Distribuições condicionadas

Dada a seguinte tabela de dupla entrada que relaciona as variáveis $X$ e $Y$:

Escreva a tabela de frequências da distribuição da variável $Y$ condicionada a $X = 10$ e calcule a dimensão desta subpopulação.

Num estudo sobre duas variáveis $X$ e $Y$, foi isolada a distribuição de $Y$ condicionada a um valor específico $x_i$, obtendo-se as seguintes frequências absolutas:

Calcule as frequências relativas condicionadas $h_{j|i}$ para cada valor de $Y$ e verifique que somam $1$.

Observe a seguinte tabela de contingência:

Determine a moda da distribuição de $Y$ condicionada a $X = 2$ e a moda da distribuição de $X$ condicionada a $Y = 30$.

A partir da distribuição conjunta das variáveis $X$ e $Y$ dada na tabela:

Calcule a média aritmética da distribuição de $X$ condicionada a $Y = 5$, ou seja, $\bar{x}_{|y=5}$.

Analisa-se o número de erros de ortografia ($Y$) num ditado segundo o ano escolar ($X$). Extraem-se as duas distribuições condicionadas para $X=3$ e $X=4$:

Distribuição $Y | X=3$:

Valores $y_j$: $0, 1, 2, 3$

Frequências: $2, 5, 2, 1$

Distribuição $Y | X=4$:

Valores $y_j$: $0, 1, 2, 3$

Frequências: $5, 3, 2, 0$

Calcule a média de erros em cada ano escolar ($\bar{y}_{|x=3}$ e $\bar{y}_{|x=4}$) e indique em que ano escolar se cometem, em média, menos erros.

Num estudo de nutrição relaciona-se o conteúdo de hidratos de carbono em gramas ($X$) e o conteúdo de proteínas em gramas ($Y$) de várias barras energéticas. Os resultados estão agrupados na seguinte tabela:

Calcule a média e o desvio padrão do conteúdo de proteínas para as barras que têm exatamente $30\text{ g}$ de hidratos de carbono (distribuição $Y|X=30$).

Numa fábrica, duas máquinas diferentes ($X=1$ e $X=2$) produzem o mesmo tipo de peça. Analisa-se o número de defeitos por lote ($Y$).

Para a Máquina 1 ($X=1$): $\bar{y}_{|x=1} = 2,5$ defeitos, $\sigma_{Y|X=1} = 0,5$ defeitos.

Para a Máquina 2 ($X=2$): $\bar{y}_{|x=2} = 8,0$ defeitos, $\sigma_{Y|X=2} = 1,2$ defeitos.

Calcule o coeficiente de variação condicionado para cada máquina ($CV = \frac{\sigma}{|\bar{y}|}$) e indique qual máquina tem uma produção mais homogénea em relação ao número de defeitos.

Numa estação meteorológica regista-se a velocidade máxima do vento ($X$, em km/h) e a humidade relativa ($Y$, em %). Os dados agrupam-se em intervalos bidimensionais:

Utilizando as marcas de classe, calcule a humidade relativa média nos dias em que a velocidade do vento esteve entre $40$ e $60\text{ km/h}$ ($\bar{y}_{|x \in [40, 60)}$).

Numa tabela de dupla entrada têm-se as seguintes frequências relativas condicionadas para a variável $Y$ em relação a dois valores de $X$:

Para $X = 1$: $h_{1|1} = 0,2$ ; $h_{2|1} = 0,8$

Para $X = 2$: $h_{1|2} = 0,5$ ; $h_{2|2} = 0,5$

Justifique se as variáveis $X$ e $Y$ são estatisticamente independentes ou dependentes, baseando-se exclusivamente nestes dados.

Realiza-se um inquérito numa escola perguntando o género ($X$: $1=\text{Chico}$, $2=\text{Chica}$) e a rede social preferida ($Y$: $1=\text{TikTok}$, $2=\text{Instagram}$, $3=\text{BeReal}$).

Calcule as distribuições de frequências relativas condicionadas $Y|X=1$ e $Y|X=2$. À luz dos resultados, o género e a rede social preferida são independentes nesta amostra?

Demonstre numericamente uma propriedade fundamental da independência estatística. Dada a seguinte tabela em que $X$ e $Y$ são independentes (as suas frequências relativas conjuntas são o produto das marginais):

Calcule a média marginal $\bar{y}$ e as médias condicionadas $\bar{y}_{|x=1}$ e $\bar{y}_{|x=2}$. Verifique que, por serem independentes, se cumpre a igualdade $\bar{y} = \bar{y}_{|x=1} = \bar{y}_{|x=2}$.

Num estudo estatístico sobre a variável $X$ (categoria profissional) e $Y$ (salário em milhares de euros), têm-se três categorias ($X=1, 2, 3$). Conhecem-se os seguintes dados das distribuições condicionadas $Y|X=x_i$:

Categoria 1: $N_1 = 10$, $\bar{y}_{|x=1} = 20$, $\sigma^2_{Y|X=1} = 4$

Categoria 2: $N_2 = 20$, $\bar{y}_{|x=2} = 30$, $\sigma^2_{Y|X=2} = 9$

Categoria 3: $N_3 = 10$, $\bar{y}_{|x=3} = 40$, $\sigma^2_{Y|X=3} = 4$

Calcule primeiro a média global marginal $\bar{y}$. Em seguida, calcule a variância marginal $\sigma_Y^2$ utilizando a fórmula de decomposição da variância (ou calculando a soma total de quadrados a partir dos dados fornecidos).

Num hospital testa-se um novo tratamento. A variável $X$ indica o tratamento ($0=\text{Estándar}$, $1=\text{Nuevo}$) e a variável $Y$ indica o resultado ($0=\text{No curado}$, $1=\text{Curado}$). Os pacientes dividem-se em dois grupos de risco, formando duas distribuições condicionadas:

Grupo de Risco Baixo:

Tratamento Padrão: $10$ curados de $50$ pacientes.

Tratamento Novo: $2$ curados de $10$ pacientes.

Grupo de Risco Alto:

Tratamento Padrão: $6$ curados de $10$ pacientes.

Tratamento Novo: $25$ curados de $50$ pacientes.

Calcule a percentagem de cura (que equivale à média $\bar{y}$) para cada tratamento dentro de cada grupo de risco. Depois, agrupe todos os pacientes e calcule a percentagem de cura global para cada tratamento. Qual tratamento parece melhor nos grupos separados e qual parece melhor globalmente? (Este fenómeno é conhecido como o Paradoxo de Simpson).

O Serviço de Saúde de uma região analisa a eficácia de dois tratamentos ($A$ e $B$) contra uma afeção respiratória sazonal. A variável $Y$ indica o resultado clínico ($1 =\text{ Curado}$, $0 =\text{ Não curado}$). O estudo é estratificado em dois grupos populacionais de acordo com a idade (Jovens e Idosos), obtendo-se os seguintes resultados:

• Grupo de doentes jovens ($120$ pessoas):

• Com o Tratamento $A$: de $100$ tratados, curam-se $80$.

• Com o Tratamento $B$: de $20$ tratados, curam-se $18$.

• Grupo de doentes idosos ($300$ pessoas):

• Com o Tratamento $A$: de $100$ tratados, curam-se $20$.

• Com o Tratamento $B$: de $200$ tratados, curam-se $50$.

1. a) Para o grupo de jovens, calcula a taxa de cura condicionada ao tratamento $A$ ($\bar{y}_{|\text{Jovem}, A}$) e ao tratamento $B$ ($\bar{y}_{|\text{Jovem}, B}$). Faz o mesmo para o grupo de idosos. Que tratamento obtém melhor taxa de sucesso em cada um dos dois grupos separadamente?
2. b) Agrupa os dados somando as pessoas de ambos os grupos etários para construir a tabela global de dupla entrada entre Tratamento ($A$ ou $B$) e Resultado ($0$ ou $1$). Calcula a taxa global de cura para cada tratamento ($\bar{y}_{|A}$ e $\bar{y}_{|B}$).
3. c) Compara os resultados obtidos na alínea (a) com os da alínea (b). Que fenómeno paradoxal observas? Apoiando-te no conceito de distribuição condicionada e nas dimensões dos subgrupos aos quais foi administrado cada tratamento, explica por que razão ocorre esta aparente contradição (Paradoxo de Simpson) e fundamenta que recomendação clínica se deveria dar.