Calcolo dei limiti. Forme indeterminate

Calcola i seguenti limiti immediati eseguendo la sostituzione diretta nell'espressione della funzione:

1. a) $\displaystyle \lim_{x \to 3} (x^2 - 5x + 2)$

1. b) $\displaystyle \lim_{x \to -1} \frac{2x + 4}{x^2 + 1}$

1. c) $\displaystyle \lim_{x \to 0} e^{x+1}$

Calcola il valore del limite della seguente funzione razionale nel punto $x = 1$. Tieni presente che, se ottieni la forma $\frac{k}{0}$, dovrai studiare i limiti laterali per decidere se il limite è $+\infty$, $-\infty$ o non esiste:

Per comprendere il concetto di limite, analizziamo il comportamento della funzione $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ quando i valori di $x$ si avvicinano molto a $2$, ma senza mai essere esattamente $2$.

Completa la seguente tabella di valori utilizzando la calcolatrice e prevedi quale sarà il valore di $\displaystyle \lim_{x \to 2} f(x)$:

Per calcolare il limite $\lim_{x \to 2} \dfrac{x^2 - 4}{x^2 + 2x - 8}$, due compagni di classe ragionano nel modo seguente:

• Ugo sostituisce $x = 2$ e ottiene $\dfrac{0}{0}$. Afferma: «Poiché zero diviso qualsiasi numero è zero, il limite vale $0$».

• Matteo gli risponde: «No, Ugo, qualsiasi quantità divisa per se stessa dà $1$, quindi il limite deve essere $1$».

1. a) Spiega motivando l'errore concettuale che commettono entrambi e chiarisci perché l'espressione $\left[\frac{0}{0}\right]$ si chiama «forma indeterminata» e non rappresenta un valore numerico definito.
2. b) Applica la scomposizione in fattori dei polinomi mediante il teorema del resto (o Ruffini), semplifica il fattore che genera la forma indeterminata e trova il vero valore numerico del limite.

Calcola il valore del seguente limite risolvendo la forma indeterminata $\frac{0}{0}$ mediante la semplificazione della frazione (raccogliendo a fattor comune o scomponendo in fattori):

Calcola il valore del seguente limite risolvendo la forma indeterminata $\frac{0}{0}$ mediante la scomposizione in fattori dei polinomi (puoi usare la regola di Ruffini se necessario):

Data la funzione razionale $f(x) = \dfrac{x^3 + ax^2 + bx + 2}{x^2 - 1}$, determina i valori dei parametri reali $a$ e $b$ sapendo che esiste il limite finito della funzione per $x$ che tende a $1$ e che tale limite vale esattamente $L = -2$. Una volta trovati i parametri, stabilisci motivando se la funzione presenta un asintoto verticale in $x = -1$.

Risolvi la forma indeterminata $\frac{\infty}{\infty}$ nei seguenti casi, confrontando i gradi dei polinomi:

1. a) $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{4x^2 - 3x + 1}{2x^2 + 5}$

1. b) $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{x + 10}{x^2 - 2}$

1. c) $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{x^3 - 1}{100x^2 + x}$

Calcola il limite all'infinito della seguente funzione razionale e giustifica la risposta:

Calcola i seguenti limiti analizzando il grado dei polinomi e le potenze di ordine maggiore (forma indeterminata $\frac{\infty}{\infty}$):

1. a) $\lim_{x \to +\infty} \frac{2x^2 - 5x + 1}{\sqrt{x^4 + 3x^2}}$

1. b) $\lim_{x \to -\infty} \frac{x^3 + 2}{x^2 + 10}$

Data la funzione $f(x) = \dfrac{\sqrt{x + 7} - 3}{x - 2}$:

1. a) Stima: Senza eseguire trasformazioni algebriche, valuta numericamente con la calcolatrice i valori di $f(1,99)$ e $f(2,01)$ con almeno quattro cifre decimali. In base ai risultati ottenuti, formula una congettura motivata su quale dovrebbe essere il valore esatto di $\lim_{x \to 2} f(x)$ espresso come frazione ridotta ai minimi termini.
2. b) Verifica: Calcola analiticamente $\lim_{x \to 2} f(x)$ moltiplicando numeratore e denominatore per l'espressione coniugata della radice per risolvere la forma indeterminata $\left[\frac{0}{0}\right]$. Verifica se il valore teorico ottenuto coincide esattamente con la tua stima iniziale.

Un'azienda di corrieri ha stabilito che i suoi costi giornalieri in euro sono dati dalla funzione $C(x) = \sqrt{9x^2 + 5x} - 3x$, dove $x$ rappresenta il numero di spedizioni effettuate in centinaia.

Calcola il limite dei costi quando il volume delle spedizioni aumenta indefinitamente ($\lim_{x \to +\infty} C(x)$). Interpreta il risultato ottenuto nel contesto del problema.

Calcola il limite della seguente espressione risolvendo la forma indeterminata $\infty - \infty$ mediante l'uso del coniugato:

Se il risultato del limite è $L = 4$, quale deve essere il valore del parametro $a$? Confronta questo risultato con il limite della stessa funzione per $x \to -\infty$.

Risolvi il seguente limite, che dà luogo a una forma indeterminata del tipo $1^\infty$, utilizzando la formula legata al numero $e$:

Una banca italiana offre un deposito a un anno con un capitale iniziale di $5.000$ € a un tasso di interesse nominale annuo del $4\,\%$ ($r = 0,04$). Se gli interessi vengono liquidati periodicamente $n$ volte all'anno, il capitale finale accumulato è dato dalla formula della capitalizzazione composta $C(n) = 5.000 \cdot \left(1 + \dfrac{0,04}{n}\right)^n$.

1. a) Un cliente afferma: «Se dividiamo l'anno in infiniti periodi di liquidazione ($n \to +\infty$), la frazione $\frac{0,04}{n}$ tende a $0$, quindi la base diventa $1$. Poiché $1$ elevato a qualsiasi numero è $1$, alla fine otterremo $5.000 \cdot 1 = 5.000$ € e perderemo tutti gli interessi accumulati». Confuta con rigore matematico questo ragionamento e individua quale forma indeterminata compare realmente.
2. b) Calcola il limite $\lim_{n \to +\infty} C(n)$ applicando il metodo del numero $e$ per la forma indeterminata $1^\infty$ ($e^L$, con $L = \lim_{n \to +\infty} n \cdot (g(n) - 1)$).
3. c) Calcola il capitale finale con liquidazione mensile ($n = 12$) e confrontalo con il limite nella capitalizzazione continua ($n \to +\infty$), arrotondando entrambi ai centesimi di euro. Alla luce della differenza, valuta se al risparmiatore conviene esigere una liquidazione continua rispetto a una mensile.