Funzione derivata. Derivate successive

Data la funzione $f(x) = 3x^2 - 5x + 2$, svolgi le seguenti attività:

1. a) Calcola la funzione derivata $f'(x)$ applicando le regole di derivazione.

1. b) Trova il valore del coefficiente angolare della retta tangente al grafico di $f(x)$ nel punto di ascissa $x = 2$.

1. c) Determina l'equazione della retta tangente in tale punto.

Trova i punti del grafico della funzione $f(x) = x^3 - 12x + 1$ in cui la retta tangente è orizzontale.

Suggerimento: una retta è orizzontale quando il suo coefficiente angolare è uguale a $0$.

La posizione di un drone per le consegne rispetto alla sua base di decollo segue la funzione $s(t) = t^2 + 4t$, dove $s$ è la distanza in metri e $t$ il tempo in secondi.

1. Determina la funzione della velocità istantanea, $v(t)$, sapendo che è la derivata prima della posizione.

2. Determina la funzione dell'accelerazione, $a(t)$, sapendo che è la derivata seconda della posizione.

3. Che velocità ha il drone dopo 5 secondi di volo?

Un'azienda che produce cover per cellulari ha stabilito che il costo totale (in euro) di produzione di $x$ unità è dato dalla funzione:

Calcola la funzione di costo marginale, $C'(x)$, e determina il costo approssimato di produzione della ventunesima unità (cioè calcola $C'(20)$).

Il numero di follower di un "influencer" su un social network cresce secondo la funzione $S(t) = \frac{50t}{t+2}$, dove $t$ è il tempo in mesi dall'apertura del suo account e $S(t)$ si misura in migliaia di follower.

1. a) Determina la funzione derivata $S'(t)$, che rappresenta la velocità di crescita della comunità.
2. b) A quale ritmo sta guadagnando follower esattamente alla fine del quarto mese?
3. c) Studia il segno della derivata seconda $S''(t)$ per $t > 0$ e spiega che cosa significa questo risultato in termini di crescita dell'account (cresce sempre più velocemente o sempre più lentamente?).

Calcola le prime tre derivate della funzione polinomiale $f(x) = x^4 - 2x^3 + 5x - 7$. Una volta ottenute, verifica se vale $f'''(1) = 18$.

Verifica che la derivata quarta della funzione $f(x) = \frac{1}{6}x^3 + x^2$ è uguale a zero per qualsiasi valore di $x$. Che grado deve avere come minimo un polinomio perché la sua derivata quarta non sia nulla?

Data la funzione polinomiale $f(x) = \frac{1}{12}x^4 - \frac{2}{3}x^3 + \frac{5}{2}x^2 - 10$, svolgi le seguenti operazioni:

1. a) Calcola la funzione derivata prima $f'(x)$ e la funzione derivata seconda $f''(x)$.
2. b) Determina i valori di $x$ per i quali la derivata seconda si annulla ($f''(x) = 0$).
3. c) Calcola la derivata di ordine superiore $f^{(5)}(x)$ e giustifica il risultato ottenuto senza dover eseguire tutti i passaggi intermedi.

Data la funzione $h(x) = \ln(x^2 + 1)$, il cui grafico è mostrato in figura, calcola:

1. a) Il coefficiente angolare della retta tangente alla curva nel punto di ascissa $x = 1$.

1. b) L'equazione della funzione derivata seconda $h''(x)$.

1. c) I punti del grafico in cui la derivata seconda è uguale a zero.

Si sa che la funzione $f(x) = ax^3 + bx^2 + 9x$ ha una derivata seconda che si annulla in $x = 2$. Inoltre, si sa che il valore della derivata prima nel punto $x = 1$ è uguale a $6$. Calcola i valori dei parametri reali $a$ e $b$.

Un'azienda di sviluppo di applicazioni mobili ha verificato che il numero di utenti attivi del suo nuovo gioco, misurato in migliaia, segue la funzione $U(t) = t^2 \cdot e^{-0,5t}$, dove $t$ è il tempo in mesi dal lancio. Il grafico della funzione è il seguente:

L'"accelerazione" nell'acquisizione di utenti è data dalla derivata seconda della funzione, $U''(t)$.

1. a) Calcola la funzione derivata seconda $U''(t)$.

1. b) Determina in quali momenti (mesi) l'accelerazione è nulla (punti di flesso della crescita).

Sia la funzione $f(x) = \frac{x+1}{x-1}$.

1. a) Calcola $f'(x)$, $f''(x)$ e $f'''(x)$.
2. b) Osservando i risultati precedenti, prova a dedurre un'espressione generale per la derivata $n$-esima $f^{(n)}(x)$.

(Suggerimento: osserva come evolvono l'esponente del denominatore e il segno della frazione).

Determina l'espressione generale della derivata $n$-esima della funzione razionale $f(x) = \dfrac{1}{3x - 2}$, definita per $x \neq \dfrac{2}{3}$. A tal fine, calcola le prime quattro derivate successive, individua lo schema ricorrente e usa la notazione del fattoriale $n!$ e delle potenze per scrivere $f^{(n)}(x)$.