Ottimizzazione di funzioni

Calcola due numeri reali non negativi la cui somma sia esattamente $20$, in modo che il loro prodotto sia il maggiore possibile.

Si vuole scomporre il numero $12$ in due addendi positivi tali che la somma dei loro quadrati sia minima. Utilizza le derivate per trovare tali addendi.

Un'azienda di accessori per cellulari ha determinato che il profitto mensile $B(x)$, espresso in euro, vendendo $x$ cover personalizzate è dato dalla funzione:

$B(x) = -x^2 + 120x - 500$

Quante cover devono essere vendute per ottenere il profitto massimo? A quanto ammonta tale profitto?

La visibilità di un post su un social network (misurata in numero di «like») durante le prime $10$ ore dopo la pubblicazione segue la funzione:

$V(t) = 20t^2 - 2t^3$

dove $t$ è il tempo in ore ($0 \le t \le 10$). In quale momento il post raggiunge il suo picco massimo di visibilità?

Il costo totale di fabbricazione di $x$ unità di un modello di auricolari wireless è dato dalla funzione $C(x) = 0,2x^2 + 10x + 500$ euro. Il prezzo di vendita unitario dipende dalla domanda e segue la formula $p(x) = 70 - 0,1x$. Determina quante unità devono essere fabbricate e vendute affinché il profitto totale dell'azienda sia massimo.

Un gruppo di studenti vuole recintare una zona rettangolare nel cortile della scuola per un mercatino solidale. Se dispongono in totale di $40$ metri di recinzione, determina le dimensioni del rettangolo (lunghezza e larghezza) che racchiudono l'area massima possibile.

Si vuole costruire una cornice di legno rettangolare per un cartellone pubblicitario che deve avere un'area di $16$ $m^2$. Calcola le dimensioni del cartellone in modo che il costo del legno della cornice sia minimo (cioè in modo che il perimetro sia minimo).

Si vuole progettare una confezione di cartone a forma di prisma rettangolare a base quadrata e senza coperchio per un nuovo modello di tablet. Il volume della confezione deve essere esattamente $2000 \text{ cm}^3$. Trova le dimensioni della confezione (lato della base e altezza) che minimizzano la quantità di cartone impiegata per la sua fabbricazione.

Un agricoltore vuole recintare un terreno diviso in tre appezzamenti rettangolari uguali e contigui, come mostrato in figura. Le dimensioni di ciascun appezzamento sono $x$ (larghezza) e $y$ (lunghezza), in metri. L'agricoltore vuole massimizzare l'area totale recintata.

Il costo della recinzione esterna è di $10\ \text{€/m}$, ma la recinzione usata per le due divisioni interne è più leggera e costa solo $4\ \text{€/m}$. Il budget totale per la recinzione è di $1000\ \text{€}$, e l'unico vincolo è questo costo totale disponibile.

Calcola le dimensioni di ciascun appezzamento in modo che l'area totale sia la maggiore possibile.

Il costo di fabbricazione di una serie di auricolari wireless è dato dalla funzione $C(x) = 2x^2 - 80x + 2000$, dove $x$ è il numero di unità prodotte. Quante unità devono essere fabbricate per minimizzare il costo totale di produzione?

Un laboratorio di cucina professionale progetta un recipiente di acciaio a base quadrata e senza coperchio per conservare alimenti. Il recipiente deve avere un volume di $13,5$ litri ($13,5\ \text{dm}^3$). Determina le dimensioni del lato della base ($x$) e dell'altezza ($h$) che minimizzano la quantità di acciaio utilizzata (cioè la superficie totale del recipiente) e calcola tale superficie minima.

Si considera la funzione del costo totale di fabbricazione di un componente elettronico $C(x) = \frac{1}{3}x^3 - 6x^2 + 40x + 100$, dove $x$ rappresenta il numero di unità prodotte in migliaia. La funzione dei ricavi dalle vendite è $I(x) = 28x - x^2$.

1. a) Determina l'intervallo di produzione in cui l'azienda ottiene profitti (dove $I(x) > C(x)$).
2. b) Calcola il numero di unità che massimizza il profitto mensile e il valore di tale profitto massimo.
3. c) Per quale valore di $x$ il costo medio per unità, definito come $Q(x) = \frac{C(x)}{x}$, è minimo?

Un agricoltore sa che se pianta $100$ aranci nel suo terreno, la produzione media per albero è di $400$ kg di frutta all'anno. Per ogni albero aggiuntivo che pianta, la produzione media per albero diminuisce di $2$ kg per mancanza di spazio. La produzione totale è data da:

$P(x) = (100 + x)(400 - 2x)$

dove $x$ è il numero di alberi aggiuntivi piantati. Trova il valore di $x$ che massimizza la produzione totale annua.

Un negozio online di abbigliamento urbano ha stimato che i suoi ricavi giornalieri in euro seguono la funzione $I(p) = -2p^2 + 120p$, dove $p$ è il prezzo medio in euro dei suoi capi. D'altra parte, le sue spese giornaliere sono modellizzate da $G(p) = 40p + 100$. Trova il prezzo $p$ che devono fissare affinché il profitto giornaliero (Ricavi $-$ Spese) sia massimo. Determina anche l'entità di tale profitto massimo.

Un operatore ferroviario commercializza un treno charter ad alta velocità con capacità massima di $300$ passeggeri, destinato a gite di fine anno tra Roma e Napoli. La politica tariffaria stabilisce un prezzo base di $80$ € a biglietto per un contingente minimo di $100$ viaggiatori. Per incentivare la prenotazione di gruppi più numerosi, per ogni studente aggiunto oltre $100$ (cioè $x$ studenti aggiuntivi, con $100 + x \le 300$), si scontano $0,20$ € sul prezzo di tutti i biglietti del treno. Tuttavia, per politica di redditività, lo sconto massimo non può superare $35$ € a biglietto (una volta raggiunto tale sconto in $x = 175$, il prezzo resta bloccato a $45$ € per qualsiasi gruppo più numeroso fino a riempire il treno).

Il costo di esercizio sostenuto dalla compagnia consiste in un canone fisso di $3000$ € per tratta più un costo variabile di $12$ € per ogni passeggero a bordo.

1. a) Formula la funzione di profitto netto $B(x)$ in euro definendola come funzione definita a tratti sull'intero dominio $x \in [0, 200]$, distinguendo il tratto con sconto variabile ($0 \le x \le 175$) dal tratto con prezzo bloccato ($175 < x \le 200$).
2. b) Analizza tutti i candidati a ottimo: calcola il punto critico interno nel primo tratto mediante le derivate giustificando se è un massimo locale, studia il comportamento del profitto nel secondo tratto attraverso la sua derivata, e valuta il profitto nei punti di frontiera ($x = 0$, $x = 175$ e $x = 200$).
3. c) Quanti biglietti in totale deve vendere la compagnia per ottenere il profitto netto massimo assoluto e qual è il suo importo? Spiega perché un analista che si limitasse a cercare solo i punti in cui la derivata si annulla ($B'(x) = 0$) prenderebbe una decisione commerciale errata e chiaramente subottimale.

Uno studio di marketing per una piattaforma di streaming indica che il numero di abbonati mensili, in migliaia, varia in base al prezzo dell'abbonamento mensile $x$ (in euro) secondo la funzione $S(x) = \frac{48}{x} + x - 10$ per prezzi compresi tra $4$ e $15$ euro. Calcola il prezzo dell'abbonamento che minimizza il numero di abbonati. Giustifica se questo risultato è utile per l'azienda dal punto di vista dei ricavi.

Un «booktuber» ha verificato che l'impatto dei suoi video (misurato in migliaia di visualizzazioni giornaliere) dipende dal tempo $t$ (in giorni) trascorso dalla pubblicazione, secondo la funzione $V(t) = \frac{100t}{t^2 + 9}$. Determina in quale giorno il video raggiunge il suo impatto massimo e qual è quel numero massimo di visualizzazioni.

Uno studio di mercato per una nuova app di allenamento personalizzato stabilisce che il profitto mensile $B(x)$, in centinaia di euro, dipende dal prezzo dell'abbonamento $x$ (in euro), secondo la funzione:

$B(x) = (x - 5)^2 \cdot \ln(x - 4)$ per $x > 4$.

Calcola il prezzo di abbonamento che massimizza il profitto nell'intervallo $[6, 15]$. Verifica se in tale intervallo esiste qualche punto di flesso che indichi un cambio nella tendenza della crescita dei profitti.