Continuità. Tipi di discontinuità
Il piano tariffario di un servizio cloud costa sempre di più man mano che usi gigabyte: in certi piani il prezzo cresce senza strappi, in altri scatta di colpo quando superi una soglia. La differenza tra le due situazioni è la continuità. Ora che sai calcolare i limiti, anche quelli destro e sinistro, puoi trasformarla in un criterio preciso e classificare che cosa succede quando viene a mancare.
Continuità in un punto: le tre condizioni
Una funzione è continua in $x=c$ quando il suo grafico non ha «rotture» proprio lì: il valore a cui ci si avvicina da entrambi i lati coincide con il valore che la funzione assume davvero.
Una funzione è continua in un intervallo se lo è in ogni punto dell'intervallo. I polinomi, le funzioni esponenziali, i logaritmi (per $x>0$) e le funzioni razionali (nel loro dominio) sono continui in tutti i punti in cui sono definiti.
Nel grafico qui sotto la funzione è definita a tratti: osserva che cosa succede in $x=3$.
Determina se la seguente funzione definita a tratti è continua nel "punto di rottura" $x = 1$: $$f(x) = \begin{cases} x + 1 & \text{si } x < 1 \\ 3 & \text{si } x = 1 \\…
Determina se la seguente funzione definita a tratti è continua nel "punto di rottura" $x = 1$:
$$f(x) = \begin{cases} x + 1 & \text{si } x < 1 \\ 3 & \text{si } x = 1 \\ 2x & \text{si } x > 1 \end{cases}$$Per farlo, verifica se sono soddisfatte le tre condizioni di continuità:
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Esiste $f(1)$?
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Esiste $\lim_{x \to 1} f(x)$?
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I due valori coincidono?
Data la funzione $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$, indica se la funzione è definita in $x = 3$. Esiste il limite $\lim_{x \to 3} f(x)$? In base alle tue risposte,…
Data la funzione $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$, indica se la funzione è definita in $x = 3$. Esiste il limite $\lim_{x \to 3} f(x)$? In base alle tue risposte, stabilisci se la funzione è continua in quel punto.
Un'app di consegne a domicilio applica una commissione fissa a seconda della distanza dal ristorante. La funzione che definisce il costo della consegna in euro, $f(x)$,…
Un'app di consegne a domicilio applica una commissione fissa a seconda della distanza dal ristorante. La funzione che definisce il costo della consegna in euro, $f(x)$, in base alla distanza $x$ in chilometri è:
$$f(x) = \begin{cases} 2 & \text{si } 0 \leq x \leq 3 \\ 4 & \text{si } x > 3 \end{cases}$$Verifica se la funzione è continua nel punto $x = 3$ calcolando i suoi limiti laterali.
Classificazione delle discontinuità
Quando una delle tre condizioni non è soddisfatta, il punto $c$ è un punto di discontinuità. Ci sono tre modi diversi in cui ciò può accadere, e ciascuno ha un nome e un aspetto grafico caratteristico.
Classifica il tipo di discontinuità che presenta la funzione mostrata nell'immagine nel punto $x = 2$. Giustifica se si tratta di una discontinuità eliminabile, di salto…
Classifica il tipo di discontinuità che presenta la funzione mostrata nell'immagine nel punto $x = 2$. Giustifica se si tratta di una discontinuità eliminabile, di salto finito o di salto infinito.
Considera la funzione $f(x) = \dfrac{|x - 4|}{x - 4}$. a) Calcola i limiti laterali della funzione quando $x$ tende a $4$. b) Indica se la funzione è continua in…
Considera la funzione $f(x) = \dfrac{|x - 4|}{x - 4}$.
- a) Calcola i limiti laterali della funzione quando $x$ tende a $4$.
- b) Indica se la funzione è continua in $x = 4$. Se non lo è, classifica il tipo di discontinuità.
- c) Traccia uno schizzo del grafico della funzione in un intorno del punto $x = 4$.
Data la funzione $f(x) = e^{\frac{1}{x-1}}$, analizza la sua continuità e classifica le sue discontinuità. Per farlo: 1. Determina il dominio della funzione. 2. Calcola…
Data la funzione $f(x) = e^{\frac{1}{x-1}}$, analizza la sua continuità e classifica le sue discontinuità. Per farlo:
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Determina il dominio della funzione.
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Calcola i limiti laterali nel punto in cui la funzione non è definita.
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Interpreta i risultati per indicare se esiste un asintoto verticale e di che tipo è la discontinuità.
Funzioni definite a tratti: determinare i parametri
Un esercizio molto frequente: una funzione definita a tratti contiene uno o due parametri e devi trovare i valori per cui è continua su tutto $\mathbb{R}$ (o nel suo dominio).
Prova a muovere i parametri: con quali valori di $k$ e $m$ i due rami si uniscono in $x=0$?
In un parcheggio a rotazione di una città italiana, la tariffa $C(t)$ (in euro) applicata in funzione del tempo di sosta $t$ (in ore) è data dall'espressione: $$C(t) =…
In un parcheggio a rotazione di una città italiana, la tariffa $C(t)$ (in euro) applicata in funzione del tempo di sosta $t$ (in ore) è data dall'espressione:
$$C(t) = \begin{cases} 1,80 \cdot t & \text{si } 0 \le t \le 2 \\ 3,60 + 1,20 \cdot (t - 2) & \text{si } 2 < t \le 10 \end{cases}$$-
Prima di eseguire qualsiasi calcolo algebrico, stima se il cambio di tariffazione alle $2$ ore produrrà un salto brusco nell'importo da pagare o se la funzione si raccorderà in modo continuo. Giustifica la tua previsione ragionando sulla logica commerciale di far pagare il tempo utilizzato.
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Verifica analiticamente la tua stima applicando le tre condizioni di continuità in $t = 2$: calcola $\lim_{t\to 2^-} C(t)$, $\lim_{t\to 2^+} C(t)$ e $C(2)$. In base ai risultati, concludi motivando se la tua previsione era corretta e classifica il comportamento della funzione in quel punto.
Determina i valori dei parametri $a$ e $b$ affinché la seguente funzione definita a tratti sia continua su tutta la retta reale $\mathbb{R}$: $$f(x) = \begin{cases} x +…
Determina i valori dei parametri $a$ e $b$ affinché la seguente funzione definita a tratti sia continua su tutta la retta reale $\mathbb{R}$:
$$f(x) = \begin{cases} x + 2a & \text{si } x < -1 \\ 3x + b & \text{si } -1 \leq x < 2 \\ x^2 - 5 & \text{si } x \geq 2 \end{cases}$$Data la funzione dipendente dai parametri reali $k$ e $m$: $$g(x) = \begin{cases} \frac{k \cdot \text{sen}(x)}{x} & \text{si } x < 0 \\ x^2 + m & \text{si } 0 \le x \le…
Data la funzione dipendente dai parametri reali $k$ e $m$:
$$g(x) = \begin{cases} \frac{k \cdot \text{sen}(x)}{x} & \text{si } x < 0 \\ x^2 + m & \text{si } 0 \le x \le 1 \\ \frac{\sqrt{x} - 1}{x - 1} & \text{si } x > 1 \end{cases}$$Trova i valori di $k$ e $m$ affinché $g(x)$ sia una funzione continua su tutto l'insieme dei numeri reali.
Continuità delle funzioni razionali nel dominio
In una funzione razionale gli unici candidati a essere punti di discontinuità sono quelli che annullano il denominatore. Scomporre numeratore e denominatore permette di decidere, punto per punto, se la discontinuità è eliminabile o se c'è un asintoto verticale.
Un creatore di contenuti analizza la crescita dei suoi follower con una funzione che ha subito un "errore" sul server. La funzione è $g(x) = \frac{x-1}{x^2-1}$. Indica…
Un creatore di contenuti analizza la crescita dei suoi follower con una funzione che ha subito un "errore" sul server. La funzione è $g(x) = \frac{x-1}{x^2-1}$. Indica per quali valori di $x$ la funzione non è continua. Che cosa succede al denominatore perché la continuità venga meno?
Studia la continuità della seguente funzione razionale in tutto il suo dominio e classifica i suoi punti di discontinuità: $$f(x) = \frac{x^2 - x - 6}{x^2 - 9}$$ Per i…
Studia la continuità della seguente funzione razionale in tutto il suo dominio e classifica i suoi punti di discontinuità:
$$f(x) = \frac{x^2 - x - 6}{x^2 - 9}$$Per i punti in cui la discontinuità è eliminabile, definisci una nuova funzione $g(x)$ che sia continua in tale punto.
Studia la continuità della seguente funzione definita a tratti e classifica tutti i suoi punti di discontinuità: $$f(x) = \begin{cases} \frac{e^x}{x} & \text{si } x < 0…
Studia la continuità della seguente funzione definita a tratti e classifica tutti i suoi punti di discontinuità:
$$f(x) = \begin{cases} \frac{e^x}{x} & \text{si } x < 0 \\ \frac{x^2 - 1}{x^2 - 3x + 2} & \text{si } 0 \le x < 2 \\ \frac{3}{x - 2} & \text{si } x > 2 \end{cases}$$Indica motivando la risposta se qualcuna delle discontinuità trovate è di tipo eliminabile.
Torna all'inizio: la tariffa che scatta di colpo al superamento di una soglia ha una discontinuità di prima specie in quel punto (un salto finito), mentre un piano con costo che cresce in modo progressivo, senza scalini, è descritto da una funzione continua.