Limite di una successione per n → +∞
Lasci cadere una palla da 2 m di altezza: dopo ogni rimbalzo risale a metà dell'altezza precedente. Dopo 1 rimbalzo arriva a 1 m, dopo 2 a 0,5 m, dopo 3 a 0,25 m… Che cosa succede dopo moltissimi rimbalzi? La palla si ferma davvero, oppure continua a rimbalzare sempre più in basso? Per rispondere servono i limiti delle successioni.
Che cosa vuol dire «limite di una successione»
Una successione è una lista ordinata di numeri $a_1, a_2, a_3, \dots, a_n, \dots$, cioè una funzione definita sui numeri naturali $n = 1, 2, 3, \dots$. Il limite studia il comportamento dei termini $a_n$ quando $n$ diventa grandissimo: $n \to +\infty$.
Osserva i tre comportamenti possibili.
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I termini si avvicinano a un numero $l$: la successione è convergente e scriviamo $\lim_{n \to +\infty} a_n = l$. Esempio: $a_n = \dfrac{1}{n}$ ha limite $0$.
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I termini diventano sempre più grandi (o sempre più negativi) senza fermarsi: la successione è divergente e scriviamo $\lim_{n \to +\infty} a_n = +\infty$ (oppure $-\infty$). Esempio: $a_n = n^2$.
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I termini non si stabilizzano né vanno all'infinito: la successione è irregolare (il limite non esiste). Esempio: $a_n = (-1)^n$ salta continuamente tra $-1$ e $1$.
Prova tu: muovi i parametri e guarda dove vanno i termini.
Calcola il limite delle seguenti successioni per $n \to +\infty$: a) $a_n = 3n - 7$ b) $b_n = \dfrac{1}{n+2}$ c) $c_n = 5 - \dfrac{2}{n}$
Calcola il limite delle seguenti successioni per $n \to +\infty$:
- a) $a_n = 3n - 7$
- b) $b_n = \dfrac{1}{n+2}$
- c) $c_n = 5 - \dfrac{2}{n}$
Successioni aritmetiche e geometriche
Due famiglie di successioni hanno un limite che si legge subito dalla formula.
Progressione aritmetica di ragione $d$: $a_n = a_1 + (n-1)\,d$. Ogni termine aggiunge $d$ al precedente.
| ragione | limite per $n \to +\infty$ |
|---|---|
| $d > 0$ | $+\infty$ |
| $d < 0$ | $-\infty$ |
| $d = 0$ | la costante $a_1$ |
Progressione geometrica di ragione $q$: $a_n = a_1 \cdot q^{\,n-1}$. Ogni termine moltiplica il precedente per $q$. Per studiare il limite basta guardare $q^n$.
| ragione | $\lim q^n$ | perché |
|---|---|---|
| $q > 1$ | $+\infty$ | moltiplicare per un numero maggiore di 1 ingrandisce sempre |
| $q = 1$ | $1$ | tutti i termini sono uguali |
| $-1 < q < 1$ | $0$ | ogni passo riduce il valore assoluto |
| $q \le -1$ | non esiste | il segno alterna e il valore assoluto non diminuisce |
La palla dell'inizio: l'altezza dopo $n$ rimbalzi è $h_n = 2 \cdot \left(\tfrac12\right)^n$, geometrica con $q = \tfrac12$. Poiché $\left(\tfrac12\right)^n \to 0$, si ha $h_n \to 0$: i rimbalzi diventano sempre più piccoli e l'altezza tende a $0$.
Per i capitali con interesse composto vale lo stesso schema: con tasso $i$ il capitale iniziale $C_0$ si moltiplica ogni anno per $q = 1 + i$, quindi $C_n = C_0 \cdot (1+i)^n$.
Data la successione aritmetica con primo termine $a_1 = 4$ e ragione $d = 3$: a) scrivi il termine generale $a_n$; b) calcola $\lim_{n \to +\infty} a_n$; c) cosa…
Data la successione aritmetica con primo termine $a_1 = 4$ e ragione $d = 3$:
- a) scrivi il termine generale $a_n$;
- b) calcola $\lim_{n \to +\infty} a_n$;
- c) cosa cambierebbe nel limite se la ragione fosse $d = -3$?
Calcola il limite per $n \to +\infty$ delle successioni geometriche: a) $a_n = \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$ b) $b_n = 3^n$ c) $c_n = \left(-\dfrac{1}{3}\right)^n$
Calcola il limite per $n \to +\infty$ delle successioni geometriche:
- a) $a_n = \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$
- b) $b_n = 3^n$
- c) $c_n = \left(-\dfrac{1}{3}\right)^n$
Un conto di risparmio di Bologna offre un interesse composto annuo del 2%. Si depositano 5.000 € e si indica con $C_n$ il capitale dopo $n$ anni. a) Scrivi $C_n$ in…
Un conto di risparmio di Bologna offre un interesse composto annuo del 2%. Si depositano 5.000 € e si indica con $C_n$ il capitale dopo $n$ anni.
- a) Scrivi $C_n$ in funzione di $n$.
- b) Calcola $\lim_{n \to +\infty} C_n$ e interpreta il risultato.
- c) Calcola dopo quanti anni il capitale supera per la prima volta 6.000 €.
Come si calcola un limite
Quando la formula è più complicata si usa l'algebra dei limiti: se $a_n \to l$ e $b_n \to m$ (numeri), allora
$$a_n + b_n \to l + m, \qquad a_n \cdot b_n \to l\,m, \qquad \frac{a_n}{b_n} \to \frac{l}{m} \ (m \ne 0).$$Valgono anche per i limiti infiniti con le regole intuitive ($+\infty + +\infty = +\infty$, $\;5 + \dfrac{1}{n} \to 5$, …). I casi che l'algebra non decide sono le forme indeterminate: $\dfrac{\infty}{\infty}$, $\;+\infty - \infty$, $\;0 \cdot \infty$, $\;\dfrac{0}{0}$, $\;1^\infty$. Bisogna prima trasformare l'espressione.
Un limite utile da ricordare: per ogni $k > 0$, $\;\dfrac{1}{n^k} \to 0$.
Rapporto di polinomi in $n$: raccoglimento della potenza di grado massimo
Si raccoglie la potenza di $n$ di grado massimo al numeratore e al denominatore, poi si semplifica.
Il risultato dipende solo dai gradi (numeratore di grado $p$, denominatore di grado $s$):
| confronto | limite |
|---|---|
| $p < s$ | $0$ |
| $p = s$ | rapporto dei coefficienti dei termini di grado massimo |
| $p > s$ | $+\infty$ o $-\infty$ (segno del rapporto dei coefficienti) |
Differenza di radici: espressione coniugata
Per $+\infty - \infty$ con radici si moltiplica e si divide per l'espressione coniugata, usando $(A - B)(A + B) = A^2 - B^2$.
Esponenziali: dividere per il termine dominante
Se compaiono potenze diverse della stessa variabile, come $2^n$ e $3^n$, si raccoglie il termine che cresce più in fretta.
Somme di $n$ termini
Una somma con un numero di termini che dipende da $n$ va prima riscritta in forma chiusa. Per esempio $1 + 2 + \dots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$: poi si ricade in un rapporto di polinomi.
Calcola i seguenti limiti: a) $\lim_{n \to +\infty} \dfrac{3n^2 + 1}{n^2 - 5n}$ b) $\lim_{n \to +\infty} \dfrac{2n + 1}{n^3 + 4}$ c)…
Calcola i seguenti limiti:
- a) $\lim_{n \to +\infty} \dfrac{3n^2 + 1}{n^2 - 5n}$
- b) $\lim_{n \to +\infty} \dfrac{2n + 1}{n^3 + 4}$
- c) $\lim_{n \to +\infty} \dfrac{n^3 - 2n}{4n^2 + 1}$
Calcola i limiti per $n \to +\infty$: a) $\sqrt{n+1} - \sqrt{n}$ b) $\dfrac{2^n + 3^n}{3^n}$ c) $\dfrac{1 + 2 + 3 + \dots + n}{n^2}$
Calcola i limiti per $n \to +\infty$:
- a) $\sqrt{n+1} - \sqrt{n}$
- b) $\dfrac{2^n + 3^n}{3^n}$
- c) $\dfrac{1 + 2 + 3 + \dots + n}{n^2}$
Successioni monotone
Una successione è crescente se $a_{n+1} \ge a_n$ per ogni $n$, strettamente crescente se $a_{n+1} > a_n$. È decrescente (strettamente decrescente) se vale $a_{n+1} \le a_n$ ($a_{n+1} < a_n$). Una successione crescente o decrescente si dice monotona.
Per dimostrare la monotonia si studia il segno della differenza $a_{n+1} - a_n$: se è positiva per ogni $n$ la successione è strettamente crescente, se è negativa è strettamente decrescente. Perché funziona: la differenza dice di quanto cambia il termine a ogni passo.
Sia $a_n = \dfrac{q^n}{1+q^n}$ con $q > 0$. a) Calcola $\lim_{n \to +\infty} a_n$ al variare di $q$ nei casi $0<q<1$, $q=1$, $q>1$. b) Per $q = 2$ dimostra che $a_n$ è…
Sia $a_n = \dfrac{q^n}{1+q^n}$ con $q > 0$.
- a) Calcola $\lim_{n \to +\infty} a_n$ al variare di $q$ nei casi $01$.
- b) Per $q = 2$ dimostra che $a_n$ è strettamente crescente.
- c) Determina il più piccolo $n$ tale che $1 - a_n < 0{,}001$ per $q = 2$.
La definizione di limite
Dire che $a_n \to l$ significa che, per quanto piccola sia la fascia che scegliamo attorno a $l$, da un certo punto in poi tutti i termini ci stanno dentro (vedi la figura all'inizio).
Il numero $\varepsilon$ è l'ampiezza (semi-ampiezza) della fascia; $\nu$ dice «da quale posto in poi». Più $\varepsilon$ è piccolo, più grande in genere deve essere $\nu$.
Per verificare un limite si risolve la disequazione $|an - l| < \varepsilon$ rispetto a $n$: la soluzione $n > \nu(\varepsilon)$ è proprio ciò che serve.
Utilizza la definizione di limite di una successione per dimostrare che: $$\lim_{n \to +\infty} \frac{2n+1}{n+3} = 2$$ Dato $\epsilon > 0$, determina un'espressione di…
Utilizza la definizione di limite di una successione per dimostrare che:
$$\lim_{n \to +\infty} \frac{2n+1}{n+3} = 2$$Dato $\epsilon > 0$, determina un'espressione di $\nu$ in funzione di $\epsilon$ tale che per ogni $n > \nu$ valga $|a_n - 2| < \epsilon$. Calcola poi $\nu$ per $\epsilon = 0{,}01$.
Il numero di Nepero come limite
Prova a calcolare $a_n = \left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n$:
| $n$ | 1 | 2 | 10 | 100 | 1.000 |
|---|---|---|---|---|---|
| $a_n$ | $2$ | $2{,}25$ | $2{,}594$ | $2{,}705$ | $2{,}717$ |
I valori crescono, ma sempre più lentamente, e convergono a un numero irrazionale:
$$\lim_{n \to +\infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e \approx 2{,}71828 \quad \text{(numero di Nepero)}.$$Perché $1^\infty$ è indeterminata? La base tende a $1$ (e $1^n = 1$ per ogni $n$ farebbe pensare a $1$), ma l'esponente tende a $+\infty$ (e un numero maggiore di $1$ elevato a $+\infty$ esplode). I due effetti si contrastano e il risultato dipende da come ci si avvicina a $1$: con $\left(1+\frac1{n^2}\right)^n \to 1$, con $\left(1+\frac1n\right)^n \to e$, con $\left(1+\frac{1}{\sqrt n}\right)^n \to +\infty$.
Con un cambio di variabile si ottiene un caso più generale: per ogni numero reale $k \neq 0$,
$$\lim_{n \to +\infty} \left(1 + \frac{k}{n}\right)^n = e^{k}.$$Infatti, ponendo $m = \dfrac{n}{k}$, si ha $\left(1 + \dfrac{1}{m}\right)^{mk} = \left[\left(1 + \dfrac{1}{m}\right)^m\right]^k \to e^k$.
Si consideri la successione $a_n = \left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n$. a) Calcola $a_1$, $a_2$, $a_10$ con tre cifre decimali. b) Ricorda il valore del limite per…
Si consideri la successione $a_n = \left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n$.
- a) Calcola $a_1$, $a_2$, $a_10$ con tre cifre decimali.
- b) Ricorda il valore del limite per $n \to +\infty$ e spiega perché la forma $1^\infty$ è indeterminata.
- c) Calcola $\lim_{n \to +\infty} \left(1 + \dfrac{3}{n}\right)^{n}$ e $\lim_{n \to +\infty} \left(1 + \dfrac{1}{2n}\right)^{n}$.
Rispondiamo ora alla domanda della palla: l'altezza dopo $n$ rimbalzi è $2 \cdot \left(\tfrac12\right)^n \to 0$, quindi i rimbalzi diventano sempre più piccoli e il limite è $0$. Nella realtà, la palla si ferma dopo un numero finito di rimbalzi, perché il modello non tiene conto di altri effetti: è sempre utile ricordare che il limite descrive il modello matematico, non necessariamente la realtà.