Limiti, derivate e studio con seno e coseno
Si racconta che Galileo, osservando una lampada oscillare nel Duomo di Pisa, abbia scoperto che il pendolo batte sempre con lo stesso ritmo. Come si descrive il moto di un pendolo con una funzione? E come si calcolano la sua velocità e la sua accelerazione? Servono tre strumenti: un limite, due derivate e le regole di derivazione che già conosci. Alla fine della pagina risponderemo alla domanda.
Il limite notevole di sin x / x
Con la calcolatrice (in radianti!) prova a calcolare $\dfrac{\sin x}{x}$ per valori di $x$ sempre più piccoli:
| $x$ | $0{,}5$ | $0{,}1$ | $0{,}01$ | $0{,}001$ |
|---|---|---|---|---|
| $\dfrac{\sin x}{x}$ | $0{,}9589$ | $0{,}9983$ | $0{,}99998$ | $0{,}9999998$ |
Il rapporto si avvicina a $1$. Il perché è geometrico: sulla circonferenza goniometrica, per $0 < x < \frac{\pi}{2}$, vale $\sin x < x < \tan x$. Dividendo per $\sin x$ si ottiene $1 < \dfrac{x}{\sin x} < \dfrac{1}{\cos x}$. Quando $x \to 0$, $\cos x \to 1$, quindi anche $\dfrac{x}{\sin x}$ è «schiacciato» verso $1$.
Da questo limite si ricavano altri due risultati utili.
Il caso $x \to +\infty$ è diverso. Qui si usa il teorema del confronto: se $g(x) \le f(x) \le h(x)$ e $g$ e $h$ hanno lo stesso limite $\ell$, allora anche $f$ ha limite $\ell$. Poiché $-1 \le \sin x \le 1$, per $x > 0$ si ha
$$-\frac{1}{x} \le \frac{\sin x}{x} \le \frac{1}{x}$$e i due estremi tendono a $0$. Dunque $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\sin x}{x} = 0$.
Invece $\lim_{x \to +\infty} \sin x$ non esiste: nei punti $x_n = n\pi$ il seno vale $0$, mentre nei punti $y_n = \frac{\pi}{2} + 2n\pi$ vale $1$. Due successioni che tendono a $+\infty$ danno due valori diversi, quindi il seno continua a oscillare.
Calcola i limiti notevoli: a) $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x}$ b) $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 3x}{x}$ c) $\lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{x^2}$
Calcola i limiti notevoli:
- a) $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x}$
- b) $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 3x}{x}$
- c) $\lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{x^2}$
Calcola, motivando i passaggi, i limiti: a) $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 5x}{\tan 2x}$ b) $\lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos 2x}{x \sin x}$ c)…
Calcola, motivando i passaggi, i limiti:
- a) $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 5x}{\tan 2x}$
- b) $\lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos 2x}{x \sin x}$
- c) $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\sin x}{x}$ (usa il teorema del confronto) e spiega perché $\lim_{x \to +\infty} \sin x$ non esiste.
Le derivate di seno e coseno
Calcoliamo la derivata di $\sin x$ come limite del rapporto incrementale. Con la formula di addizione, $\sin(x+h) = \sin x\cos h + \cos x \sin h$, quindi
$$\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h} = \sin x\cdot\frac{\cos h - 1}{h} + \cos x\cdot\frac{\sin h}{h}$$Per $h \to 0$ si ha $\dfrac{\sin h}{h} \to 1$ e $\dfrac{\cos h - 1}{h} = -\dfrac{1-\cos h}{h^2}\cdot h \to -\dfrac12 \cdot 0 = 0$. Il risultato è $\cos x$. Con lo stesso metodo si ottiene la derivata del coseno.
Il grafico qui sopra conferma il risultato: dove il seno è massimo ($x = \frac{\pi}{2}$) la tangente è orizzontale e il coseno vale $0$. Dove il seno cresce più in fretta ($x = 0$) la sua pendenza è $1$, che è il valore del coseno.
Le regole che conosci (somma, multiplo per una costante) valgono come sempre.
Calcola la derivata delle funzioni: a) $f(x) = 3\sin x$ b) $g(x) = \cos x + x^2$ c) $h(x) = 2x - 5\cos x$
Calcola la derivata delle funzioni:
- a) $f(x) = 3\sin x$
- b) $g(x) = \cos x + x^2$
- c) $h(x) = 2x - 5\cos x$
Prodotto, quoziente e funzioni composte
Con le derivate di $\sin$ e $\cos$ puoi usare tutte le regole di derivazione.
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Prodotto: $D[f\,g] = f'g + fg'$
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Quoziente: $D\left[\dfrac fg\right] = \dfrac{f'g - fg'}{g^2}$
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Funzione composta (regola della catena): $D[f(g(x))] = f'(g(x))\cdot g'(x)$
Per la composta, in particolare: $D[\sin(g(x))] = \cos(g(x))\cdot g'(x)$ e $D[\cos(g(x))] = -\sin(g(x))\cdot g'(x)$.
Per la retta tangente si usa l'equazione di sempre: $y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$.
Calcola la derivata di: a) $f(x) = x \sin x$ b) $g(x) = \dfrac{\cos x}{x}$ c) $h(x) = \sin(2x^2 + 1)$
Calcola la derivata di:
- a) $f(x) = x \sin x$
- b) $g(x) = \dfrac{\cos x}{x}$
- c) $h(x) = \sin(2x^2 + 1)$
Scrivi l'equazione della retta tangente al grafico di $f(x) = \sin x + \cos x$ nel punto di ascissa $x = \dfrac{\pi}{2}$.
Scrivi l'equazione della retta tangente al grafico di $f(x) = \sin x + \cos x$ nel punto di ascissa $x = \dfrac{\pi}{2}$.
Studio di funzioni con seno e coseno
Le funzioni circolari sono periodiche, perciò di solito si studiano in un intervallo come $[0, 2\pi]$. Il procedimento è quello dello studio di funzione: zeri, segno di $f'$ con la tabella dei segni, estremi, segno di $f''$ per i flessi.
Alcune equazioni goniometriche servono sempre. Su $[0, 2\pi]$:
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$\sin x = 0 \iff x = 0, \pi, 2\pi$; $\cos x = 0 \iff x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$.
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$\cos x = \frac12 \iff x = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$; $\sin x = \frac12 \iff x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$.
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$\sin 2x = 2\sin x\cos x$ permette di scomporre.
Usa il widget per vedere come ampiezza e frequenza cambiano il grafico.
Se cerchi massimo e minimo assoluti in un intervallo chiuso, confronta i valori nei punti stazionari e agli estremi dell'intervallo.
Una funzione può anche avere una simmetria. Se per ogni $x$ vale $f(2\pi - x) = -f(x)$, il grafico è simmetrico rispetto al punto $(\pi, 0)$. Per dimostrarlo si sostituisce $2\pi - x$ nella formula e si usano $\sin(2\pi - x) = -\sin x$ e $\cos(2\pi - x) = \cos x$. Per esempio, se $f(x) = \sin x - \frac12 \sin 2x$ vale
$$f(2\pi - x) = \sin(2\pi - x) - \tfrac12\sin(4\pi - 2x) = -\sin x + \tfrac12\sin 2x = -f(x)$$Data $f(x) = \sin x$ con $x \in [0, 2\pi]$: a) trova gli zeri; b) trova i punti in cui $f'(x) = 0$; c) indica il valore massimo e il valore minimo.
Data $f(x) = \sin x$ con $x \in [0, 2\pi]$:
- a) trova gli zeri;
- b) trova i punti in cui $f'(x) = 0$;
- c) indica il valore massimo e il valore minimo.
Sia $f(x) = 2\sin x - x$ nell'intervallo $[0, \pi]$. a) Studia il segno di $f'(x)$ e determina gli intervalli di crescita e decrescita. b) Individua massimo e minimo…
Sia $f(x) = 2\sin x - x$ nell'intervallo $[0, \pi]$.
- a) Studia il segno di $f'(x)$ e determina gli intervalli di crescita e decrescita.
- b) Individua massimo e minimo assoluti nell'intervallo.
- c) Calcola $f''(x)$ e determina gli eventuali flessi.
Sia $f(x) = \sin x + \dfrac{1}{2}\sin 2x$ nell'intervallo $[0, 2\pi]$. a) Determina gli zeri di $f$. b) Studia crescita e decrescita e trova massimi e minimi relativi.…
Sia $f(x) = \sin x + \dfrac{1}{2}\sin 2x$ nell'intervallo $[0, 2\pi]$.
- a) Determina gli zeri di $f$.
- b) Studia crescita e decrescita e trova massimi e minimi relativi.
- c) Traccia, descrivendolo a parole, l'andamento qualitativo del grafico, indicando la simmetria rispetto al punto $(\pi, 0)$ e dimostrandola.
Il pendolo e il moto armonico
Per piccole oscillazioni, la posizione di un pendolo (o di una massa attaccata a una molla) si descrive con una funzione del tipo $s(t) = A\cos(\omega t)$. Qui $A$ è l'ampiezza e $\omega$ la pulsazione. Il periodo è $T = \dfrac{2\pi}{\omega}$.
Velocità e accelerazione sono le derivate successive: $v(t) = s'(t)$ e $a(t) = s''(t)$. È qui che le derivate di $\sin$ e $\cos$ diventano strumenti di fisica.
Un pendolo in un'aula di Padova ha elongazione $s(t) = 8\cos\!\left(\pi t\right)$ cm, con $t$ in secondi. a) Calcola velocità $v(t) = s'(t)$ e accelerazione…
Un pendolo in un'aula di Padova ha elongazione $s(t) = 8\cos\!\left(\pi t\right)$ cm, con $t$ in secondi.
- a) Calcola velocità $v(t) = s'(t)$ e accelerazione $a(t) = s''(t)$.
- b) Determina il periodo del moto e gli istanti in $[0, 2]$ in cui la velocità è nulla.
- c) Dimostra che $a(t) = -\pi^2 s(t)$ e stabilisci in quali istanti il modulo della velocità è massimo e quanto vale.
Vuelve al principio: il pendolo di Galileo ha una posizione descritta da una funzione circolare, e velocità e accelerazione sono le sue derivate. Poiché $a(t) = -\omega^2 s(t)$, il ritmo del pendolo dipende dalla pulsazione e non dall'ampiezza.
In sintesi
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$\lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1$ (angoli in radianti). Da qui: $\lim_{x\to0}\dfrac{1-\cos x}{x^2}=\dfrac12$ e $\lim_{x\to0}\dfrac{\sin kx}{x}=k$.
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Per $x\to+\infty$ si usa il confronto: $\dfrac{\sin x}{x}\to0$, mentre $\sin x$ non ha limite.
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$D(\sin x)=\cos x$ e $D(\cos x)=-\sin x$; con prodotto, quoziente e composta si deriva tutto il resto.
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Tangente: $y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)$.
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Studio di funzione: zeri, segno di $f'$ (tabella dei segni), estremi (anche agli estremi dell'intervallo), segno di $f''$ e flessi.
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Moto armonico: $s=A\cos(\omega t)$, $v=s'$, $a=s''=-\omega^2 s$, $T=\dfrac{2\pi}{\omega}$.