Asintoti e rami infiniti nelle funzioni razionali

Calcola i seguenti limiti analizzando il termine di grado maggiore di ciascun polinomio:

1. a) $\lim_{x \to +\infty} (2x^3 - 5x^2 + 10)$

1. b) $\lim_{x \to -\infty} (-x^2 + 3x - 1)$

1. c) $\lim_{x \to +\infty} (4 - x^4)$

Calcola i limiti per $x \to +\infty$ e per $x \to -\infty$ delle seguenti funzioni razionali confrontando i gradi del numeratore e del denominatore:

1. a) $f(x) = \frac{3x^2 - 5}{x^3 + 2x}$

1. b) $g(x) = \frac{x^2 + 1}{4x^2 - 3x}$

1. c) $h(x) = \frac{5x^3 + 2}{x^2 - 7}$

Calcola i seguenti limiti di funzioni con radici:

1. a) $\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^2 - 3x}$

1. b) $\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{4x^2 + 1}}{x - 5}$

1. c) $\lim_{x \to +\infty} \frac{x+2}{\sqrt{x^3 + 1}}$

Calcola i seguenti limiti e determina, a partire da essi, gli asintoti orizzontali di ciascuna funzione:

1. $\lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{x^2 + 5x} - x \right)$

2. $\lim_{x \to -\infty} \frac{3^x + 2}{3^x - 1}$

Data la funzione $f(x) = \sqrt{x^2 + 4x} - x$, il cui dominio è $(-\infty, -4] \cup [0, +\infty)$, studia il suo comportamento quando $x \to +\infty$ e quando $x \to -\infty$.

1. a) Calcola $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ e, se esiste, l'equazione dell'asintoto corrispondente.

1. b) Calcola $\lim_{x \to -\infty} f(x)$ e, se c'è un asintoto, trova la sua equazione (può essere orizzontale o obliquo).

1. c) Presenta lo stesso asintoto orizzontale in entrambi i versi? Giustifica la tua risposta calcolando in dettaglio entrambi i limiti e disegna uno schema dei rami risultanti, indicando gli asintoti e i punti $(-4, 4)$ e $(0, 0)$.

Dato il seguente grafico della funzione $f(x)$, determina il valore dei limiti all'infinito e indica l'equazione del suo asintoto orizzontale:

1. a) $\lim_{x \to +\infty} f(x)$

1. b) $\lim_{x \to -\infty} f(x)$

Trova l'equazione dell'asintoto orizzontale delle seguenti funzioni. Se non ce l'hanno, indicalo motivando la risposta:

1. a) $f(x) = \frac{2x - 1}{x + 3}$

1. b) $g(x) = \frac{4}{x^2 - 1}$

1. c) $h(x) = \frac{x^2 + 5}{2x - 3}$

Il numero di utenti di un social network educativo, misurato in migliaia, segue l'evoluzione temporale $t$ (in mesi) secondo la funzione:

1. Calcola il numero di utenti iniziali (in $t=0$).

2. Determina a quanto tenderà il numero di utenti a lungo termine (quando $t \to +\infty$).

3. Esiste qualche valore di $t$ per il quale la funzione non sia continua? Spiega se tale valore ha senso nel contesto del problema.

Per la funzione $f(x) = \dfrac{1}{x^2}$, completa la seguente tabella di valori per indagare il suo comportamento quando $x$ si avvicina a $0$.

Dalla tabella, deduci il valore dei limiti laterali $\lim_{x \to 0^-} f(x)$ e $\lim_{x \to 0^+} f(x)$. Esiste il limite complessivo in $x=0$?

Data la funzione $f(x) = \dfrac{x + 1}{x - 4}$:

1. a) Indica qual è il suo dominio di definizione.
2. b) Calcola i limiti laterali nel punto in cui la funzione non è definita: $\lim_{x \to 4^-} f(x)$ e $\lim_{x \to 4^+} f(x)$.
3. c) Che tipo di ramo infinito presenta la funzione in $x = 4$?

Sofia sta studiando gli asintoti verticali della funzione razionale $f(x) = \frac{x^2 - 4x + 3}{x^2 - 1}$. Per farlo, imposta l'equazione $x^2 - 1 = 0$, ottiene le soluzioni $x = 1$ e $x = -1$, e afferma nel suo compito: «La funzione ha due asintoti verticali, le cui equazioni sono $x = 1$ e $x = -1$, perché sono i due valori reali che annullano il denominatore».

1. a) Spiega in dettaglio quale errore concettuale ha commesso Sofia nel trarre questa conclusione senza analizzare prima il numeratore.
2. b) Correggi il suo ragionamento calcolando i limiti necessari per determinare quali sono i veri asintoti verticali di $f(x)$ e che cosa succede esattamente nel grafico nel punto che Sofia ha interpretato in modo errato.

Data la funzione razionale $f(x) = \frac{2x^2 - 8}{x^2 - x - 2}$:

1. Determina il suo dominio di definizione.

2. Calcola i limiti laterali nei punti in cui la funzione non è definita.

3. Specifica quali di questi punti corrispondono a un asintoto verticale e quali a una discontinuità eliminabile (punto spostato).

Considera la funzione $f(x) = \frac{k}{x^2 - 9}$.

1. Se sappiamo che la funzione passa per il punto $(0, -1)$, trova il valore di $k$.

2. Con il valore di $k$ ottenuto, esegui uno studio completo degli asintoti della funzione e colloca i rami infiniti della stessa rispetto ai suoi asintoti verticali.

Studia il comportamento all'infinito della funzione $f(x) = \frac{x^2 - 3x}{x + 1}$ calcolando:

1. a) L'esistenza di un asintoto obliquo della forma $y = mx + n$.

1. b) La posizione relativa della curva rispetto a tale asintoto quando $x \to +\infty$ (indica se la funzione sta sopra o sotto la retta).

Studia i rami infiniti della funzione $f(x) = \dfrac{x^3}{x^2 + 1}$. Non avendo asintoti orizzontali né verticali, determina l'equazione del suo asintoto obliquo e rappresenta schematicamente il suo comportamento all'infinito mediante il seguente grafico di riferimento:

Data la funzione razionale $f(x) = \frac{ax^2 + bx + 1}{2x - 4}$, calcola i valori dei parametri $a$ e $b$ sapendo che la funzione ha un asintoto obliquo la cui equazione è $y = 2x + 5$. Una volta trovati i parametri, studia se il grafico della funzione si trova al di sopra o al di sotto di tale asintoto quando $x \to +\infty$.

Associa ciascuna delle seguenti funzioni al suo comportamento in $+\infty$:

1. $f(x) = \frac{10}{x-2}$

2. $g(x) = \frac{5x^2}{x^2 + 1}$

3. $h(x) = \frac{x^2 - 1}{x}$

Comportamenti:

1. a) Tende a $+\infty$ (ramo parabolico).
2. b) Ha un asintoto orizzontale in $y = 0$.
3. c) Ha un asintoto orizzontale in $y = 5$.

Considera la funzione $g(x) = \frac{6x^2 - 5}{2x^2 + 3}$, che descrive l'evoluzione temporale di un indicatore finanziario in funzione del tempo $x$ (con $x > 0$).

1. a) Stima: senza applicare regole formali sui limiti, osserva soltanto i termini di grado maggiore del numeratore e del denominatore per valori molto grandi di $x$ e prevedi quale sarà il valore numerico a cui si stabilizza l'indicatore a lungo termine. Ragiona in modo intuitivo se il grafico si avvicinerà a quel valore dall'alto o dal basso confrontando mentalmente il numeratore con il denominatore moltiplicato per la tua stima.
2. b) Verifica: calcola con rigore $\lim_{x \to +\infty} g(x)$ per confermare l'equazione dell'asintoto orizzontale e determina la posizione relativa della curva rispetto a tale retta studiando il segno della differenza $g(x) - y_{\text{asintoto}}$. Confronta la tua conclusione matematica con la stima che avevi formulato.

Dato il grafico della funzione $f(x)$ mostrato di seguito, individua le equazioni dei suoi asintoti (verticali e orizzontali) e descrivi il comportamento della funzione mediante limiti quando $x \to +\infty$ e quando $x \to -\infty$.

Determina il valore dei parametri $a$ e $b$ affinché la funzione $g(x) = \frac{ax + 5}{bx - 4}$ abbia un asintoto verticale nella retta $x = 2$ e un asintoto orizzontale nella retta $y = 3$. Una volta trovati, verifica se la funzione è crescente o decrescente nel suo dominio.

Il servizio comunale di noleggio biciclette di un capoluogo di provincia italiano registra i propri costi di gestione. Un rapporto economico modellizza il costo medio mensile per utente abbonato, $C(x)$ (espresso in euro), in funzione del numero totale di abbonati attivi, $x$ (con $x \ge 1$), mediante la funzione razionale:

1. a) Se la campagna di acquisizione ha grande successo e il numero di abbonati cresce indefinitamente ($x \to +\infty$), verso quale valore tende il costo medio mensile per utente? Interpreta matematicamente questo valore come asintoto orizzontale e spiega il suo significato per la sostenibilità economica del servizio comunale.
2. b) Determina se la funzione si avvicina al suo asintoto orizzontale dall'alto o dal basso quando $x \to +\infty$. Quale implicazione economica ha questo comportamento per il comune man mano che aumenta il numero di abbonati?
3. c) L'espressione algebrica possiede un asintoto verticale in $x = -50$. Giustifica perché tale asintoto è del tutto privo di senso nel contesto del problema reale.

Calcola tutti gli asintoti della seguente funzione definita a tratti e studia il comportamento dei suoi rami infiniti:

$f(x) = \begin{cases} \frac{2x^2}{x+1} & \text{si } x < 0 \\ \frac{x-1}{x^2-9} & \text{si } x \geq 0 \end{cases}$

Indica in modo specifico i limiti laterali nei punti in cui esistono asintoti verticali.