?

1. c) A viagem custa $650\ \text{ €}$. O valor acumulado em $16$ semanas de poupança será suficiente? Justifica.

Interpole quatro meios aritméticos entre $3$ e $18$ (ou seja, construa uma progressão aritmética de seis termos cujos extremos são $3$ e $18$).

1. a) Calcule a diferença da progressão.

1. b) Escreva os seis termos.

1. c) Verifique que a soma dos seis termos coincide com a fórmula $S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$.

O anfiteatro de um parque tem $22$ lugares na primeira fila, e cada fila seguinte tem $4$ lugares a mais do que a anterior.

1. a) Quantos lugares tem a fila $8$?

1. b) Quantos lugares há no total nas $8$ primeiras filas?

1. c) Para um espetáculo são necessários $600$ lugares. Quantas filas completas são necessárias, no mínimo?

A figura representa com barras os seis primeiros termos de uma progressão aritmética.

1. a) Leia no gráfico o primeiro termo $a_1$ e a diferença $d$, e explique por que razão as alturas das barras estão alinhadas segundo uma reta.

1. b) Escreva o termo geral $a_n$.

1. c) Calcule $a_{20}$ e a soma dos $20$ primeiros termos.

Considere as progressões aritméticas $a_n$, com $a_1 = 7$ e diferença $2$, e $b_n$, com $b_1 = 40$ e diferença $-1$.

1. a) Escreva o termo geral de cada uma.

1. b) Existe algum valor de $n$ para o qual $a_n = b_n$? Calcule-o.

1. c) Interprete o resultado: descreva em palavras como evolui cada progressão e o que significa o termo comum.

Uma cooperativa de crédito no Alentejo concebe um programa de microcréditos de $3\,960\text{ €}$ para empreendedores, que deve ser reembolsado em 12 mensalidades decrescentes estruturadas numa progressão aritmética. Por política social da entidade, são impostas duas condições: a soma das 12 prestações deve amortizar exatamente o total em dívida ($3\,960\text{ €}$) e a primeira prestação deve ser exatamente o dobro da última ($a_1 = 2\cdot a_{12}$).

1. a) A partir da fórmula da soma de uma progressão aritmética, formula uma equação que relacione $a_1$ e $a_{12}$ com o capital total, e deduz o montante exato da primeira prestação ($a_1$) e da última ($a_{12}$).
2. b) Com os valores obtidos, calcula a razão $d$ da progressão e escreve o termo geral $a_n$ que determina o pagamento de qualquer mês $n$.
3. c) Interpreta o sinal da razão $d$ neste contexto financeiro e justifica de forma fundamentada por que razão um esquema de prestações decrescentes pode ser vantajoso para um negócio em início de atividade comparativamente a uma prestação constante tradicional.

Para financiar a propina de um mestrado universitário que perfaz $5\,400\text{ €}$, uma licenciada em Portugal estabelece um plano de poupança mensal durante 2 anos (24 meses). No primeiro mês deposita $110\text{ €}$ e compromete-se a aumentar a sua contribuição mensal numa quantia fixa constante $d$ a cada mês subsequente.

1. a) Modela o plano de poupança através de uma progressão aritmética e obtém a expressão algébrica simplificada do capital total acumulado $S_{24}$ em função da razão $d$.
2. b) Calcula o aumento mensal exato $d$ que deve aplicar para reunir exatamente os $5\,400\text{ €}$ ao concluir o mês 24. Com esse valor de $d$, determina qual será a contribuição efetuada no último mês ($a_{24}$).
3. c) Ao fim de 12 meses (exatamente metade do tempo previsto), terá conseguido poupar metade do custo da propina ($2\,700\text{ €}$)? Calcula $S_{12}$ e justifica quantitativamente por que razão, nos planos com contribuições crescentes, a poupança acumulada não cresce de forma diretamente proporcional ao tempo decorrido.

Quantos termos da progressão aritmética $5, 9, 13, \ldots$ é necessário somar para obter $377$?

1. a) Escreve o termo geral $a_n$ e a expressão da soma $S_n$ dos $n$ primeiros termos.

1. b) Modela a equação $S_n = 377$ e resolve-a. Por que razão se deve descartar uma das soluções da equação de segundo grau?

Um pai oferece à filha dois planos de mesada:

• Plano A: $20\ \text{ €}$ no primeiro mês, a aumentar $2\ \text{ €}$ em cada mês.

• Plano B: $8\ \text{ €}$ no primeiro mês, a aumentar $3\ \text{ €}$ em cada mês.

1. a) Escreva o termo geral da mesada de cada plano no mês $n$.

1. b) Em que mês a mesada de ambos os planos coincide pela primeira vez?

1. c) Em que mês o total acumulado do plano B supera pela primeira vez o do plano A? Justifique utilizando as fórmulas da soma e por tentativas fundamentadas.

As medidas dos três lados de um triângulo retângulo estão em progressão aritmética de razão $d > 0$.

1. a) Exprima os três lados em função do lado médio $b$ e da razão $d$, e aplique o teorema de Pitágoras.

1. b) Demonstre que os lados são necessariamente proporcionais a $3$, $4$ e $5$.

1. c) Indique um exemplo concreto de triângulo retângulo cujos lados formam uma progressão aritmética de razão $7$.

Justifique se as seguintes afirmações sobre progressões aritméticas são verdadeiras ou falsas, demonstrando-as ou dando um contraexemplo:

1. a) «Três números $a$, $b$ e $c$ estão em progressão aritmética se e só se $b = \frac{a + c}{2}$.»

1. b) «Numa progressão aritmética, a soma de dois termos equidistantes dos extremos é sempre a mesma: $a_1 + a_n = a_2 + a_{n - 1} = a_3 + a_{n - 2} = \ldots$»

1. c) «Se se somar uma mesma quantidade a todos os termos de uma progressão aritmética, a razão altera-se.»

Dois colegas de trabalho, o Carlos e a Leonor, subscrevem respetivos planos de poupança a 10 anos (120 meses) numa instituição financeira:

• Plano A (Carlos): Contribui com $100\text{ €}$ no primeiro mês e aumenta a sua contribuição em $2\text{ €}$ a cada mês ($d_A = 2\text{ €}$).

• Plano B (Leonor): Começa com uma contribuição mais baixa, $40\text{ €}$ no primeiro mês, mas incrementa a sua quota mensal a um ritmo maior, em $3\text{ €}$ a cada mês ($d_B = 3\text{ €}$).

1. a) Determina em que mês concreto a contribuição mensal da Leonor supera pela primeira vez a do Carlos ($b_n > a_n$). Isso significa que, nesse mesmo mês, a Leonor já terá acumulado mais dinheiro total do que o Carlos? Justifica a tua resposta sem calcular ainda as somas.
2. b) Estabelece as expressões das somas acumuladas $S_n^A$ e $S_n^B$ e resolve a equação $S_n^B = S_n^A$. Interpreta as duas soluções fornecidas pela equação quadrática: que significado financeiro tem a solução $n = 0$ e em que mês exato a Leonor empataria com o Carlos em dinheiro total acumulado se o plano continuasse indefinidamente?
3. c) Sabendo que o plano termina aos 120 meses, calcula o capital acumulado final por cada um. Explica a aparente contradição de o Carlos terminar com mais dinheiro se a Leonor esteve a pagar quotas mensais superiores durante praticamente metade da duração do plano.