Limiti laterali

Data la funzione $f(x) = x^2 - 3$, vogliamo indagare che cosa accade quando i valori di $x$ si avvicinano molto a $2$. Completa la seguente tabella di valori e, alla luce dei risultati, indica quale ritieni sia il valore di $\lim_{x \to 2} f(x)$.

$x$	$1,9$	$1,99$	$1,999$	$2,001$	$2,01$	$2,1$
$f(x)$

Data la funzione definita a tratti:

$f(x) = \begin{cases} x + 2 & \text{si } x < 3 \\ 7 - x & \text{si } x \ge 3 \end{cases}$

Calcola i limiti laterali nel punto $x = 3$:

1. a) $\lim_{x \to 3^-} f(x)$
2. b) $\lim_{x \to 3^+} f(x)$

Che cosa puoi dire sull'esistenza del limite $\lim_{x \to 3} f(x)$?

Il livello di carica di un monopattino elettrico (in percentuale) dopo $t$ ore di utilizzo segue la funzione $C(t) = 100 - 15t$. Se un utente vuole sapere quanta batteria gli resterà quando sta per compiersi la quarta ora di viaggio, calcola il limite:

$\lim_{t \to 4^-} (100 - 15t)$

Osserva il seguente grafico della funzione $g(x)$ e determina il valore dei limiti laterali nel punto di rottura $x = 1$. Indica anche se esiste il limite globale $\lim_{x \to 1} g(x)$.

1. a) $\lim_{x \to 1^-} g(x)$
2. b) $\lim_{x \to 1^+} g(x)$

Considera la funzione $f(x)$ rappresentata nel seguente grafico. Il cerchio vuoto indica un punto che non appartiene al grafico e il punto pieno indica il valore che la funzione assume in $x = 2$.

A partire dal grafico:

1. a) Individua il valore di $f(2)$.

1. b) Individua $\lim_{x \to 2^-} f(x)$.

1. c) Individua $\lim_{x \to 2^+} f(x)$.

1. d) Esiste il limite di $f(x)$ per $x \to 2$? Giustifica la tua risposta.

Dato il grafico della funzione $f(x)$ rappresentato di seguito, analizza il comportamento della funzione in prossimità dei punti critici. Determina in modo motivato i limiti laterali e il limite globale (se esiste) per:

1. a) $x \to -2$
2. b) $x \to 1$
3. c) $x \to 3$

Osserva il grafico di questa funzione $h(x)$, che presenta un asintoto verticale in $x = 2$ (la retta tratteggiata), e determina il valore dei limiti laterali indicati.

1. a) $\lim_{x \to 2^-} h(x)$
2. b) $\lim_{x \to 2^+} h(x)$

Considera la funzione $g(x) = \frac{2x + 1}{x - 4}$.

1. a) Studia i limiti laterali di $g(x)$ per $x \to 4$.

1. b) Indica se la funzione presenta un asintoto verticale in quel punto.

1. c) Disegna un piccolo schema grafico (a mano, con la retta $x = 4$ segnata) che mostri verso dove tendono i rami della funzione (se verso $+\infty$ o verso $-\infty$) a seconda che ti avvicini a $x = 4$ da sinistra o da destra.

In un mercato azionario, il prezzo di un'azione $P$ in funzione del rischio $x$ è modellizzato come:

$P(x) = \frac{ax^2 + bx}{x^2 - 1}$

Si sa che quando il rischio si avvicina a $1$ da destra, il prezzo tende a $+\infty$, ma quando si avvicina a $1$ da sinistra, il prezzo tende a $-\infty$. Inoltre, quando il rischio tende a $+\infty$, il prezzo tende a $1$, e per un rischio $x = 2$, il prezzo è $2$. Calcola i valori di $a$ e $b$ e verifica la coerenza dei limiti laterali in $x = 1$ e $x = -1$.

Studia i limiti laterali della seguente funzione nei punti $x = -2$ e $x = 2$. In quale dei due esiste un limite finito?

$$f(x) = \frac{x^3 - 2x^2 + 4x - 8}{x^4 - 16}$$

Successivamente, proponi una modifica al numeratore affinché nel punto in cui il limite era infinito diventi un valore reale concreto.

Determina il valore del parametro $k$ affinché esista il limite della seguente funzione nel suo punto di rottura $x = 2$:

$f(x) = \begin{cases} kx - 3 & \text{si } x < 2 \\ x^2 + k & \text{si } x \geq 2 \end{cases}$

Perché il limite esista, ricorda che i limiti laterali devono essere uguali. Una volta trovato $k$, indica il valore del limite.

Un'azienda di logistica fa pagare le spedizioni urgenti con una tariffa a scaglioni in base al peso $p$ in chilogrammi. Il costo $C(p)$ in euro è dato da:

$C(p) = \begin{cases} 5 + 2p & \text{si } 0 < p \leq 5 \\ 10 + 1,5p & \text{si } p > 5 \end{cases}$

Calcola e interpreta nel contesto del problema:

1. a) $\lim_{p \to 5^-} C(p)$
2. b) $\lim_{p \to 5^+} C(p)$
3. c) Esiste un costo definito in modo continuo per un pacco che pesa esattamente $5$ kg?

Si sta studiando l'evoluzione dei profitti di una startup tecnologica (in migliaia di euro) in base al tempo $t$ in mesi. La funzione che descrive il profitto è data da:

$$f(t) = \begin{cases} \frac{at^2 - 4}{t-2} & \text{si } 0 \le t < 2 \\ \ln(t-1) + b & \text{si } t \ge 2 \end{cases}$$

Determina i valori dei parametri $a$ e $b$ sapendo che esiste il limite globale della funzione quando $t \to 2$. Una volta trovati, calcola e interpreta i limiti laterali in $t = 2$.

Considera la funzione $f(x) = \frac{2x - 4}{|x - 2|}$, definita per ogni $x \neq 2$.

1. a) Prima di operare analiticamente, stima il comportamento di $f(x)$ vicino a $2$: calcola mentalmente il segno e il valore che ti aspetti di ottenere sostituendo valori molto vicini a $2$ da sinistra (come $x = 1,99$) e da destra (come $x = 2,01$). Scrivi la tua previsione per $\lim_{x \to 2^-} f(x)$ e $\lim_{x \to 2^+} f(x)$.
2. b) Riscrivi la funzione come funzione definita a tratti eliminando il valore assoluto in base al segno di $x - 2$ e calcola formalmente entrambi i limiti laterali.
3. c) Verifica se la tua stima iniziale coincideva con i calcoli e concludi in modo motivato se esiste il limite globale $\lim_{x \to 2} f(x)$.

Data la funzione con valore assoluto $h(x) = \frac{|x - 1|}{x - 1}$, si chiede di:

1. a) Ridefinire la funzione come funzione definita a tratti eliminando il valore assoluto.
2. b) Calcolare $\lim_{x \to 1^-} h(x)$ e $\lim_{x \to 1^+} h(x)$.
3. c) Esiste il limite globale $\lim_{x \to 1} h(x)$? Argomenta la risposta basandoti sulla teoria dei limiti laterali.

Calcola i limiti laterali nei punti di rottura della seguente funzione che combina un valore assoluto con una funzione razionale:

$$g(x) = \frac{x^2 - 5x + 6}{|x-3| \cdot (x-1)}$$

A partire dai risultati ottenuti, stabilisci se esiste il $\lim_{x \to 3} g(x)$ e descrivi il comportamento della funzione in prossimità di $x=3$ e $x=1$.