Estremi relativi

Osserva il grafico della funzione $f(x)$ che rappresenta l'evoluzione del numero di utenti attivi in una nuova app per smartphone durante le prime 8 ore della mattina. Individua le coordinate $(x, y)$ dei massimi e minimi relativi che compaiono nel disegno.

Un "influencer" ha verificato che il numero di "like" dei suoi post segue la funzione $L(t) = t^3 - 3t^2 + 4$, dove $t$ è il tempo in ore dalla pubblicazione ($0 \le t \le 3$).

Calcola i punti critici della funzione in tale intervallo risolvendo l'equazione $L'(t) = 0$.

Dato il seguente grafico della funzione derivata $f'(x)$ (una retta), indica per quali valori di $x$ la funzione originale $f(x)$ ha un massimo o un minimo relativo. Giustifica la tua risposta basandoti sul cambio di segno della derivata.

Trova gli estremi relativi della funzione polinomiale $f(x) = \frac{x^3}{3} - 4x + 5$. Indica le coordinate complete $(x, y)$ di ciascun estremo individuato.

Il grafico seguente corrisponde alla funzione derivata $f'(x)$ di una funzione continua $f(x)$. A partire dalle informazioni visive, individua con ragionamento le ascisse dei punti in cui la funzione originale $f(x)$ presenta i suoi massimi e minimi relativi. Spiega quale criterio utilizzi per distinguere tra un massimo e un minimo a partire dal segno di $f'(x)$.

Classifica gli estremi relativi della funzione $f(x) = x^2 - 6x + 8$ utilizzando il criterio della derivata seconda. Per farlo:

1. Trova $f'(x)$ e cerca il valore di $x$ tale che $f'(x) = 0$.

2. Trova $f''(x)$ e verifica il suo segno nel valore ottenuto in precedenza.

Si sa che una funzione $f(x)$ ha un punto critico in $x = 3$. Se la derivata seconda è $f''(x) = 2x - 10$, utilizza il valore di $f''(3)$ per determinare se in $x = 3$ c'è un massimo relativo o un minimo relativo.

Calcola i valori dei parametri $a$ e $b$ affinché la funzione polinomiale $f(x) = ax^3 + bx^2 + 9x + 4$ abbia un massimo relativo nel punto $P(1, 8)$. Una volta trovati i valori, verifica mediante la derivata seconda se si tratta davvero di un massimo o di un minimo.

Sia la funzione razionale $f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x^2 + 1}$.

Studia la crescita e la decrescita della funzione e individua i suoi estremi relativi. Questa funzione ha qualche punto in cui la derivata si annulla ma che non è né di massimo né di minimo? Motiva la tua risposta.

Si considera la funzione definita a tratti:

$f(x) = \begin{cases} x^2 + 4x + 3 & \text{si } x \le 0 \\ \dfrac{3}{x+1} & \text{si } x > 0 \end{cases}$

Studia la continuità e la derivabilità in $x = 0$. Sulla base dello studio precedente e del calcolo della derivata in ciascun tratto, determina se la funzione presenta un massimo o un minimo relativo in $x = 0$.

Data la funzione polinomiale $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$, trova i valori di $a$, $b$ e $c$ sapendo che la funzione presenta un punto di flesso in $x = 1$, un estremo relativo in $x = 2$ e che il grafico passa per il punto $(0, 5)$. Una volta trovati i parametri, classifica tutti gli estremi relativi della funzione.

Data la funzione di profitto di una piccola azienda tessile, definita da $B(x) = -x^2 + 10x - 16$, dove $x$ è il numero di capi prodotti (in centinaia):

1. Calcola la funzione derivata $B'(x)$.

2. Trova il valore di $x$ che annulla la derivata (punto critico).

3. Determina se tale punto corrisponde a un massimo o a un minimo relativo.

L'efficacia di un nuovo farmaco per lo studio della memoria negli adolescenti si misura su una scala da 0 a 20. Dopo l'assunzione, l'efficacia $E$ dopo $t$ ore è data dalla funzione esponenziale:

$E(t) = 10t \cdot e^{-0,2t}$ per $t \ge 0$.

Determina l'istante $t$ in cui il farmaco raggiunge la sua massima efficacia. Indica il valore di tale efficacia massima e conferma se è un estremo relativo.

Un "influencer" analizza la viralità dei suoi video. Il numero di visualizzazioni giornaliere $V$ (in migliaia) dopo $t$ ore dalla pubblicazione, con $0 \le t \le 24$, segue il modello $V(t) = t^2 \cdot e^{-t/4}$. La figura mostra il grafico della funzione.

1. a) In quale momento esatto della giornata il video raggiunge il suo picco massimo di visualizzazioni?

1. b) Determina gli intervalli di tempo in cui il ritmo di crescita delle visualizzazioni sta aumentando (usa la derivata seconda).

1. c) Calcola il valore massimo di visualizzazioni giornaliere.