Regola della catena

Calcola la derivata delle seguenti funzioni polinomiali composte, semplificando il risultato il più possibile:

1. a) $f(x) = (1 - x)^5$
2. b) $g(x) = (2x + 3)^2$

Data la funzione $f(x) = (3x^2 - 5)^4$, individua la funzione "esterna" e la funzione "interna". Una volta individuate, applica la regola della funzione composta per determinare la sua funzione derivata $f'(x)$.

Osserva il seguente schema che rappresenta la composizione di due funzioni $u(x)$ e $v(x)$. Se sappiamo che $f(x) = (v \circ u)(x)$, utilizza l'informazione del diagramma per calcolare $f'(x)$.

$u(x) = x^3 + 1 \quad \longrightarrow \quad v(u) = \sqrt{u}$

Calcola la derivata della seguente funzione irrazionale:

$g(x) = \sqrt{5x + 2}$

Utilizza la struttura della regola della funzione composta per le potenze, ricordando che $\sqrt{u} = u^{1/2}$.

Determina la funzione derivata di $h(x) = \ln(x^2 + 3x)$. A tal fine, ricorda che se $y = \ln(u)$, allora $y' = \frac{u'}{u}$.

La regola della funzione composta ci dice che, se abbiamo una composizione di funzioni $y = f(g(x))$, la sua derivata è $y' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

Applica questo concetto per derivare la funzione trigonometrica:

$f(x) = \sin(4x - 1)$

Calcola la funzione derivata della seguente funzione polinomiale composta e determina il valore del coefficiente angolare della retta tangente al suo grafico nel punto di ascissa $x = 1$:

$f(x) = (x^3 - 2x^2 + 3)^5$

Data la funzione esponenziale composta $g(x) = e^{x^2 - 4x + 1}$, determina i punti della curva in cui la retta tangente è orizzontale.

Nel reparto marketing di una startup di moda, hanno stimato che il numero di utenti registrati sul loro sito segue la funzione:

$U(t) = e^{0,5t + 2}$

dove $t$ è il tempo in mesi. Determina l'espressione del tasso di crescita istantaneo degli utenti (cioè la derivata $U'(t)$).

Un produttore di componenti elettronici stabilisce che il costo totale (in euro) per produrre $x$ unità di un nuovo sensore è dato da:

$C(x) = (x + 10)^{3}$

Calcola il costo marginale quando si producono $x$ unità (cioè determina $C'(x)$).

Un'azienda di produzione di componenti elettronici ha stimato che il costo totale (in migliaia di euro) per produrre $x$ unità di un nuovo modello di processore è dato dalla funzione:

$C(x) = \sqrt{2x^2 + 5x + 100}$

Ottieni l'espressione del costo marginale $C'(x)$ utilizzando la regola della funzione composta e calcola tale costo quando si producono esattamente $10$ unità.

Il numero di follower di una nota influencer su un social network, misurato in migliaia di persone, segue un modello di crescita dato dalla funzione:

$S(t) = 50 \cdot \ln(t^2 + 4t + 5)$

dove $t$ è il tempo in mesi dal lancio della sua campagna pubblicitaria. Il grafico mostra la funzione e il punto corrispondente a $t = 3$.

Calcola il ritmo di crescita dei follower (la derivata) nel terzo mese ($t = 3$).

Un'agenzia di marketing digitale ha determinato che il numero di utenti attivi su una piattaforma social, $U(t)$, misurato in migliaia, segue una funzione che dipende dall'investimento in pubblicità $x$ (in migliaia di euro), il quale a sua volta varia con il tempo $t$ (in mesi). Le funzioni sono:

Calcola il tasso di variazione istantaneo del numero di utenti rispetto al tempo quando sono trascorsi esattamente $t = 2$ mesi. Interpreta se la crescita degli utenti sta accelerando o rallentando in quell'istante.

Si vuole calcolare la funzione derivata di $f(x) = \ln\left(\frac{2x + 1}{x + 3}\right)$ per qualsiasi valore del dominio in cui $x > -0,5$. A tal fine si propongono due strade diverse:

• Metodo A (regola della funzione composta diretta): Considerare $u(x) = \frac{2x + 1}{x + 3}$, calcolare la derivata del quoziente $u'(x)$ e applicare poi $(\ln u)' = \frac{u'}{u}$.

• Metodo B (proprietà dei logaritmi): Applicare in via preliminare la proprietà $\ln\left(\frac{A}{B}\right) = \ln A - \ln B$ per trasformare la funzione in una differenza di due logaritmi semplici e derivare poi termine a termine.

1. a) Sviluppa la derivata seguendo entrambi i metodi e verifica che si ottiene la stessa espressione semplificata in entrambi i casi.
2. b) Confronta il carico di operazioni algebriche di ciascun procedimento e giustifica quale dei due metodi consiglieresti a un compagno per ridurre al minimo il rischio di commettere errori di calcolo.

Determina la derivata della seguente funzione, che combina la regola del quoziente con la regola della funzione composta:

$h(x) = \frac{(3x - 1)^2}{x^2 + 1}$

Semplifica il risultato finale il più possibile.

Il valore di mercato di un'azione tecnologica (in euro) ha oscillato durante una seduta di borsa di 8 ore secondo la funzione:

$V(t) = 10 + 2 \cdot \sqrt{(t - 4)^2 + 9}$

dove $t$ è il tempo in ore ($0 \le t \le 8$). Determina il tasso di variazione istantaneo del valore dell'azione esattamente al compimento della sesta ora della seduta.

Studia l'esistenza di punti a tangente orizzontale nella funzione $f(x) = (x^2 - 4)^2 \cdot e^{-x^2}$. A tal fine, ottieni la derivata prima applicando la regola della funzione composta e quella del prodotto, e uguagliala a zero per trovare tutte le possibili soluzioni nel dominio reale.

Calcola la funzione derivata della seguente espressione, semplificando il risultato il più possibile mediante l'uso di identità trigonometriche o proprietà dei logaritmi:

Determina il valore del parametro costante $k$ nella funzione $f(x) = \ln(kx^2 + 1)$ sapendo che il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione nel punto di ascissa $x = 1$ è uguale a $1$.

Determina l'equazione della retta tangente al grafico della funzione $g(x)$ nel punto di ascissa $x = 1$. La funzione è definita dalla seguente composizione:

Determina i valori dei parametri $a, b \in \mathbb{R}$ affinché la seguente funzione sia continua e derivabile in tutto il suo dominio, prestando particolare attenzione alla composizione nel secondo ramo:

Nello studio di un mercato monopolistico, si è verificato che il prezzo di un prodotto $p$ (in euro) e la quantità richiesta $q$ (in unità) sono legati in forma implicita dalla seguente equazione:

Sapendo che il ricavo totale è dato dalla funzione $I = p \cdot q$, utilizza la regola di derivazione della funzione composta e la derivazione implicita per determinare la derivata del ricavo rispetto al prezzo, $\frac{dI}{dp}$, quando il prezzo è $p = 4$ euro (considera solo il valore positivo di $q$).

Siano $f$ e $g$ due funzioni derivabili. Si conoscono i seguenti valori:

• $g(2) = 5$

• $g'(2) = 3$

• $f'(5) = -4$

Utilizza la regola di derivazione della funzione composta per calcolare il valore della derivata della funzione composta $H(x) = (f \circ g)(x)$ nel punto $x = 2$, cioè determina $H'(2)$.

Marco sta preparando l'esame di maturità e deve derivare la funzione $f(x) = \sqrt{5x^2 - 2x + 1}$. Sul quaderno scrive la seguente risoluzione:

Argomenta che, secondo la tabella base delle derivate, «la derivata della radice è sempre uno diviso il doppio della radice stessa».

1. a) Individua la funzione esterna $v(u)$ e la funzione interna $u(x)$ che compongono $f(x) = v(u(x))$.
2. b) Spiega con ragionamento l'errore concettuale commesso da Marco nell'applicare la regola della funzione composta e qual è il fattore che ha dimenticato.
3. c) Correggi il calcolo scrivendo l'espressione semplificata della funzione derivata $f'(x)$ e calcola il valore del coefficiente angolare della retta tangente al grafico di $f$ nel punto di ascissa $x = 1$.

Siano $f$ e $g$ due funzioni di cui si conoscono i seguenti dati:

• $g(1) = 2$ e $g'(1) = 3$

• $f(2) = -1$ e $f'(2) = 5$

Se definiamo una nuova funzione $H(x) = \sqrt{f(g(x)) + 5}$, calcola il valore di $H'(1)$ applicando rigorosamente la regola di derivazione della funzione composta. Commenta che cosa accadrebbe alla derivata se il valore dentro la radice fosse negativo.

Data la funzione $h(x) = \log_2 \left( \sqrt[3]{x^3 + 3x^2} \right)$, calcola il valore della sua derivata nel punto di ascissa $x = 1$. Nota: ricorda di applicare la regola della catena per i logaritmi in base diversa da $e$.

Una cooperativa di olio d'oliva di Foggia modellizza il suo costo totale giornaliero di confezionamento $C$ (in centinaia di euro) in funzione del volume $q$ (in migliaia di litri confezionati) mediante la funzione:

Durante una giornata di 8 ore continuate ($0 \le t \le 8$, dove $t$ si misura in ore), il volume accumulato è espresso dalla funzione:

1. a) Giustifica, a partire dalla regola della funzione composta, il significato economico della derivata composta $\frac{dC}{dt}$ ed esprimila teoricamente in funzione di $C'(q)$ e $q'(t)$.
2. b) Ottieni l'espressione analitica del tasso di variazione istantaneo del costo rispetto al tempo, $\frac{dC}{dt}$.
3. c) Calcola il valore esatto di $\frac{dC}{dt}$ dopo 2 ore dall'inizio del turno ($t = 2$) e interpreta il risultato indicando le corrispondenti unità economiche.

Un servizio studi economici analizza l'evoluzione di un indice di fiducia delle imprese $I(x)$, che dipende dal tasso di inflazione annuo $x$ (espresso in percentuale), modellizzato secondo la funzione:

Attualmente, il tasso di inflazione in Italia si colloca al $6\,\%$ ($x = 6$).

1. a) Stima: Senza derivare analiticamente, ragiona su quale debba essere il segno di $I'(6)$ tenendo conto del contesto economico (la fiducia delle imprese aumenta o diminuisce di fronte a un rialzo dell'inflazione?). A partire dalla forma della funzione, stima con ragionamento se l'impatto negativo sulla fiducia sarà più lieve o più brusco quando l'inflazione passa da $6\,\%$ a $7\,\%$ rispetto a quando passa da $1\,\%$ a $2\,\%$.
2. b) Calcola: Ottieni la funzione derivata $I'(x)$ mediante la regola della funzione composta e determina il suo valore esatto in $x = 6$.
3. c) Verifica: Determina la retta tangente alla curva in $x = 6$, utilizzala per stimare il valore dell'indice se l'inflazione salisse leggermente al $6,2\,\%$ e valuta se il risultato ottenuto è coerente con la tua stima iniziale.

Si considera la funzione composta $H(x) = \ln(x^2 + bx + c)$, dove $b$ e $c$ sono parametri reali. Si dispone della seguente informazione sul suo comportamento:

• La funzione $H(x)$ ha un estremo relativo nel punto di ascissa $x = 2$.

• La retta tangente al grafico di $H(x)$ nel punto di ascissa $x = 1$ è parallela alla retta di equazione $y = -x + 4$.

1. a) Applica la regola di derivazione della funzione composta per ottenere l'espressione di $H'(x)$ in funzione dei parametri $b$ e $c$.
2. b) Imposta un sistema di equazioni a partire dai dati precedenti e determina con ragionamento i valori di $b$ e $c$. Dimostra inoltre che, con tali coefficienti, l'argomento del logaritmo è strettamente positivo per ogni numero reale, così che il dominio di $H(x)$ è tutto $\mathbb{R}$.
3. c) Classifica l'estremo relativo situato in $x = 2$ (indicando se si tratta di un massimo o di un minimo relativo) mediante lo studio rigoroso del segno di $H'(x)$ a sinistra e a destra di tale punto.

Una revisione contabile modellizza la redditività netta di due rami d'azienda mediante due funzioni derivabili sconosciute, $f$ e $g$. Non si dispone delle formule algebriche esplicite di nessuna delle due, ma si conoscono con esattezza i seguenti dati:

• La retta tangente al grafico di $g(x)$ nel punto di ascissa $x = 3$ ha equazione $y = -2x + 7$.

• Per la funzione $f$, sono stati registrati i valori: $f(1) = 4$, $f'(1) = -3$, $f(3) = 2$ e $f'(3) = 5$.

A partire da questi dati, si definiscono due nuovi indicatori finanziari composti:

1. a) Deduci con ragionamento, a partire dalla retta tangente data, i valori numerici di $g(3)$ e della derivata $g'(3)$.
2. b) Applica la regola di derivazione della funzione composta per calcolare l'equazione della retta tangente al grafico della funzione $h(x)$ nel punto di ascissa $x = 3$. Giustifica esplicitamente quali valori dell'informazione fornita su $f$ utilizzi e quali devi scartare, mettendo in guardia sul tipico errore che si commetterebbe confondendo $f'(g(3))$ con $f'(3)$.
3. c) Calcola il tasso di variazione istantaneo $k'(3)$ e interpreta se l'indicatore $k(x)$ si trova in fase di crescita o di decrescita in tale punto.

Sfida del tema. A che ritmo cambia il nostro consumo elettrico?

1. Raccolta dei dati: Entra nel sito di Terna e annota la domanda nazionale di energia (in MW) di sei ore diverse del giorno precedente. Inserisci le coppie ora-domanda in GeoGebra o in un foglio di calcolo e adatta una funzione polinomiale $D(t)$.

2. Derivazione e regola della funzione composta: Supponi che il costo all'ingrosso associato segua il modello $C(D) = \sqrt{2 + 0,15 \cdot D^2}$ (in migliaia di euro). Applica le regole di derivazione e la regola della funzione composta per trovare analiticamente la funzione del tasso di variazione del costo rispetto al tempo: $C'(t) = \frac{dC}{dD} \cdot D'(t)$.

3. Derivata puntuale e interpretazione: Calcola la derivata in due momenti chiave: in ora di basso consumo ($t = 4\text{ h}$) e in ora di punta ($t = 21\text{ h}$). Interpreta il valore e il segno di $D'(t)$ e $C'(t)$ come tassi di variazione istantanei.

4. Prodotto finale: Redigi una breve relazione (una pagina) con il grafico, gli sviluppi matematici e una proposta motivata su come adattare le abitudini di consumo in base alla velocità con cui cambia la spesa energetica.

Verrà valutato:

• Ottenimento e modellizzazione adeguata dei dati reali in GeoGebra o foglio di calcolo.

• Correttezza nel calcolo delle derivate applicando adeguatamente la regola della funzione composta.

• Interpretazione matematica e socioeconomica rigorosa della derivata in un punto.

• Chiarezza delle conclusioni e qualità nella presentazione della relazione.