Derivate

Il numero di utenti di una nuova applicazione di messaggistica, misurato in migliaia, segue la funzione $f(t) = t^2 + 4t + 10$, dove $t$ è il tempo in mesi dal lancio.

Nella figura compaiono il grafico di $f$, i punti $A$ e $B$ corrispondenti a $t=1$ e $t=3$, e la retta che li unisce.

1. a) Calcola il tasso di variazione medio (TVM) degli utenti tra il mese $t=1$ e il mese $t=3$.

1. b) Spiega brevemente che cosa rappresenta questo valore nel contesto della crescita dell'applicazione.

Durante una giornata estiva a Palermo viene registrata la temperatura $T(t)$ in gradi Celsius ($^\circ\text{C}$), dove $t$ è il tempo trascorso in ore dalle 08:00 ($t=0$). Per le prime quattro ore della mattina la temperatura segue il modello $T(t) = -0,5t^2 + 4t + 20$ (per $t \in [0, 4]$).

1. a) Prima di fare calcoli algebrici, osserva l'evoluzione qualitativa: la temperatura sale nel corso della mattina, ma il ritmo di crescita rallenta gradualmente avvicinandosi a mezzogiorno. Stima in modo motivato il segno del tasso di variazione medio nell'intervallo $[1, 3]$ (tra le 09:00 e le 11:00) e prevedi se il tasso di variazione istantaneo alle 09:00, $T'(1)$, dovrebbe essere maggiore, minore o uguale a tale $\text{TVM}[1, 3]$.
2. b) Calcola analiticamente $\text{TVM}[1, 3]$ e poi ricava la derivata $T'(t)$ per calcolare il valore esatto del tasso istantaneo $T'(1)$.
3. c) Confronta i valori numerici ottenuti con le tue stime del punto a), interpreta il significato delle unità ($^\circ\text{C/h}$) nel contesto del problema e giustifica se il modello risulta coerente.

Calcola, utilizzando la definizione di derivata mediante il limite (tasso di variazione istantaneo), il valore di $f'(2)$ per la funzione:

Ricorda di applicare la formula: $f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$

Trova l'equazione della retta tangente alla curva della funzione $f(x) = x^2 - 4x + 5$ nel punto di ascissa $x = 1$. Per farlo, ricava prima il punto di tangenza $(a, f(a))$ e il coefficiente angolare $m = f'(a)$.

Un drone per la sorveglianza forestale decolla verticalmente. La sua altezza in metri dopo $t$ secondi è data dalla funzione $h(t) = \frac{1}{4}t^2 + 2t$.

1. a) Calcola, utilizzando la definizione di derivata come limite, la velocità istantanea del drone $4$ secondi dopo il decollo.

1. b) Ricava la funzione derivata $h'(t)$ e verifica che il valore ottenuto nel punto precedente coincide con $h'(4)$.

Calcola l'equazione della retta tangente e della retta normale alla curva definita dalla funzione $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x + 2}$ nel punto di ascissa $x = 0$.

Rappresenta schematicamente la situazione indicando il coefficiente angolare di entrambe le rette.

Data la parabola $f(x) = x^2 - 4x + 3$ e il punto $P(2, -5)$, risolvi:

1. a) Spiega perché il punto $P$ non appartiene al grafico di $f$.

1. b) Determina le equazioni delle due rette tangenti alla parabola che passano per $P$.

1. c) Copia sul quaderno la figura (la parabola e il punto $P$) e disegna su di essa le due tangenti che hai trovato, indicando i loro punti di tangenza.

Data la funzione $f(x) = |x - 3|$, il cui grafico è rappresentato qui sotto:

1. a) Osservando il grafico, verifica che la funzione presenta un punto "angoloso" in $x = 3$.

1. b) Calcola le derivate laterali di $f$ in $x = 3$ e spiega, a partire dai loro valori, perché la funzione non è derivabile in quel punto.

Dato il seguente grafico di una funzione $f(x)$, individua in modo motivato in quali punti indicati ($A$, $B$ o $C$) la derivata è positiva, negativa o nulla. Collega la tua risposta al coefficiente angolare della retta tangente in ciascuno di quei punti.

Determina i valori dei parametri $a$ e $b$ affinché la seguente funzione sia derivabile in tutto l'insieme dei numeri reali:

$f(x) = \begin{cases} x^2 + ax + b & \text{si } x < 1 \\ \ln(x) & \text{si } x \geq 1 \end{cases}$

Ricorda di verificare prima la condizione necessaria di continuità.

Data la funzione dipendente da un parametro reale $k$:

Sergio afferma in classe: «Affinché la funzione sia derivabile nel punto di raccordo $x = 2$, basta che coincidano le derivate dei due rami. Poiché la derivata di $x^2 + k$ è $2x$ (che in $x = 2$ vale $4$) e la derivata di $4x - 1$ è $4$, le derivate laterali coincidono sempre ($4 = 4$). Quindi la funzione è derivabile in $x = 2$ per qualsiasi valore di $k$».

1. a) Individua la carenza teorica nel ragionamento di Sergio e spiega quale condizione preliminare sul comportamento globale del grafico in $x = 2$ egli ignora completamente.
2. b) Dimostra formalmente l'errore di Sergio considerando il caso particolare $k = 0$: applica la definizione rigorosa di derivata mediante i limiti laterali del rapporto incrementale in $x = 2$ ($f'(2^-) = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(2+h)-f(2)}{h}$ e $f'(2^+) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(2+h)-f(2)}{h}$) e verifica che uno di essi non esiste come numero finito.
3. c) Determina l'unico valore del parametro $k$ per il quale la funzione è davvero continua e derivabile in $x = 2$. Per tale valore di $k$, ricava le equazioni analitiche della retta tangente e della retta normale al grafico nel punto di ascissa $x = 2$.

Data la funzione dipendente da tre parametri reali $a$, $b$ e $c$:

Calcola i valori di $a$, $b$ e $c$ affinché la funzione sia continua in tutto il suo dominio e derivabile nel punto $x = 0$. Una volta ottenuti i valori, stabilisci motivando se la funzione è derivabile anche in $x = 1$.

Utilizza le regole di derivazione di base (potenza, somma e costante) per trovare la funzione derivata delle seguenti funzioni polinomiali:

1. a) $f(x) = 4x^5 - 2x^3 + 7x - 9$
2. b) $g(x) = \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x$
3. c) $h(x) = \sqrt{5}x^2 + \pi$

Calcola la derivata delle seguenti funzioni utilizzando la regola del prodotto o del quoziente a seconda dei casi:

1. a) $f(x) = (x^2 + 1) \cdot e^x$
2. b) $g(x) = \frac{3x - 2}{x + 4}$

Alberto deve calcolare in un compito la funzione derivata di $f(x) = \dfrac{4x - 1}{x^2 + 3}$. Sul suo foglio scrive testualmente il seguente sviluppo:

«Essendo una divisione di due espressioni, calcolo separatamente la derivata del numeratore e la derivata del denominatore:

$f'(x) = \dfrac{(4x - 1)'}{(x^2 + 3)'} = \dfrac{4}{2x} = \dfrac{2}{x}$».

1. a) Indica qual è l'errore concettuale commesso da Alberto e spiega perché non si può applicare la derivata direttamente al numeratore e al denominatore in modo indipendente.
2. b) Per dimostrare ad Alberto che la sua regola inventata fallisce in modo evidente, applica lo stesso metodo alla funzione $g(x) = \dfrac{x^3}{x}$ (per $x \ne 0$) e confronta il risultato con la derivata reale ottenuta semplificando algebricamente la funzione prima di derivare.
3. c) Applica rigorosamente la regola del quoziente a $f(x)$ e ricava l'espressione semplificata della derivata corretta.

Data la funzione $g(x) = e^{2x} \cdot (x^2 - 3x + 1)$, si chiede di:

1. a) Trovare la funzione derivata $g'(x)$ semplificando al massimo il risultato mediante raccoglimento a fattor comune.

1. b) Determinare i punti del grafico di $g(x)$ in cui il coefficiente angolare della retta tangente è uguale a $0$ (punti stazionari).

Applica le regole di derivazione e la regola della catena per ottenere la derivata semplificata delle seguenti funzioni:

1. a) $f(x) = \ln\left( \frac{x+1}{x-1} \right)$ (Suggerimento: usa le proprietà dei logaritmi prima di derivare).

1. b) $g(x) = \left( \text{sen}(x) + \cos(x) \right)^2$

1. c) $h(x) = 5^{x^2 - 4x}$

Per calcolare la funzione derivata di $f(x) = \dfrac{6x^3 - 9x^2 + 4}{3x}$ (con $x > 0$), due studenti di una classe discutono su quale strategia sia più conveniente:

• Metodo di Sofia: Applicare direttamente la regola di derivazione del quoziente: $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$.

• Metodo di Matteo: Dividere prima termine a termine per il denominatore per esprimere la funzione come somma di potenze con esponente intero ($f(x) = ax^2 + bx + cx^{-1}$) e derivare poi termine a termine con la regola della potenza.

1. a) Risolvi la derivata seguendo passo dopo passo il procedimento proposto da Sofia e semplifica la frazione risultante.
2. b) Risolvi la derivata seguendo il procedimento proposto da Matteo.
3. c) Confronta i due percorsi valutando il costo operativo e il rischio di commettere errori di segno. Ragiona se il metodo di Matteo potrebbe essere applicato alla funzione inversa $g(x) = \dfrac{3x}{6x^3 - 9x^2 + 4}$.

Data la funzione $f(x) = \sqrt{x^2 + 16}$:

1. a) Scrivi l'equazione della retta tangente nel punto di ascissa $x = 3$.

1. b) Esiste qualche punto della curva in cui la retta tangente sia perpendicolare alla retta $r: 4x + 3y - 1 = 0$? In caso affermativo, calcola le sue coordinate. In caso negativo, giustifica motivando perché non è possibile.

Nell'analisi dei costi di un'azienda tessile si è determinato che il costo totale (in euro) di fabbricazione di $x$ magliette è dato dalla funzione $C(x) = 0,05x^2 + 10x + 500$.

Calcola la funzione di costo marginale, $C'(x)$, e determina di quanto aumenta approssimativamente il costo producendo la maglietta numero 101 (cioè calcola $C'(100)$).

Il numero di utenti attivi di un nuovo social network (in migliaia) evolve secondo la funzione $N(t) = 10 \cdot \sqrt{t^2 + 9}$, dove $t$ è il tempo in mesi dal lancio.

1. a) A quale ritmo cresce il numero di utenti esattamente al terzo mese ($t = 3$)?

1. b) Calcola il tasso di variazione medio tra i mesi $t=0$ e $t=4$ e confrontalo con la velocità di crescita in $t=4$. La crescita istantanea è maggiore o minore della media in quel periodo?

Si consideri la funzione $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$. Trova i valori di $a, b$ e $c$ sapendo che:

1. Il grafico di $f(x)$ passa per il punto $(0, 5)$.

2. Ha un punto stazionario (estremo relativo) in $x = 1$.

3. Il coefficiente angolare della retta tangente in $x = -1$ è uguale a $15$.

Un'azienda che produce componenti elettronici ha stimato che il costo totale (in euro) di produzione di $x$ unità di un microchip è dato dalla funzione $C(x) = 0,1x^2 + 5x + 500$.

1. a) Calcola la funzione di costo marginale $C'(x)$.

1. b) Trova il costo marginale per una produzione di $100$ unità e interpreta il significato di questo valore nel contesto del problema.

1. c) Calcola il costo reale di fabbricazione dell'unità numero $101$ (calcolando $C(101) - C(100)$) e osserva la differenza con il risultato del punto precedente.

Un'azienda di logistica con sede a Bologna modellizza il costo giornaliero di carburante $C(x)$, espresso in euro, in funzione del numero $x$ di furgoni di consegna in circolazione ($x \in [10, 80]$), mediante la funzione quadratica:

1. a) Calcola il tasso di variazione medio del costo tra $x = 20$ e $x = 50$ furgoni ($\text{TVM}[20, 50]$) e interpreta dal punto di vista economico il significato del valore ottenuto e le sue unità.
2. b) Ricava la funzione di costo marginale $C'(x)$ utilizzando le regole di derivazione e valuta tale tasso istantaneo in $x = 20$ e in $x = 50$.
3. c) Verifica che il valore di $\text{TVM}[20, 50]$ coincide con la media aritmetica tra $C'(20)$ e $C'(50)$. Dimostra algebricamente se questa proprietà $\text{TVM}[a, b] = \dfrac{C'(a) + C'(b)}{2}$ vale per qualsiasi funzione quadratica della forma $f(x) = px^2 + qx + r$ o se è stata una semplice casualità dei dati scelti.

Un'azienda di corrieri ha modellizzato i suoi costi operativi giornalieri mediante la funzione $C(x) = \frac{x^2 + 100}{x-5}$, dove $x$ è il numero di veicoli in servizio ($x > 5$). Trova l'equazione della retta tangente al grafico dei costi nel punto della curva in cui il costo è minimo. Interpreta il significato del suo coefficiente angolare nel contesto del tasso di variazione del costo.

Trova i valori dei parametri reali $a$ e $b$ sapendo che la funzione $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + 5$ ha un punto di flesso in $x = 1$ e che la retta tangente al grafico in quel punto è parallela alla retta $y = -3x + 10$. Una volta trovati $a$ e $b$, verifica se la funzione ha qualche massimo o minimo relativo.

Si vuole ricostruire la funzione di utile cumulato $B(x) = ax^2 + bx + c$ (in migliaia di euro) di una cooperativa vinicola durante una campagna, dove $x$ misura le centinaia di ettolitri imbottigliati ($x \geq 0$). Il team tecnico ha smarrito la formula analitica originale, ma conserva tre dati esatti nel suo rapporto:

1. Il grafico passa per il punto $P(1, 2)$.

2. In tale punto $P(1, 2)$, la retta normale al grafico è parallela alla retta di equazione $x + 4y - 8 = 0$.

3. Il tasso di variazione medio dell'utile nell'intervallo $[0, 3]$ è di $1$ mila euro ogni cento ettolitri imbottigliati (cioè $\text{TVM}[0, 3] = 1$).

1. a) A partire dal coefficiente angolare della retta normale, deduci motivando il coefficiente angolare della retta tangente alla curva in $x = 1$ e calcola il valore esatto della derivata $B'(1)$.
2. b) Imposta il sistema di tre equazioni in tre incognite ($a$, $b$ e $c$) che sintetizza le tre condizioni del rapporto e calcola i coefficienti della funzione.
3. c) Con la funzione ormai determinata, trova l'equazione della retta tangente alla curva nel punto di intersezione con l'asse delle ordinate ($x = 0$) e spiega quale significato geometrico ed economico ha il segno del suo coefficiente angolare.

Sia la funzione $f(x) = \frac{1}{3x - 2}$.

1. a) Calcola le prime tre derivate della funzione: $f'(x)$, $f''(x)$ e $f'''(x)$.
2. b) Osservando lo schema ottenuto, deduci l'espressione generale per la derivata n-esima $f^{(n)}(x)$.
3. c) Dimostra la tua congettura per il caso $n = 4$.

Uno studio di mercato indica che l'utile netto mensile di una nuova app mobile segue la funzione $B(t) = t^2 \cdot e^{-0,5t}$, dove $t$ è il tempo in mesi dal lancio. Il grafico della funzione è il seguente:

1. a) Calcola il tasso di variazione istantaneo dell'utile a 4 mesi.

1. b) In quale mese il tasso di variazione dell'utile inizia a essere negativo? Che cosa significa questo per l'azienda?

1. c) Determina se esiste qualche momento in cui l'accelerazione dell'utile (derivata seconda) è nulla.

Utilizza la tecnica della derivazione logaritmica per calcolare la funzione derivata di:

Calcola il valore del coefficiente angolare della retta tangente nel punto di ascissa $x = e$. Esprimi il risultato in funzione del numero $e$.