Limiti infiniti e limiti all'infinito

Completa la seguente tabella di valori per la funzione $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ e stima in modo intuitivo il valore del limite $\lim_{x \to 1} f(x)$. Spiega perché, anche se la funzione non è definita in $x = 1$, possiamo comunque parlare del suo limite in quel punto.

Data la funzione $f(x) = \frac{4}{x - 3}$, studia il suo comportamento quando $x$ si avvicina a $3$ da entrambi i lati. Per farlo, calcola:

1. a) $\lim_{x \to 3^-} f(x)$
2. b) $\lim_{x \to 3^+} f(x)$

Indica se la funzione presenta qualche asintoto verticale e scrivine l'equazione.

In una verifica di matematica, Sergio si trova davanti al calcolo del limite:

Sergio scrive nella sua risoluzione:

«Sostituendo otteniamo $\frac{3 \cdot 2 - 1}{2 - 2} = \frac{5}{0} = +\infty$. Quindi il limite è $+\infty$ e la retta $x = 2$ è un asintoto verticale.»

1. a) Spiega con precisione l'errore concettuale che commette Sergio affermando direttamente che il limite bilaterale è $+\infty$.
2. b) Svolgi lo studio corretto calcolando separatamente i limiti laterali per $x \to 2^-$ e per $x \to 2^+$.
3. c) In base ai risultati dei limiti laterali, concludi se esiste o no il limite $\lim_{x \to 2} \frac{3x - 1}{x - 2}$ e motiva se l'affermazione finale sull'esistenza dell'asintoto verticale era corretta o errata.

Calcola i seguenti limiti all'infinito per le funzioni polinomiali date. Ricorda che il termine di grado maggiore è quello che determina il comportamento della funzione all'infinito:

1. a) $\lim_{x \to +\infty} (-x^3 + 5x^2 + 2)$
2. b) $\lim_{x \to -\infty} (2x^4 - 3x + 1)$
3. c) $\lim_{x \to -\infty} (x^5 + x^2)$

Analizza il grado del numeratore e del denominatore per determinare il valore dei seguenti limiti all'infinito senza eseguire calcoli complessi:

1. a) $\lim_{x \to +\infty} \frac{5x^2 - 3x}{2x^2 + 1}$
2. b) $\lim_{x \to +\infty} \frac{x + 7}{x^2 - 4}$
3. c) $\lim_{x \to +\infty} \frac{x^3 - 1}{100x^2 + 5}$

Uno studio di mercato analizza l'evoluzione del numero di utenti di una nuova applicazione di messaggistica, misurato in migliaia, mediante la funzione $U(t) = \dfrac{40t + 10}{2t + 5}$, dove $t$ rappresenta il tempo in mesi dal lancio. La figura mostra il grafico di questa funzione.

1. a) Analizza che cosa accade al numero di utenti in prossimità del terzo mese. Per farlo, calcola in modo motivato il limite:

1. b) Determina il comportamento dell'applicazione a lungo termine. Esiste un valore massimo a cui si avvicina il numero di utenti? Interpreta il risultato in termini di asintoti orizzontali.

Calcola i seguenti limiti all'infinito confrontando i termini dominanti e spiega il loro significato grafico (se tendono a un valore concreto o se presentano rami parabolici):

1. a) $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{3x^3 - 5x + 2}{1 - 2x^3}$

1. b) $\lim_{x \to -\infty} \dfrac{x^2 + 10}{x - 5}$

1. c) $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\sqrt{x^4 + 3x}}{5x^2 - 1}$

Il numero di utenti che visitano un sito web di vendita di abbigliamento di seconda mano dopo $x$ giorni da una campagna pubblicitaria è dato dalla funzione $N(x) = \frac{3000x + 100}{x + 2}$.

1. a) Quanti utenti hanno visitato il sito il giorno del lancio ($x=0$)?
2. b) Se la campagna prosegue a lungo, a quale valore costante tenderà il numero di visitatori giornalieri? Calcola $\lim_{x \to +\infty} N(x)$.

Calcola il valore di $a$ e $b$ affinché siano verificate le seguenti uguaglianze di limiti:

1. a) $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{ax^2 + 5x}{3x^2 - 2} = 4$

1. b) $\lim_{x \to 1} \dfrac{x^2 + bx - 3}{x - 1} = 4$ (Nota: Perché il limite sia finito in un punto che annulla il denominatore, deve annullarsi anche il numeratore).

Si considera la funzione razionale $f(x) = \frac{ax^2 + bx + 2}{x^2 - 4}$. Determina i valori dei parametri reali $a$ e $b$ sapendo che la funzione presenta un asintoto orizzontale in $y = 2$ e che esiste il limite finito nel punto $x = 2$. Una volta trovati i parametri, calcola il valore di tale limite in $x = 2$ e discuti il comportamento della funzione quando $x$ tende a $-2$.

Un drone per la sorveglianza forestale segue una traiettoria la cui altezza in metri rispetto al livello del mare è data dall'espressione $H(t) = \sqrt{t^2 + 8t} - t$, dove $t$ è il tempo in minuti dall'inizio del pattugliamento. La figura mostra la sua traiettoria durante i primi 20 minuti.

Calcola il limite dell'altezza quando il tempo tende a infinito:

A quale altezza stabilizza il drone il suo volo a lungo termine? Risolvi la forma indeterminata moltiplicando per il coniugato.

Calcola il valore del seguente limite che coinvolge una differenza di funzioni irrazionali all'infinito:

$\lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{4x^2 + 5x - 1} - \sqrt{4x^2 - 3x + 2} \right)$

Spiega in modo motivato perché non possiamo dire semplicemente che il risultato è $0$ sottraendo due infiniti dello stesso ordine.

In un laboratorio di biotecnologie, la popolazione di un ceppo di batteri (in milioni) cresce secondo il modello:

dove $t \ge 0$ è il tempo in ore.

1. a) Qual è la popolazione iniziale di batteri ($t=0$)?

1. b) Calcola $\lim_{t \to +\infty} P(t)$. Che cosa rappresenta questo valore per la colonia di batteri?

1. c) Confronta l'ordine di infinito del numeratore e del denominatore nella frazione. Se la crescita fosse $100t^3$ invece di $100t^2$, cambierebbe il comportamento a lungo termine? Giustifica la risposta usando i limiti.

Calcola il valore del seguente limite, confrontando gli ordini di infinito e risolvendo la forma indeterminata risultante:

$\lim_{x \to +\infty} \frac{x^{100} + 3^x}{\log_2(x^5) + e^x}$

Giustifica la tua risposta basandoti sulla gerarchia di crescita delle funzioni esponenziale, potenza e logaritmica. Il risultato cambierebbe se il limite fosse per $-\infty$? Motiva la risposta.

Il dipartimento di tecnologia di una banca italiana modellizza il costo medio per operazione (in centesimi di euro) nell'elaborazione di un volume di $x$ milioni di transazioni mediante la funzione:

Parallelamente, il tempo medio di risposta dei server a interrogazioni complesse (in millisecondi) è stimato mediante la funzione:

1. a) Applica la gerarchia di crescita all'infinito ($\log_a x \ll x^n \ll a^x$) per calcolare $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ in funzione dei parametri $a$ e $b$. Se la banca ha bisogno che il costo medio a lungo termine si stabilizzi esattamente a $4$ centesimi per operazione, quanto deve valere $a$? Il valore del parametro $b$ influisce su questo comportamento a lungo termine? Giustifica la tua risposta.
2. b) Supponi che un'ottimizzazione del codice annulli la componente esponenziale del numeratore ($a = 0$, mantenendo $b > 0$). Calcola in tal caso $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ basandoti sulla gerarchia degli infiniti e interpreta che cosa accadrebbe al costo unitario man mano che il volume di transazioni cresce indefinitamente.
3. c) Determina il valore del parametro reale $k$ affinché la funzione del tempo di risposta $g(x)$ abbia come asintoto orizzontale la retta $y = 0,6$. Giustifica il trattamento del termine $\ln(x)$ rispetto al termine polinomiale quando $x \to +\infty$.

Trova i valori di $k$ affinché il seguente limite, basato sulla struttura del numero $e$, sia uguale a $e^6$:

$\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{x^2 + kx + 1}{x^2 - 2x + 3} \right)^{2x}$

Mostra tutti i passaggi intermedi, compresa la risoluzione della forma indeterminata $1^\infty$.

Data la funzione definita a tratti:

$f(x) = \begin{cases} \frac{\ln(1+x^2)}{x} & \text{si } x < 0 \\ \frac{a \cdot \sin(x)}{x} + b & \text{si } x > 0 \end{cases}$

Calcola i valori di $a$ e $b$ affinché esistano i limiti laterali in $x=0$, il limite da sinistra sia uguale a $0$ e il limite da destra sia uguale a $5$. È possibile definire $f(0)$ in modo che la funzione sia continua in quel punto?