Tabelas de contingência
Na turma da Beatriz, quem usa óculos são mais os rapazes ou as raparigas? Para responder, não basta estudar cada variável sozinha: é preciso olhar para duas variáveis ao mesmo tempo. É para isso que servem as tabelas de contingência (ou de dupla entrada).
Frequências conjuntas e marginais
| Usam óculos | Não usam óculos | Total (marginal) | |
|---|---|---|---|
| Rapazes | $12$ | $18$ | $30$ |
| Raparigas | $10$ | $15$ | $25$ |
| Total (marginal) | $22$ | $33$ | $55$ |
Copia e completa no teu caderno a seguinte tabela de contingência, que mostra a distribuição de um grupo de alunos segundo o sexo e o uso de óculos. | | Usam óculos |…
Copia e completa no teu caderno a seguinte tabela de contingência, que mostra a distribuição de um grupo de alunos segundo o sexo e o uso de óculos.
| Usam óculos | Não usam óculos | Total | |
|---|---|---|---|
| Rapazes | $12$ | $18$ | |
| Raparigas | $15$ | $25$ | |
| Total |
Num inquérito realizado a $80$ pessoas sobre o seu meio de transporte principal para ir trabalhar, foram obtidos os seguintes resultados absolutos: | | Carro |…
Num inquérito realizado a $80$ pessoas sobre o seu meio de transporte principal para ir trabalhar, foram obtidos os seguintes resultados absolutos:
| Carro | Transporte público | A pé | Total | |
|---|---|---|---|---|
| Menos de 30 anos | $10$ | $22$ | $8$ | $40$ |
| Mais de 30 anos | $25$ | $10$ | $5$ | $40$ |
| Total | $35$ | $32$ | $13$ | $80$ |
Indique qual é a frequência absoluta conjunta das pessoas que têm "Menos de 30 anos" e vão "A pé", e calcule a frequência absoluta marginal das que usam "Carro".
Foi perguntado a $200$ clientes de uma pizzaria qual o seu tipo de massa favorito. Os resultados estão reunidos na seguinte tabela: | | Fina | Clássica | Recheada com…
Foi perguntado a $200$ clientes de uma pizzaria qual o seu tipo de massa favorito. Os resultados estão reunidos na seguinte tabela:
| Fina | Clássica | Recheada com queijo | Total | |
|---|---|---|---|---|
| Para levar | $45$ | $35$ | $20$ | $100$ |
| No local | $25$ | $50$ | $25$ | $100$ |
| Total | $70$ | $85$ | $45$ | $200$ |
Escreva a distribuição marginal da variável "Tipo de massa", indicando as respetivas frequências absolutas.
Frequências relativas
Para comparar, as frequências absolutas nem sempre chegam: usam-se frequências relativas, que dividem pelo total.
Podes escrever a tabela inteira em frações, decimais ou percentagens, mantendo sempre o mesmo $N$ no denominador.
A partir da seguinte tabela de contingência de frequências absolutas, elabore a tabela correspondente de frequências relativas globais (expressando os resultados na…
A partir da seguinte tabela de contingência de frequências absolutas, elabore a tabela correspondente de frequências relativas globais (expressando os resultados na forma de fração irredutível).
| Ciências | Humanas | Total | |
|---|---|---|---|
| Aprovados | $30$ | $20$ | $50$ |
| Chumbados | $10$ | $40$ | $50$ |
| Total | $40$ | $60$ | $100$ |
Dada a seguinte tabela que relaciona a marca do telemóvel e o grupo etário dos seus proprietários, identifique a moda da distribuição conjunta e a moda da distribuição…
Dada a seguinte tabela que relaciona a marca do telemóvel e o grupo etário dos seus proprietários, identifique a moda da distribuição conjunta e a moda da distribuição marginal da variável "Marca".
| Marca A | Marca B | Marca C | Total | |
|---|---|---|---|---|
| Jovens | $45$ | $15$ | $10$ | $70$ |
| Adultos | $20$ | $35$ | $25$ | $80$ |
| Total | $65$ | $50$ | $35$ | $150$ |
Numa escola de línguas, são oferecidas aulas de Francês e Alemão nos turnos da manhã e da tarde. A tabela mostra o número de inscritos: | | Manhã | Tarde | Total | |…
Numa escola de línguas, são oferecidas aulas de Francês e Alemão nos turnos da manhã e da tarde. A tabela mostra o número de inscritos:
| Manhã | Tarde | Total | |
|---|---|---|---|
| Francês | $24$ | $36$ | $60$ |
| Alemão | $16$ | $24$ | $40$ |
| Total | $40$ | $60$ | $100$ |
Calcule que percentagem do total de alunos representam aqueles que estudam Francês à tarde.
Frequências condicionais
Às vezes interessa uma pergunta mais fina: dos que cumprem uma condição, que proporção cumpre também a outra? É a frequência relativa condicional.
Observe a seguinte tabela que classifica os participantes de um congresso segundo a sua nacionalidade e o idioma em que preferiram receber a documentação: | | Espanhol |…
Observe a seguinte tabela que classifica os participantes de um congresso segundo a sua nacionalidade e o idioma em que preferiram receber a documentação:
| Espanhol | Inglês | Total | |
|---|---|---|---|
| Europeus | $40$ | $60$ | $100$ |
| Americanos | $30$ | $20$ | $50$ |
| Total | $70$ | $80$ | $150$ |
Calcule a frequência relativa condicional de um participante preferir a documentação em Inglês, sabendo que ele é Europeu.
Num inquérito realizado numa escola secundária do Alentejo sobre mobilidade sustentável e atividade física, recolheram-se os dados de $80$ alunos do 10.º ano na seguinte…
Num inquérito realizado numa escola secundária do Alentejo sobre mobilidade sustentável e atividade física, recolheram-se os dados de $80$ alunos do 10.º ano na seguinte tabela de contingência:
| Pratica desporto | Não pratica desporto | Total | |
|---|---|---|---|
| Tem passe de transporte | $24$ | $16$ | $40$ |
| Não tem passe de transporte | $26$ | $14$ | $40$ |
| Total | $50$ | $30$ | $80$ |
O professor coloca a seguinte pergunta: «Qual é a proporção de alunos que não praticam desporto sabendo que dispõem de passe de transporte?». O Lucas raciocina assim: «Como há $16$ alunos que têm passe e não praticam desporto num total de $80$ alunos, a proporção é $\frac{16}{80} = 0,2$ (um $20\%$ )».
- a) Explica com precisão o erro conceptual do Lucas: que tipo de frequência calculou ele e qual lhe tinham pedido na realidade?
- b) Corrige o cálculo do Lucas indicando claramente qual deve ser o total de referência (denominador) e expressa a frequência condicionada correta $h(\text{Não pratica desporto} \mid \text{Tem passe})$ sob a forma de fração simplificada e percentagem.
Numa empresa de $500$ funcionários, estuda-se a relação entre o departamento a que pertencem e o seu nível de satisfação profissional. | | Satisfeito | Indiferente |…
Numa empresa de $500$ funcionários, estuda-se a relação entre o departamento a que pertencem e o seu nível de satisfação profissional.
| Satisfeito | Indiferente | Insatisfeito | Total | |
|---|---|---|---|---|
| Vendas | $120$ | $60$ | $20$ | $200$ |
| Produção | $90$ | $110$ | $100$ | $300$ |
| Total | $210$ | $170$ | $120$ | $500$ |
Calcule a distribuição marginal da variável "Satisfação" em percentagens e a distribuição condicional do nível de satisfação dentro do departamento de "Produção".
Comparar grupos: haverá associação?
Duas variáveis estão associadas quando a distribuição de uma muda de grupo para grupo da outra. Para o ver, comparam-se as frequências condicionais com a distribuição marginal.
Se as proporções condicionais forem todas iguais à marginal, a pertença a um grupo não altera nada: não há associação. Se forem diferentes, há associação.
Durante uma campanha de segurança rodoviária da Polícia Municipal de Lisboa sobre o uso obrigatório do capacete em trotinetes elétricas (veículos de mobilidade pessoal),…
Durante uma campanha de segurança rodoviária da Polícia Municipal de Lisboa sobre o uso obrigatório do capacete em trotinetes elétricas (veículos de mobilidade pessoal), registaram-se os seguintes dados num controlo aleatório a $200$ utilizadores:
| Menos de 25 anos | Com 25 anos ou mais | Total | |
|---|---|---|---|
| Usa capacete | $30$ | $70$ | $100$ |
| Não usa capacete | $50$ | $50$ | $100$ |
| Total | $80$ | $120$ | $200$ |
- a) Antes de calculares qualquer fração ou percentagem, observa atentamente os dados das duas colunas de idade e faz uma estimativa visual prévia: em que faixa etária intuis que é proporcionalmente maior o uso do capacete? Justifica a tua intuição comparando mentalmente cada célula com o total marginal da sua coluna.
- b) Verifica a tua estimativa calculando de forma exata as frequências relativas condicionadas $h(\text{Usa capacete} \mid \text{Menos de 25})$ e $h(\text{Usa capacete} \mid \text{Com 25 ou mais})$ expressas em percentagem.
- c) Avalia se a tua estimativa inicial estava correta e redige uma breve conclusão sobre se o uso do capacete parece depender da faixa etária nesta amostra.
Um estudo médico analisa a eficácia de dois tratamentos (Tratamento A e Tratamento B) para curar uma doença de pele. Os resultados após um mês são os seguintes: | |…
Um estudo médico analisa a eficácia de dois tratamentos (Tratamento A e Tratamento B) para curar uma doença de pele. Os resultados após um mês são os seguintes:
| Curados | Não curados | Total | |
|---|---|---|---|
| Tratamento A | $72$ | $48$ | $120$ |
| Tratamento B | $54$ | $26$ | $80$ |
| Total | $126$ | $74$ | $200$ |
Calcule a percentagem de sucesso (curados) para cada um dos tratamentos separadamente e justifique, com base nessas percentagens, qual dos dois tratamentos parece ser mais eficaz.
No serviço de refeitório de uma escola analisam-se as preferências de ementa de um dia com $200$ comensais (professores e alunos): | | Ementa vegetariana | Ementa…
No serviço de refeitório de uma escola analisam-se as preferências de ementa de um dia com $200$ comensais (professores e alunos):
| Ementa vegetariana | Ementa tradicional | Total | |
|---|---|---|---|
| Professores | $12$ | $28$ | $40$ |
| Alunos | $48$ | $112$ | $160$ |
| Total | $60$ | $140$ | $200$ |
Três alunos discutem como verificar se a escolha do tipo de ementa é independente do grupo (ser professor ou aluno):
-
A Irene defende: «Como a diferença de comensais que escolhem ementa tradicional entre alunos e professores é muito grande ($112 - 28 = 84$), a escolha depende claramente do grupo».
-
A Marta propõe comparar a proporção de vegetarianos dentro do grupo de professores com a proporção de vegetarianos dentro do grupo de alunos: $h(\text{Vegetariano} \mid \text{Professores}) \stackrel{?}{=} h(\text{Vegetariano} \mid \text{Alunos})$.
-
O Sérgio propõe comparar a proporção de vegetarianos dentro do grupo de professores com a proporção marginal total de vegetarianos em toda a escola: $h(\text{Vegetariano} \mid \text{Professores}) \stackrel{?}{=} h(\text{Vegetariano})$.
- a) Explica por que razão o método proposto pela Irene é erróneo e demonstra por que razão as diferenças absolutas não são válidas quando os grupos têm dimensões totais distintas.
- b) Realiza os cálculos propostos pela Marta e pelo Sérgio. Chegam ambos os métodos à mesma conclusão relativamente ao facto de as variáveis serem independentes?
- c) A partir da teoria de tabelas de contingência («a distribuição condicionada coincide com a marginal»), justifica qual dos dois métodos válidos (o da Marta ou o do Sérgio) representa de forma mais direta e rigorosa a definição de independência estatística.
Construir e reconstruir tabelas
Muitos problemas dão só parte da informação (por vezes em percentagens) e pedem para completar a tabela. Usa o facto de cada linha e cada coluna somarem o seu total e, se for preciso, escreve uma equação com uma incógnita.
Num clube desportivo há $120$ sócios. Sabemos que $70$ jogam ténis, $50$ jogam pádel, e dos que jogam ténis, $20$ são mulheres. Se no clube há um total de $45$ mulheres,…
Num clube desportivo há $120$ sócios. Sabemos que $70$ jogam ténis, $50$ jogam pádel, e dos que jogam ténis, $20$ são mulheres. Se no clube há um total de $45$ mulheres, construa a tabela de contingência de frequências absolutas que relacione o sexo (Homem / Mulher) com o desporto praticado (Ténis / Pádel).
Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.
Numa escola de $300$ alunos, $60\%$ participam em atividades extracurriculares. Dos alunos que participam nessas atividades, $40\%$ estão inscritos em teatro. Além…
Numa escola de $300$ alunos, $60\%$ participam em atividades extracurriculares. Dos alunos que participam nessas atividades, $40\%$ estão inscritos em teatro. Além disso, sabe-se que $15\%$ do total de alunos da escola não fazem atividades extracurriculares e também não gostam de teatro. Construa a tabela de contingência de frequências absolutas e determine quantos alunos não fazem atividades extracurriculares, mas estão inscritos em teatro.
Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.
Num teste de controlo de qualidade, um detetor de metais inspeciona $1000$ bagagens. Sabe-se que $40$ bagagens contêm objetos proibidos. O detetor dispara o alarme em…
Num teste de controlo de qualidade, um detetor de metais inspeciona $1000$ bagagens. Sabe-se que $40$ bagagens contêm objetos proibidos. O detetor dispara o alarme em $35$ das bagagens que contêm objetos proibidos e também dá um alarme falso em $24$ bagagens que não contêm nada proibido. Elabore a tabela de contingência e calcule a percentagem de bagagens que realmente contêm objetos proibidos entre todas aquelas em que o alarme disparou.
Problemas mais exigentes
Nos problemas difíceis, a informação vem em pistas, em equações com um parâmetro, em diagramas de Venn ou de árvore, ou em proporções entre células. A estratégia é sempre a mesma: traduzir cada pista numa igualdade sobre as células e os totais, e resolver.
Quando a tabela vem de uma árvore ou de um diagrama de Venn, lê cada ramo ou região como uma célula: o ramo «A e depois C» é a conjunta de A e C.
Reconstrua uma tabela de contingência $2 \times 2$ com as variáveis $X$ e $Y$ a partir das seguintes informações: O total de indivíduos é $N = 200$. A frequência…
Reconstrua uma tabela de contingência $2 \times 2$ com as variáveis $X$ e $Y$ a partir das seguintes informações:
-
O total de indivíduos é $N = 200$.
-
A frequência marginal de $X_1$ é $120$.
-
A frequência marginal de $Y_2$ é $90$.
-
$30\%$ dos indivíduos que cumprem $X_1$ também cumprem $Y_1$.
Considere a seguinte tabela de contingência em que algumas frequências absolutas dependem de um parâmetro $x$: | | Acontecimento A | Acontecimento B | Total | | :--- |…
Considere a seguinte tabela de contingência em que algumas frequências absolutas dependem de um parâmetro $x$:
| Acontecimento A | Acontecimento B | Total | |
|---|---|---|---|
| Condição 1 | $x$ | $2x$ | |
| Condição 2 | $10$ | $x+5$ | |
| Total |
Sabendo que a frequência relativa marginal da "Condição 1" é igual a $0,6$, escreva uma equação, determine o valor de $x$ e reconstrua a tabela completa com valores numéricos.
Diz-se que duas variáveis estatísticas são independentes se as frequências relativas condicionais forem iguais às frequências relativas marginais correspondentes; isto…
Diz-se que duas variáveis estatísticas são independentes se as frequências relativas condicionais forem iguais às frequências relativas marginais correspondentes; isto é, a proporção se mantém constante em todas as linhas e colunas.
Dada a seguinte tabela incompleta:
| Tipo I | Tipo II | Total | |
|---|---|---|---|
| Categoria Alfa | $12$ | $18$ | $30$ |
| Categoria Beta | $8$ | $y$ | $8+y$ |
| Total | $20$ | $18+y$ | $38+y$ |
Calcule o valor exato de $y$ para que as duas variáveis ("Categoria" e "Tipo") sejam perfeitamente independentes.
Numa população de $400$ habitantes, são analisadas duas variáveis: "Pratica desporto" (Sim/Não) e "Fuma" (Sim/Não). São conhecidas as distribuições marginais: $240$…
Numa população de $400$ habitantes, são analisadas duas variáveis: "Pratica desporto" (Sim/Não) e "Fuma" (Sim/Não). São conhecidas as distribuições marginais: $240$ pessoas praticam desporto e $160$ não praticam; por outro lado, $100$ pessoas fumam e $300$ não fumam.
Construa a tabela de contingência de frequências absolutas assumindo que existe uma independência estatística perfeita entre o hábito de fumar e a prática desportiva nessa população.
Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.
Volta ao início: na tabela dos óculos, a proporção de rapazes que usam óculos é $12/30 = 0{,}40$ e a de raparigas é $10/25 = 0{,}40$, igual à proporção global ($22/55 = 0{,}40$). Nesta turma, usar óculos não depende do sexo.