Exercícios: Cálculo de anuidades e mensalidades

A Maria está a planear ir a um festival de música quando terminar o Ensino Secundário, daqui a 3 anos. Para custear as despesas, decide abrir uma conta de poupança jovem que lhe oferece juros compostos de $3 \%$ anuais. Se depositar $250 \euro$ no início de cada ano, que capital total terá acumulado para a sua viagem ao finalizar os três anos?

Um aluno do 11.º ano quer comprar um computador "gaming" que custa $1\,200 \euro$. Uma loja de informática permite-lhe pagá-lo em 12 prestações mensais iguais com juros de $6 \%$ anuais nominais. Sabendo que a taxa de juro mensal é calculada como $i = \frac{0,06}{12}$, utilize a fórmula da renda de amortização para calcular o valor da mensalidade que deverá pagar no final de cada mês.

Para poupar para a carta de condução, o Carlos decide depositar $60 \euro$ por mês numa conta bancária no final de cada período. O banco oferece-lhe juros de $2,4 \%$ anuais compostos com capitalização mensal. Calcule o dinheiro que terá acumulado após 2 anos (24 meses) ao realizar estes depósitos.

Nota: Lembre-se de converter a taxa de juro anual na taxa de juro mensal, dividindo por 12.

Uma família solicita um empréstimo de $5\,000 \euro$ para comprar uma mota em segunda mão. O banco concede-lhes o empréstimo com juros de $5 \%$ anuais, que devem devolver em 4 anuidades iguais pagáveis no final de cada ano. Determine o valor dessa anuidade de amortização.

Um clube de desportos eletrónicos de uma escola decide poupar para renovar as suas cadeiras. Depositam $100 \euro$ no início de cada trimestre numa conta que rende $4 \%$ anuais compostos. Se a capitalização é trimestral ($n=4$ períodos por ano), calcule o capital que terão conseguido poupar ao fim de um ano completo (4 depósitos).

Calcule a mensalidade necessária para amortizar uma dívida de $2\,400 \euro$ contraída pela compra de uma máquina fotográfica profissional, se o empréstimo for devolvido em 2 anos a uma taxa de juro nominal de $4,8 \%$ anuais com pagamentos mensais.

Um jovem aforrador decide depositar $500 \euro$ a cada ano no início do mesmo num fundo de investimento que garante $3,5 \%$ de juros anuais compostos. Utiliza a fórmula do capital final de uma anuidade de capitalização para encontrar quanto dinheiro terás ao fim de 5 anos.

Marta comprou uma trotinete elétrica financiando os $450 \euro$ que custa através de um empréstimo. O banco cobra-lhe prestações mensais fixas de $40 \euro$ no final de cada mês durante um ano. Se os juros totais pagos são a diferença entre a soma de todas as prestações e o preço a pronto pagamento, quanto dinheiro pagou Marta apenas a título de juros ao terminar o ano?

O Sérgio quer financiar a compra de um computador portátil de $1\,800$ € através de um empréstimo pessoal a $2$ anos ($24$ meses) com prestações mensais fixas postecipadas. A entidade bancária aplica-lhe uma taxa de juro nominal (TIN) anual de $6\%$. Para calcular a sua prestação mensal $a$, o Sérgio escreve no seu caderno:

e obtém $a \approx 873,79$ € por mês.

1. a) Sem necessidade de calcular a prestação real, multiplica mentalmente a prestação do Sérgio pelas $24$ mensalidades e explica de forma fundamentada por que razão o resultado é um despropósito financeiro evidente.
2. b) Identifica e explica os dois erros concetuais graves cometidos pelo Sérgio ao formular a equação.
3. c) Formula a equação correta que permite determinar a mensalidade postecipada que o Sérgio deve pagar, calcula o seu valor exato arredondado ao cêntimo e descobre a quantia total que acabará por pagar unicamente a título de juros.

A Elena tem 18 anos e propõe-se poupar para pagar a caução e as despesas de entrada de um apartamento partilhado ao terminar o seu curso profissional dentro de $3$ anos ($36$ meses). Vai depositar $150$ € no final de cada mês numa conta jovem remunerada a uma taxa de juro nominal de $3\%$ anual ($i = \frac{0,03}{12} = 0,0025$ mensal).

1. a) Faz uma estimativa prévia fundamentada antes de aplicares fórmulas complexas: calcula quanto acumularia se a taxa de juro fosse de $0\%$ e justifica se, ao adicionares os $3\%$ anuais, o capital final acumulado conseguirá superar ou não a barreira dos $6\,000$ €.
2. b) Aplica a fórmula do valor final de uma renda de poupança constante para calcular a quantia exata que terá acumulado decorridos os $36$ meses.
3. c) Compara o resultado exato com a tua estimativa prévia e calcula que percentagem do capital final reunido provém dos juros creditados pela entidade.

Para custear as despesas de uma viagem de finalistas daqui a dois anos, um grupo de alunos decide abrir uma conta de poupança. Comprometem-se a depositar $80$ € no final de cada mês. O banco oferece-lhes juros de $3,6\%$ de T.A.E. com capitalização mensal.

1. a) Calcule a taxa de juro nominal mensal equivalente.
2. b) De que capital disporá o grupo no final dos $24$ meses?
3. c) A quanto ascendem os juros totais gerados pela operação?

Uma família solicita um empréstimo de $15\,000$ € para remodelar a cozinha e a casa de banho da sua habitação. O banco concede-lhe o crédito a juros anuais de $5\%$ a devolver em $4$ anos mediante prestações mensais fixas postecipadas (no final de cada mês).

1. a) Determine o valor da prestação mensal que deverá pagar.
2. b) Calcule o capital total que acabará por pagar ao banco após os $4$ anos.
3. c) Que percentagem do capital total pago corresponde aos juros?

Lucas quer comprar uma mota elétrica que custa $4\,200$ €. Para não se descapitalizar, decide financiá-la a $6\%$ de juros anuais nominais, comprometendo-se a pagar mensalidades de $120$ €.

1. a) Utiliza a fórmula das anuidades de amortização para calcular quantos meses levará para pagar a mota (precisarás de utilizar logaritmos).
2. b) Se decidir pagar a mota em exatamente $3$ anos, qual deveria ser a prestação mensal fixa?

Uma família deseja constituir um fundo de poupança para a universidade do seu filho. Planeiam depositar $1\,500$ € no início de cada ano durante os próximos $10$ anos. A instituição financeira garante-lhes juros compostos de $4,25\%$ anuais.

1. a) Que capital terão acumulado logo após efetuar o décimo depósito?
2. b) Que capital terão um ano após o último depósito (no final do décimo ano)?

Nota: Tenha em conta se a anuidade é antecipada (no início) ou postecipada (no final).

Um pequeno comércio compra uma carrinha de entregas avaliada em $22\,000$ €. Dá uma entrada de $4\,000$ € e financia o restante a $4,8\%$ de juros anuais nominais. O contrato estipula o pagamento mediante anuidades constantes durante $5$ anos.

1. a) Calcule o valor da anuidade de amortização.
2. b) Elabore as duas primeiras linhas da tabela de amortização (indicando para cada ano: capital em dívida, juros, capital amortizado e prestação).

Um investidor particular quer ter poupado $50\,000$ € num prazo de $8$ anos. Para isso, vai realizar depósitos trimestrais num fundo que lhe oferece $3\%$ de juro anual nominal.

1. a) Qual é a taxa de juro trimestral aplicada?
2. b) Que quantia deve depositar a cada trimestre para atingir o seu objetivo?
3. c) Se ao fim de $4$ anos as taxas de juro do mercado subirem para $4\%$ anuais nominais, como variará a prestação trimestral para os $4$ anos restantes se quiser manter o mesmo objetivo final?

Calcule a TAEG de um empréstimo bancário publicitado com juros nominais de $6\%$ anuais se os pagamentos das prestações forem:

1. a) Mensais.
2. b) Semestrais.
3. c) Em que caso o custo real para o cliente é maior? Justifique a sua resposta comparando os resultados obtidos.

Um atleta profissional decide poupar parte do seu salário para quando terminar a sua carreira desportiva. Deposita $500$ € no final de cada mês numa conta de poupança durante $15$ anos. A conta garante-lhe $4,5\%$ de juros anuais nominais com capitalização mensal.

1. a) Que capital terá acumulado no momento da sua retirada desportiva?
2. b) Se, uma vez retirado, desejar receber uma renda mensal fixa durante os $20$ anos seguintes, esgotando todo o capital acumulado (supondo que o banco mantém os mesmos juros de $4,5\%$), qual será o valor dessa mensalidade?

Uma família em Portugal precisa de adquirir um veículo híbrido por $22\,000$ €. Após dar $4\,000$ € que tinha poupados como entrada, solicita o financiamento dos $18\,000$ € restantes a um prazo de $5$ anos ($60$ meses). A financeira aplica uma taxa de juro nominal de $7,2\%$ anual ($i = \frac{0,072}{12} = 0,006$ mensal) e oferece-lhe duas modalidades de amortização:

• Modalidade A (Empréstimo francês padrão): $60$ mensalidades constantes postecipadas de valor $a$, liquidando integralmente a dívida no final do mês $60$.

• Modalidade B (Prestação reduzida com valor residual): $59$ mensalidades reduzidas de $320$ € e uma prestação final no mês $60$ (prestação balão) que liquida a totalidade da dívida viva pendente nesse instante.

1. a) Modela matematicamente a Modalidade A: calcula o valor da mensalidade $a$ e o custo total final que a família pagará.
2. b) Modela matematicamente a Modalidade B: calcula a quanto deve ascender a prestação final do mês $60$ para amortizar por completo o empréstimo restante, sabendo que o valor atual de todos os pagamentos deve equivaler ao capital financiado.
3. c) Compara ambas as modalidades: calcula a diferença no valor total de juros pagos e redige uma recomendação financeira fundamentando a compensação entre o desafogo mensal e o sobrecusto final.

O Banco de Espanha recomenda que a prestação hipotecária mensal de um agregado familiar não ultrapasse $35\%$ dos seus rendimentos líquidos para evitar o risco de sobre-endividamento. O Marcos e a Sara têm rendimentos líquidos conjuntos de $2\,600$ € por mês e vão pedir um empréstimo hipotecário a uma taxa de juro nominal fixa de $3,6\%$ anual ($i = \frac{0,036}{12} = 0,003$ mensal).

1. a) Determina a prestação mensal máxima que podem suportar de acordo com a diretriz do Banco de Espanha.
2. b) Se contratarem o empréstimo hipotecário ao prazo habitual de $25$ anos ($300$ meses), formula a equação do valor atual e deduz o capital máximo que a entidade lhes concederá com essa prestação limite.
3. c) Se a habitação que pretendem exige solicitar um empréstimo de $220\,000$ € e não querem ultrapassar a prestação mensal máxima calculada na alínea a), formula a equação correspondente, isola algebricamente através de logaritmos o número mínimo de anos de prazo necessários para tornar viável a operação e fundamenta se o banco autorizará a hipoteca sabendo que o prazo comercial máximo habitual em Espanha se situa em $30$ anos.

Uma jovem empreendedora de 22 anos decide planear a sua independência financeira. O seu objetivo é ter acumulado $100\,000$ € quando completar 35 anos. Para isso, estabelece o seguinte plano de poupança numa conta com juros compostos de $4,5 \%$ anuais:

1. Durante os primeiros 5 anos, fará depósitos mensais de $a$ euros no início de cada mês.

2. Durante os 8 anos seguintes, aumentará a sua capacidade de poupança e depositará $2a$ euros no início de cada mês.

Calcule o valor da parcela mensal inicial $a$ necessária para atingir o seu objetivo.

Uma empresa de transportes precisa de renovar a sua frota adquirindo três camiões por um valor total de $360\,000$ €. Para financiar a compra, o banco oferece-lhe duas modalidades:

• Modalidade A: Um empréstimo a 6 anos com uma prestação mensal fixa, a juros nominais anuais de $4,8 \%$ com capitalização mensal.

• Modalidade B: Um empréstimo com "carência total" durante os dois primeiros anos (não se paga nada, mas os juros acumulam-se ao capital inicial). Nos 4 anos restantes amortiza-se a dívida resultante por meio de prestações mensais constantes a juros nominais anuais de $5,2 \%$.

Determine qual das duas modalidades representa um desembolso total maior para a empresa e calcule a diferença entre ambas as opções.

Os pais criam um fundo para a universidade da sua filha com juros compostos de $6 \%$ anuais. Decidem realizar depósitos de $2\,400$ € no início de cada ano. No entanto, devido à inflação, decidem que cada anuidade seja $3 \%$ superior à do ano anterior (progressão geométrica das parcelas).

Calcule o capital acumulado no fundo ao fim de 15 anos.

Ajuda: Deverás somar os valores capitalizados de cada anuidade de forma individual e observar que eles formam uma nova progressão geométrica.

Um trabalhador independente deseja comprar um imóvel comercial avaliado em $120\,000$ €. Dispõe de duas opções financeiras:

1. Poupar durante 10 anos num fundo de investimento que garante $4 \%$ TAE, efetuando depósitos mensais no início de cada mês, para o comprar a pronto no final do período (supondo que o preço do imóvel não varia).

2. Comprá-lo hoje, pedindo um empréstimo hipotecário a 10 anos a $4 \%$ de juros nominais anuais, com capitalização mensal e prestações no final de cada mês.

Calcule a diferença entre a prestação mensal necessária para poupar o capital (Opção 1) e a prestação mensal necessária para pagar o empréstimo (Opção 2). Justifique qual das duas estratégias é mais eficiente do ponto de vista do fluxo de caixa mensal.

Uma família quer constituir um fundo solidário para financiar uma bolsa de estudos a longo prazo. O seu plano é depositar uma quantia fixa $a$ ao final de cada mês durante 20 anos numa conta a $5 \%$ de juros compostos anuais (capitalização mensal).

Ao terminar esses 20 anos, querem que o capital acumulado lhes permita retirar $1\,500$ € por mês durante os 15 anos seguintes (período de pagamento da bolsa), momento em que a conta deve ficar a zero.

Calcule a quantia da mensalidade de poupança $a$ que devem depositar durante a primeira fase.

Calcule a Taxa Anual Equivalente (TAE) de um empréstimo bancário que é anunciado a $6 \%$ de juros nominais anuais com capitalização mensal, se além disso o banco cobra uma comissão de abertura de $1,5 \%$ do capital emprestado e um seguro de vida obrigatório de $250$ € pago no momento inicial. Suponha que o capital solicitado é de $20\,000$ € a devolver num único pagamento ao fim de um ano.

Como variaria essa TAE se o capital solicitado fosse de $50\,000$ € nas mesmas condições? Explique por que a TAE depende neste caso do valor solicitado.

Há $3$ anos, o João contratou um empréstimo de $30\,000$ € a $4,8\%$ de juro nominal anual ($i = \frac{0,048}{12} = 0,004$ mensal) a reembolsar em $8$ anos ($96$ meses) mediante prestações mensais constantes postecipadas de $376,87$ €. Após pagar a prestação número $36$, o capital em dívida é de $20\,060,58$ €. Nesse momento realiza uma amortização antecipada parcial de $6\,000$ € em numerário, reduzindo a sua dívida para $14\,060,58$ €. O banco permite-lhe escolher entre duas vias para reestruturar o empréstimo restante:

• Método 1 (Reduzir prestação): Manter o prazo restante previsto ($60$ meses) e calcular uma nova mensalidade mais reduzida $a'$.

• Método 2 (Reduzir prazo): Manter a mensalidade original de $376,87$ € e encurtar a duração do empréstimo recalculando o número de meses $n'$ necessários para amortizar o capital restante.

1. a) Aplica o Método 1: determina a nova prestação mensal $a'$ e os juros totais que o João pagará nos $5$ anos que restam.
2. b) Aplica o Método 2: formula a equação do valor atual, isola através de logaritmos o novo prazo $n'$ em meses (arredondando ao número inteiro superior) e calcula os juros totais que serão pagos até à liquidação.
3. c) Compara ambos os métodos: calcula a poupança em juros obtida por cada um relativamente a não ter realizado a amortização antecipada e justifica matematicamente por que razão o Método 2 é mais eficiente do ponto de vista do custo financeiro global.

Um utilizador financia uma compra extraordinária de $C_0 = 2\,500$ € utilizando um cartão de crédito na modalidade 'revolving' com uma taxa de juro nominal de $19,2\%$ anual ($i = \frac{0,192}{12} = 0,016$ mensal). A publicidade do cartão afirma: «Paga comodamente a partir de apenas $35$ € por mês».

1. a) Tenta determinar formalmente o número de meses $n$ necessários para liquidar a dívida com uma prestação mensal de $a = 35$ € aplicando a fórmula $n = \frac{-\ln(1 - \frac{C_0 \cdot i}{a})}{\ln(1+i)}$. Explica a impossibilidade matemática que ocorre ao avaliar o argumento do logaritmo e fundamenta financeiramente por que razão, ao comparar a prestação com os juros gerados num mês ($C_0 \cdot i$), a dívida cresceria indefinidamente em vez de diminuir.
2. b) Deduz qual é a prestação mensal mínima teórica que permitiria não gerar dívida adicional e calcula a prestação fixa mensal que deveria ser estabelecida para extinguir o empréstimo num prazo razoável de $3$ anos ($36$ meses).
3. c) Se o titular escolher uma prestação fixa mensal de $60$ €, calcula o número de meses $n$ que demorará a liquidar a dívida (arredondando para cima) e o valor total desembolsado. Demonstra com estes cálculos por que razão as prestações fixadas muito perto do limiar $C_0 \cdot i$ provocam o fenómeno financeiro conhecido como 'dívida cativa'.

Desafio do tema. O teu plano de emancipação: empréstimo e inflação.

Imagina que começas a trabalhar e precisas de financiar um veículo em segunda mão por $6000$ €, analisando o impacto real do custo de vida. Elabora a tua proposta financeira numa folha de cálculo seguindo estas fases:

1. IPC e poder de compra: Consulta no site do INE a taxa anual do IPC dos últimos $3$ anos e constrói os teus números-índice. Se partires de um salário de $1300$ € que cresce $2,5$ % ao ano (progressão geométrica), deflaciona esse salário para analisar se ganhas ou perdes poder de compra real.

2. Simulação do empréstimo: Procura as condições de um crédito ao consumo no Portal do Cliente Bancário do Banco de Portugal (anota a TAN e a TAEG). Desenha a tabela de amortização a $3$ anos pelo método francês com prestações mensais, distinguindo a parte de capital e de juros de cada mensalidade.

3. Relatório final: Redige uma proposta fundamentada (1 página) avaliando o custo financeiro total face à inflação prevista, decidindo se a operação é viável.

Será valorizado:

• Obtenção rigorosa de dados do INE e cálculo correto de taxas, índices e salário real deflacionado.

• Precisão matemática na folha de cálculo ao modelar a mensalidade, TAEG e quadro de amortização.

• Clareza e espírito crítico no relatório final ao justificar a viabilidade económica.