Distribuzione binomiale
Domani hai una verifica a risposta multipla: 10 domande, 4 opzioni ciascuna, una sola giusta. Non hai studiato e rispondi tutto a caso. Quante risposte esatte ti aspetti? E quanto è probabile arrivare almeno a 6, cioè alla sufficienza? Per rispondere ci serve la distribuzione binomiale.
Lo schema di Bernoulli e la formula binomiale
Ogni domanda del quiz ha solo due esiti: «risposta esatta» (successo) oppure «risposta sbagliata» (insuccesso). La probabilità di successo è sempre la stessa, $p = \tfrac14$, e rispondere a una domanda non influenza le altre.
Perché la probabilità di avere esattamente $k$ successi è quella che vedremo? Prendiamo $n = 3$ lanci di dado e chiamiamo successo «esce 6», con $p = \tfrac16$ e $q = \tfrac56$. Una sequenza precisa, per esempio S I I (6, non 6, non 6), ha probabilità $\tfrac16 \cdot \tfrac56 \cdot \tfrac56$, perché le prove sono indipendenti. Le sequenze con un solo successo sono 3 (SII, ISI, IIS) e hanno tutte la stessa probabilità. Il numero di sequenze si ottiene scegliendo in quali $k$ posizioni cadono i successi: sono $\binom{n}{k}$.
Il grafico seguente mostra la distribuzione di $X \sim B(4; 0{,}5)$, cioè il numero di teste in 4 lanci di una moneta equilibrata. I valori $\binom4k$ sono 1, 4, 6, 4, 1 e ogni sequenza ha probabilità $\tfrac1{16}$.
Si lancia 5 volte una moneta equilibrata. Calcola la probabilità di ottenere: a) esattamente 2 teste; b) nessuna testa; c) almeno una testa.
Si lancia 5 volte una moneta equilibrata. Calcola la probabilità di ottenere:
- a) esattamente 2 teste;
- b) nessuna testa;
- c) almeno una testa.
Si lancia 4 volte un dado equilibrato. Calcola la probabilità di ottenere esattamente due volte il numero 6.
Si lancia 4 volte un dado equilibrato. Calcola la probabilità di ottenere esattamente due volte il numero 6.
«Almeno», «al massimo», «più di»: somme ed evento complementare
Di solito le domande non chiedono un valore esatto di $k$, ma frasi come «almeno 6 risposte esatte». Bisogna tradurle in somme di probabilità.
| Frase | Evento |
|---|---|
| almeno $a$ | $X \ge a$ |
| al massimo $a$ | $X \le a$ |
| più di $a$ | $X > a$, cioè $X \ge a+1$ |
| meno di $a$ | $X < a$, cioè $X \le a-1$ |
Gli esiti $X = 0, 1, \dots, n$ sono incompatibili, quindi si sommano le probabilità dei valori che servono. Se i valori sono troppi, conviene usare l'evento complementare, perché la somma di tutte le probabilità vale 1:
$$P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - q^{\,n}$$Il complementare serve anche per trovare $n$. Con una moneta, quante volte bisogna lanciarla perché la probabilità di avere almeno una testa superi $0{,}999$? Serve $1 - 0{,}5^{\,n} > 0{,}999$, cioè $0{,}5^{\,n} < 0{,}001$, cioè $2^{n} > 1.000$. Poiché $2^{9} = 512$ e $2^{10} = 1.024$, basta $n = 10$.
In una fabbrica di Torino il 4% dei pezzi prodotti è difettoso. Si estraggono 8 pezzi in modo indipendente. a) Calcola la probabilità che nessun pezzo sia difettoso. b)…
In una fabbrica di Torino il 4% dei pezzi prodotti è difettoso. Si estraggono 8 pezzi in modo indipendente.
- a) Calcola la probabilità che nessun pezzo sia difettoso.
- b) Calcola la probabilità che ci sia al massimo un pezzo difettoso.
- c) Calcola il numero atteso di pezzi difettosi.
Il 60% degli studenti di un liceo di Napoli usa i mezzi pubblici per andare a scuola. Se ne scelgono 6 a caso. a) Calcola la probabilità che esattamente 4 usino i mezzi…
Il 60% degli studenti di un liceo di Napoli usa i mezzi pubblici per andare a scuola. Se ne scelgono 6 a caso.
- a) Calcola la probabilità che esattamente 4 usino i mezzi pubblici.
- b) Calcola la probabilità che la maggioranza (più di 3) li usi.
- c) Calcola la probabilità che nessuno li usi.
Valore atteso, varianza e deviazione standard
Se ripeti molte volte lo stesso schema di $n$ prove, quanti successi ottieni in media? Con una moneta equilibrata lanciata 100 volte ti aspetti circa 50 teste. In generale, il numero medio di successi è $n$ volte la probabilità di successo.
Il valore atteso è il centro della distribuzione. La deviazione standard misura quanto i risultati reali si disperdono intorno a esso.
Perché $E(X)=np$? Controlliamolo per $n = 2$, dove le probabilità sono $q^2$, $2pq$, $p^2$:
$$E(X) = 0 \cdot q^2 + 1 \cdot 2pq + 2 \cdot p^2 = 2p(q + p) = 2p$$perché $q + p = 1$. Quindi $E(X) = 2p = np$.
Ora possiamo chiudere il gancio iniziale. Per il quiz di 10 domande a risposta multipla con 4 opzioni, $E(X) = 10 \cdot 0{,}25 = 2{,}5$: rispondendo a caso ti aspetti poco più di 2 risposte esatte. Per la probabilità di arrivare almeno a 6 si calcola $P(X \ge 6) = P(6) + P(7) + \dots + P(10)$. Il termine più grande è $P(6) = \binom{10}{6}\, 0{,}25^6 \cdot 0{,}75^4 \approx 0{,}0162$, e la somma di tutti vale circa $0{,}02$, cioè circa il 2%. Sperare nella sufficienza a caso è quasi inutile.
Una variabile $X$ segue una distribuzione binomiale con $n = 10$ e $p = 0{,}3$. a) Calcola il valore atteso $E(X)$. b) Calcola la varianza e la deviazione standard. c)…
Una variabile $X$ segue una distribuzione binomiale con $n = 10$ e $p = 0{,}3$.
- a) Calcola il valore atteso $E(X)$.
- b) Calcola la varianza e la deviazione standard.
- c) Scrivi l'espressione di $P(X = 4)$.
Un test clinico prevede che un farmaco abbia efficacia $p = 0{,}7$. Viene somministrato a $n$ pazienti indipendenti. a) Determina il minimo $n$ tale che la probabilità…
Un test clinico prevede che un farmaco abbia efficacia $p = 0{,}7$. Viene somministrato a $n$ pazienti indipendenti.
- a) Determina il minimo $n$ tale che la probabilità che almeno un paziente guarisca sia superiore a 0,999.
- b) Per $n = 20$ calcola $P(X = 14)$ con tre cifre decimali.
- c) Dimostra che per $X \sim B(n,p)$ vale $E(X) = np$ nel caso $n = 2$, calcolando direttamente la somma $\sum k\,P(X=k)$.
Una compagnia aerea vende 52 biglietti per un volo con 50 posti. Ogni passeggero si presenta indipendentemente con probabilità 0,94. a) Scrivi l'espressione della…
Una compagnia aerea vende 52 biglietti per un volo con 50 posti. Ogni passeggero si presenta indipendentemente con probabilità 0,94.
- a) Scrivi l'espressione della probabilità che ci siano più passeggeri presenti che posti disponibili.
- b) Calcola tale probabilità.
- c) Calcola il numero atteso di passeggeri presenti e commenta se la politica di overbooking sia ragionevole.
Il valore più probabile (moda)
Nell'istogramma di prima il valore più alto è $k = 2$: è la moda della distribuzione, cioè il numero di successi con probabilità massima. Per trovarla si confrontano due barre consecutive con il loro rapporto:
$$\frac{P(X=k+1)}{P(X=k)} = \frac{\binom{n}{k+1}p^{k+1}q^{\,n-k-1}}{\binom{n}{k}p^{k}q^{\,n-k}} = \frac{n-k}{k+1}\cdot\frac{p}{q}$$Il passaggio usa $\binom{n}{k+1} = \binom{n}{k}\cdot\dfrac{n-k}{k+1}$.
Se il rapporto è maggiore di 1, passando da $k$ a $k+1$ la probabilità cresce; se è minore di 1, decresce. Il rapporto è maggiore di 1 quando
$$(n-k)\,p > (k+1)\,q \iff k < (n+1)p - 1$$La probabilità cresce finché $k < (n+1)p - 1$ e poi decresce. La moda è dunque la parte intera di $(n+1)p$. Se $(n+1)p$ è intero, ci sono due valori ugualmente probabili: $(n+1)p - 1$ e $(n+1)p$.
Un quiz di 10 domande a risposta multipla ha 4 opzioni per domanda, di cui una sola corretta. Uno studente risponde a caso. a) Calcola la probabilità di rispondere…
Un quiz di 10 domande a risposta multipla ha 4 opzioni per domanda, di cui una sola corretta. Uno studente risponde a caso.
- a) Calcola la probabilità di rispondere correttamente ad almeno 8 domande.
- b) Calcola il numero atteso di risposte corrette e la deviazione standard.
- c) Qual è il numero più probabile di risposte corrette?
Sia $X \sim B(n, p)$. a) Dimostra che $\dfrac{P(X=k+1)}{P(X=k)} = \dfrac{(n-k)\,p}{(k+1)(1-p)}$. b) Usa il rapporto per determinare per quali $k$ la probabilità cresce e…
Sia $X \sim B(n, p)$.
- a) Dimostra che $\dfrac{P(X=k+1)}{P(X=k)} = \dfrac{(n-k)\,p}{(k+1)(1-p)}$.
- b) Usa il rapporto per determinare per quali $k$ la probabilità cresce e individua la moda per $n = 12$, $p = 0{,}35$.
- c) Calcola $P(X = \text{moda})$ con tre cifre decimali.
In sintesi
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Schema di Bernoulli: $n$ prove indipendenti, due esiti, $p$ costante. $X$ = numero di successi, $X \sim B(n, p)$.
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Formula: $P(X=k) = \binom nk p^k q^{\,n-k}$, con $q = 1-p$.
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«Almeno», «al massimo», «più di»: si traducono in somme di termini; se conviene si usa il complementare, per esempio $P(X \ge 1) = 1 - q^{\,n}$.
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Valore atteso $E(X) = np$, varianza $npq$, deviazione standard $\sqrt{npq}$.
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Moda: la probabilità cresce finché $k < (n+1)p - 1$; la moda è la parte intera di $(n+1)p$ (due mode se è intero).